1、专题六 数列第十八讲 数列的综合应用一、选择题1(2018 浙江)已知 ， ， ， 成等比数列，1a234a且 若 ，则1234123ln()1A ， B ，3a24C ， D ，13a24a12(2015 湖北)设 ， 若 p： 成等比数列；q：1,nR 12,na，则221()n 22 231231()()na Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件3 （2014 新课标 2）等差数列 的公差为 2，若 ， ， 成等比数列，则 的前naa48na项和 =
2、nnSA B C D11n12n124 （2014 浙江）设函数 21)(xf， ),()xf|sin|3(xf，9,0,9iai，记 10|kkIaf21)(|kkaf， .3,2则8|()()|kkffA 321I B 1I C 231I D 123II二、填空题5(2018 江苏)已知集合 ， 将 的所有*|2,AxnN*|,nBxNAB元素从小到大依次排列构成一个数列 记 为数列 的前 项和，则使得nanSna成立的 的最小值为 12nSa6 （2015 浙江）已知 是等差数列，公差 不为零若 ， ， 成等比数列，且nad2a37，则 ， 12a17 （2013 重庆）已知 n是等差数
3、列， 1a，公差 0， nS为其前 项和，若125,成等比数列，则 8_S8 （2011 江苏）设 ，其中 成公比为 的等比数列，721a 7531,aq成公差为 1 的等差数列，则 的最小值是_642,aq三、解答题9 （2018 江苏）设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公比为n1adnb1的等比数列q(1)设 ，若 对 均成立，求 的取值范围；10,2abq1|nb ,234d(2)若 ，证明：存在 ，使得 对*,(mNdR1|nab均成立，并求 的取值范围（用 表示） 2,3n d1,bmq10* （2017 浙江）已知数列 满足： ， nx11l()nnxx()*N证明
4、：当 时n*N（） ；10nx（） ；122n（） 1nx *根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考11 （2017 江苏）对于给定的正整数 ，若数列 满足kna1112nknknkna a对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列” ()n()P（1）证明：等差数列 是“ 数列”；n(3)P（2）若数列 既是“ 数列” ，又是“ 数列”，证明： 是等差数列na2()na12 （2016 年四川）已知数列 的首项为 1， 为数列 的前 项和，nanSna，其中 ，1nS0q*N()若 成等差数列，求数列 的通项公式；23,an()设双曲线 的离心率为 ，且 ，求 21nyxne2221ne
5、e13 （2016 年浙江）设数列 a的前 项和为 nS.已知 2=4， 1na=2 S+1， *N.（I）求通项公式 n；（II）求数列 2的前 项和.14(2015 重庆)已知等差数列 满足 ，前 3 项和 na32392S（）求 的通项公式；na（）设等比数列 满足 ， ，求 前 项和 nb1415bannT15 （2015 天津）已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ，b1ab， 23ba5237（）求 和 的通项公式；nb（）设 ， ，求数列 的前 项和c*Nnc16(2015 四川)设数列 （ =1,2,3）的前 项和 满足 ，且 ，nanS12na+1， 成等差数列2
6、a3（）求数列 的通项公式；n（）设数列 的前 项和为 ，求 1nanT17 （2015 湖北）设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ，ndnSnbq已知 ， ， ， 1b2q10S（）求数列 ， 的通项公式；nab（）当 时，记 = ，求数列 的前 项和 1dncabncnT18(2014 山东）已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比S124S数列（）求数列 的通项公式；na（）令 = 求数列 的前 项和 nb,4)1(1nnbnT19 （2014浙江）已知数列 a和 满足 Nanbn221 若 na为等比数列，且 .6,2231ba（）求 n与 ；
