1、1第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角一、 教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于 角和负角；（2）理解并掌握360正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法；（.二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法回忆-观察-讲解-归纳-推广.四、教学设想 【创设情境】思考:你的手表慢了 5 分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？取出一个钟表,实际操作我们发
2、现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于 之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任036意角.【探究新知】1初中时，我们已学习了 角的概念，它是如何定义的036呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个2位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置 ，绕着它的OA端点 按逆时针方向旋转到终止位置 ，就形成角 .旋转开始时的OOB射线 叫做角的始边， 叫终边，射线的端点 叫做叫 的顶点. A2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体 ” （即转体 2 周） ， “转体 ”720
3、108（即转体 3 周）等,都是遇到大于 的角以及按不同方向旋转而成36的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于 的角36或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于 ；图 1.1.3(2)中，750正角 ，负角 ；这样，我们就把角的概念推广2101506到了任
4、意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下， “角 ”或“ ”可简记为 .3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合。那么，x角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.如教材图 1.1-4 中的 角、 角分别是第一象限角和第三象限角.要3013特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么 天后的那一天是星
5、期几? 7()kZ天前的那一天是星期几?100 天后的那一天是星期几?7(kZ5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边OB相同的角有什么关系?请结合 4.(2)口答加以分析.展示课件不难发现,在教材图 1.1-5 中,如果 的终边是 ,那32OB么 角的终边都是 ,而 ,3289 OB328160.(1)360设 ,则 角都是 的元素,|2,SkZ,9S角也是 的元素.因此,所有与 角终边相同的角,连同 角在3232 32内,都是集合 的元素；反过来，
6、集合 的任一元素显然与 角终S边相同.一般地,我们有:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合,即任一与角 终边相同的角,都可以表示成|360,SkZ角 与整数个周角的和.46 例题讲评例 1. 例 1 在 范围内，找出与 角终边相同的角，03695012并判定它是第几象限角.（注： 是指 ）036 36例 2.写出终边在 轴上的角的集合.y例 3.写出终边直线在 上的角的集合 ,并把 中适合不等式xS360的元素 写出来.727.练习 教材 第 3、4、5 题.6P注意: （1） ；（2） 是任意角（正角、负角、零角） ；kZ（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同
7、；终边相同的角有无数多个，它们相差 的整数倍.3608.学习小结(1)你知道角是如何推广的吗?(2)象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在 轴、x轴、直y线 上的角的集合.x五、评价设计作业：习题 1.1 A 组第 1,2,3 题 51.1.2 弧度制一、教学目标：（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集 之间建R立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，
8、而不是孤立、割裂的关系.二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、教学设想 【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约 250 公里，但也有人回答约 160 英里，请问那一种回答是正确的？（已知 1 英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1 英里=1.6 公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的
9、角的另外一种度量制-弧度制.【探究新知】1角度制规定：将一个圆周分成 360 份，每一份叫做61 度，故一周等于 360 度，平角等于 180 度，直角等于 90 度等等.弧度制是什么呢？1 弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.67P2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作1 ，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不写).rad3.探究:如图,半径为 的圆的圆心与原点重合,r角 的终边与 轴的正半轴重合,交圆于点 ,终边与xA圆交于点 .请完成表格.B弧 的A长旋转的方O向的弧度AOB数的
10、度OB数r逆时针方向2逆时针方向r 1220180我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2 等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角yxAOB7的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长是 ,那么rl的弧度数是多少?a角 的弧度数的绝对值是： ，其中，l 是圆心角所对的弧r长， 是半径.r5.根据探究中 填空:180rad, 度_1_rad显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.6.例题讲解例 1.按照下列要求,把 化成弧度:6730(1) 精确值；(2) 精确到 0.001 的近似
11、值.例 2.将 3.14 换算成角度(用度数表示,精确到 0.001).rad注意:角度制与弧度制的换算主要抓住 ,另外注意计算180rad器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:度 0345120120120弧度 33角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 之间建立了R一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)8与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评 例 3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1) ; (2) ; (3) .lR21SR12SlR其中 是半径, 是弧长, 为圆心角,
12、是扇形的面积.l(0)例 4.利用计算器比较 和 的大小.sin1.5i8注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材 .10P五、作业：习题 1.1 A 组第 7,8,9 题 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(一)一、教学目标：（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号） ；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、
13、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号） ；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号） ；三角函数线的正确理解.三、教学设想 9第一课时 任意角的三角函数（一）【创设情境】提问：锐角 O 的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角 的顶点与原点 重合,始边与 轴的正半轴重合,Ox那么它的终边在第一象限.在 的终边上任取一点 ,它与原点
14、的距离()Pab.过 作 轴的垂线,垂足为20rx,则线段 的长度为 ,线段 的长MOaMP度为 .则 ;bsinPbr; .cotanbOa思考：对于确定的角 ，这三个比值是否会随点 在 的终边上P的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段 的长 的特殊位置上，这P1r样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：; ; .sinMPbOcosOMatnbOa思考：上述锐角 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.yP（a，b）rO Ma的终边P(x,y)O xy10那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题任
15、意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点 为圆心,以单位O长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 ,那么: ()Pxy(1) 叫做 的正弦(sine),记做 ,即 ；ysini（2） 叫做 的余弦(cossine),记做 ,即 ；x cosx（3） 叫做 的正切(tangent),记做 ,即 .tatn(0)y注意:当 是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在） ；当 不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点 ，从而就必(,)Pxy然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点 在终边上的位置无关，P仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离 ,那么2rxy
