1、本科毕业论文（20 届）变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子Variational iteration method for solving one-dimensional linear harmonic oscillator in a constant electric field所在学院 专业班级 应用物理 学生姓名 学号 指导教师 职称 完成日期 年 月 江苏科技大学本科毕业设计（论文）I摘 要在现今的量子力学中，一维线性谐振子可谓是一个相当典型且重要的系统。其最早是由德国的物理学家普朗克提出，他用简谐振子成功地解释了热能的辐射与吸收。很多人认为简谐振子是一种很简单的运动模型，但是许多
2、复杂运动模型都是以谐振子的运动为基础的，它在很多领域都有广泛的应用。因此，研究线性谐振子具有重要意义。本文通过变分迭代法 1求解恒定电场中一维线性谐振子 Schrodinger 方程，确定本征能量及本征函数的近似解，并对结果进行分析，为解高次幂薛定谔方程的解析解提供新方法。关键词：变分迭代法；一维线性谐振子；薛定谔方程 江苏科技大学本科毕业设计（论文）IIAbstractIn todays quantum mechanics, one-dimensional linear harmonic oscillator can be described as a fairly typical and
3、important systems. It was first proposed by the German physicist Max Planck, he used simple harmonic oscillator to explain the success of radiation and absorption of heat. Many people think that harmonic oscillator is a very simple model, but many complex models are based on a harmonic oscillator. I
4、t is widely used in many fields, therefore, the study of the linear harmonic oscillator is significant. In this paper, the variational iteration method is used to solve the one-dimensional linear harmonic oscillator in a constant electric field to determine the intrinsic energy and approximate eigen
5、function solution, and the results were analyzed,providing a new method for the solution of the higher powers of the Schrdinger equation .Keywords: variational iteration method; one-dimensional linear harmonic oscillator; Schrdinger equation江苏科技大学本科毕业设计（论文）III目 录第一章 绪论 .11.1 引言 .11.2 课题背景 .21.2.1 国外
6、发展 .21.2.2 国内发展 .31.3 论文研究的目的与意义 .41.4 论文主要内容 .4第二章 理论基础 .52.1 泛函和变分 .52.1.1 引言 .52.1.2 泛函 .72.1.3 自变函数的变分 .82.1.4 泛函的变分 .92.1.5 泛函变分的性质 .112.1.6 各种泛函的变分 .122.2 迭代法 .142.2.1 迭代法与不动点定理 .142.2.2 迭代格式的构造 .162.2.3 迭代法的收敛性与收敛阶 .17第三章 恒定电场中一维线性谐振子 .20结 论 .26致 谢 .27参考文献 .28附 录 .30江苏科技大学本科毕业设计（论文）1第一章 绪论1.1
7、 引言在自然界中有很多现象与简谐振动有关，任何系统在某个平衡位置附近的小振动，例如晶格振动、分子振动、辐射场的振动以及原子核表面振动等一般都是能分解成若干个相互独立的一维简谐振动。简谐振动往往还可以作为一些复杂运动的初步近似，所以对简谐振动的研究，无论在单纯的理论上还是在某些应用上都是很重要的。 举一个很简单的例子，在双原子分子中，两个原子之间的势 V 是关于二者相对距离 x 的函数。如图(1-1)，当 x = a 时，V 取到一极小值 V0 。我们可以把 x = a 附近的势展开成泰勒级数： 22)(!1)(!1)( xxVaxVaa220)(!xa01kV图 1-1 势 V 与距离 x 的
8、函数图像然后把坐标原点换成(a, V 0)，我们就可以得到标准谐振子势：江苏科技大学本科毕业设计（论文）221)(kxV由此可见，在某些相当复杂的势场下，粒子的运动通常被近似的描述为线性谐振动。经典力学中，一维谐振子的哈密顿 2为2221pHVmx上式用相应算符代入，得221dx它是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。而本文讨论的恒定电场中，其体系的哈密顿算符为xqmdxH221可以设 ,带入本征值方程 ,可得体系的薛定谔方程 3mEH022mqd本论文的主要内容就是通过变分迭代法 4解上式的薛定谔方程。1.2 课题背景1.2.1 国外发展变分迭代法在国外有很多研究及应用。通过查阅资料得知的研