7、（）设 Nbacnn记数列 nc的前 项和为 nS（）求 nS；（）求正整数 k，使得对任意 ，均有 nkS20 （2014 湖南）已知数列 na满足 *11,|,.napN（）若 n是递增数列，且 2,3成等差数列，求 的值；（）若 12p，且 21n是递增数列， n是递减数列，求数列 na的通项公式21 （2014 四川）设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图象上（nad(,)nab()2xf） *nN（）若 ，点 在函数 的图象上，求数列 的前 项和 ；12a87(,4)b()fxnanS（）若 ，函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，fx2,abx12l求数列 的前 项和 n
8、bnT22(2014 江苏)设数列 na的前 项和为 nS若对任意正整数 n，总存在正整数 m，使得mnaS，则称 n是“H 数列 ”（）若数列 的前 n 项和 nS2( N)，证明: na是“H 数列” ；（）设 na 是等差数列，其首项 1a，公差 0d若 是“H 数列” ，求d的值；（）证明：对任意的等差数列 n，总存在两个“H 数列 ” nb和 c，使得nncba( N)成立23 （2013 安徽）设数列 a满足 12， 48a，且对任意 *N，函数 122()cos-innnnfxxx，满足 ()02f（）求数列 的通项公式；（）若 2nnab（ ） ，求数列 nb的前 项和 nS2
9、4 （2013 广东）设各项均为正数的数列 a的前 项和为 ，满足214,nSaN且 2514,构成等比数列（）证明： 214a；（）求数列 n的通项公式；（）证明：对一切正整数 ，有 12312naa 25 （2013 湖北）已知 nS是等比数列 n的前 项和， 4S， ， 3成等差数列，且 23418a.（）求数列 n的通项公式；（）是否存在正整数 ，使得 2013nS？若存在，求出符合条件的所有 n的集合；若不存在，说明理由26 （2013 江苏）设 na是首项为 ，公差为 d的等差数列 0d， nS是其前 项和. 记 2nSbc， N*，其中 c为实数.（） 若 0，且 1b， 2，
10、4成等比数列，证明： 2NnkkS,*；（） 若 nb是等差数列，证明： 0c27 (2012 山东)已知等差数列 na的前 5 项和为 105，且 1052a（）求数列 na的通项公式；（）对任意 *mN，将数列 n中不大于 27m的项的个数记为 mb.求数列 m的前m 项和 S28 （2012 湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 万元，并将d剩余资金全部投入下一年生产设第 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 万元nna（）
11、用 表示 ，并写出 1a与 的关系式；d12,a（）若公司希望经过 （ 3）年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业m每年上缴资金 的值（用 表示） 29 （2012 浙江）已知数列 的前 项和为 ，且 = 2n， ，数列 满nanS*Nnb足 ， 24log3nnab*N（）求 ；,（）求数列 的前 项和 nnT30 （2012 山东）在等差数列 na中， 84543a， 973（）求数列 n的通项公式；（）对任意的 *Nm，将数列 n中落入区间 2,m内的项的个数为 mb，求数列 b的前 项和 mS31 （2012 江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：nab12nnabN，
12、（）设 ，求证：数列 是等差数列；1nna，2nba（）设 ，且 是等比数列，求 和 的值12nnb， n1b32 （2011 天津）已知数列 满足 ，nab与 11(2)nnnab1*13(),22nnbN且（）求 的值；3,a（）设 ，证明 是等比数列；*21,nncnc（）设 为 的前 项和，证明nSa *2112 1().3nSSnNaa33 （2011 天津）已知数列 与 满足： ， nb120,2nnnb，且 *nN12,4a（）求 的值；345,（）设 ，证明： 是等比数列；*21,nncNnc（）设 证明： *242,kkSa4*17()6kSNa34 （2010 新课标）设数列 满足n 21,3nnaA（）求数列 的通项公式；na（）令 ，求数列的前 项和 bnS35 （2010 湖南）给出下面的数表序列： 124 4 8表1 表2 表3 1 3 1 5其中表 （ =1,2,3 ）有 行，第 1 行的 个数是 1，3，5， ，2 1，从n nn n第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和（）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 （ 3） （不要求证明） ；n（）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1，4，12， ，记此数列为 ，求和： nb324121nbb *()N