9、究如下：1982年，J.S.Pang、 D.Chan（工业管理研究生院，卡内基梅隆大学）研究了求解变分不等式和非线性互补问题的各种迭代法，这种方法具有局部收敛性和全局收敛性 5。其中包括的方法有牛顿和几个连续超松弛算法。其中重点研究的是线性近似方法系列。1985年，Jong-Shi Pang（管理学院，德克萨斯大学）研究了非对称变分不等式问题江苏科技大学本科毕业设计（论文）3在产品组合：应用及迭代方法 6。其中描述了几个平衡问题可以统一建模的一个有限维的非对称变分不等式定义，并探讨求解变分不等式问题的各种迭代方法的局部收敛性和全局收敛性。由于特殊的笛卡儿乘积结构，这些迭代方法将原变分不等式问题
10、转化为在较低维度的一系列简单的变分不等式问题。2001年，M.A. Noor发表了关于广义变分不等式的迭代方法的论文 7。2008年，Muhammad Aslam Noor, Khalida Inayat Noor（巴基斯坦信息技术学院）研究了关于在 L p 空间包含三步迭代方法的一般变分 8。其中，广义变分包含了不动点的问题。可以使用这种等价性讨论在L p空间变分包含的存在。采用更新的技术解决方案，我们提出了一些解决一般变分的方法，包含三步迭代方法。2009年，Malik Mamode（物理系，建筑物理与系统实验室，留尼旺岛，法国大学）发表了变分迭代法和初始值问题的文章 9。他提出了拉格朗日
11、乘数的分布特征，这可以被解释为缓速格林函数。这种提法使可能的迭代公式为Picard迭代方案进行简化，有利于收敛性分析。2011年，Muhammad Aslam Noor（数学系，信息技术，公园路，伊斯兰堡，巴基斯坦COMSATS研究所）发表了对于一般的非凸变分不等式的一类迭代方法的论文 10。在本文中，他提出三步迭代方法，并成功解决了广义非凸变分不等式。2014年，I. B. Badriev, V. V. Banderov（喀山（伏尔加地区）联邦大学）发表了关于为解决软壳理论的变分不等式的迭代方法的论文 11。其是对在巴拿赫空间中单调型算子的变分不等式问题的迭代法的收敛性研究。1.2.2 国内
12、发展国内对变分迭代法的研究也有很多。例如：2004 年，谢长珍（汕头大学）将变分迭代法运用到求解微扰问题 12。之前都是用微扰法解微扰问题，这种方法本身有很大的局限性。本文把变分法和迭代法相结合,成功解决了微扰法所不能解决的问题。2005 年，莫嘉琪和林万涛（安徽师范大学）在物理学报上发表了关于厄尔尼诺大气物理机理的变分迭代解法的论文。他们利用变分迭代法解得到了近似展开式。并通过与特殊情形下所得精确解的比较 ,证明了一次近似解在精确度上是完全符合的。2011 年，徐宇锋（中南大学）将变分迭代法运用到求解分数阶自治常微分方程中 13。 他将变分迭代法应用到解该方程组的初值问题,并求出极限形式的解
13、。2013年，魏博关（哈尔滨工业大学）发表了解变分不等式问题的一种迭代方法得论文。江苏科技大学本科毕业设计（论文）4他提出了广义的邻近算子的一些性质，提出了一个迭代法近似解一类广义变分不等式和显示一致凸、光滑巴拿赫空间中的收敛性。1.3 论文研究的目的与意义从变分迭代法解非线性偏微分方程中，寻求解恒定电场中一维线性谐振子的新方法，及寻求解高次幂薛定谔方程的解析解的新方法。一维线性谐振子在很多领域都有广泛的应用。变分迭代法能为这些领域的研究提供新的理论支撑，并推动其发展。1.4 论文主要内容本论文主要研究内容：利用变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子，确定本征能量及本征函数的近似解。江苏科技大
14、学本科毕业设计（论文）5第二章 理论基础2.1 泛函和变分2.1.1 引言在微积分中的函数极值问题: 一个光滑的连续函数 ，在区域12(,.)nyfx内所有点 都能 Taylor 展开nR12(,.)Tnx(2-1)21212)()()(|)(,.,TTTnffffoxxD211221.().nnnfffffffxxD 函数在某一点有极值的必要条件是 12,.,0Tnffxx例 2.1 一个简单的变分问题: 最短线问题图 2-1 最短线问题假设经过 两点距离最短的曲线方程为,AB(2-2)*()yx江苏科技大学本科毕业设计（论文）6另有一任意的连续可导函数 ， 满足两端固定的边界条件()x(2-3)01()x显然 依旧是过固定两点 的连续曲线，其对应的长度为y,AB(2-4)102()()dxLyx当 , 时 取到极小值，也就是说0y)(2-5)0d(|把(2-4)代入(2-5), 展开后有(2-6)101 1001 10 0022223 322 2()()| d|d | d1 dxx xx xLyyyyxy 由于(2-6) 对于任意的 都成立，根据变分引理, 我们可以得到()x(2-7)3201y意味着(2-8)12yCx因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。下面我们来看几类比较典型的变分问题。例 2.2 最速降线问题
