1、第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场1第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场11-1 电源中的非静电力与静电力有什么不同？答：在电路中，电源中非静电力的作用是，迫使正电荷经过电源内部由低电位的电源负极移动到高电位的电源正极，使两极间维持一定的电位差。而静电场的作用是在外电路中把正电荷由高电位的地方移动到低电位的地方，起到推动电流的作用；在电源内部正好相反，静电场起的是抵制电流的作用。电源中存在的电场有两种：1、非静电起源的场；2、稳恒场。把这两种电场与静电场比较，静电场由静止电荷所激发，它不随时间的变化而变化。非静电场不由静止电荷产生，它的大小决定于单位正电荷所受的非静电力， 。当然电源
2、种类不同， 的起因也不同。kFEqkF11-2 静电场与恒定电场有什么相同处和不同处？为什么恒定电场中仍可应用电势概念？答：稳恒电场与静电场有相同之处，即是它们都不随时间的变化而变化，基本规律相同，并且都是位场。但稳恒电场由分布不随时间变化的电荷产生，电荷本身却在移动。正因为建立稳恒电场的电荷分布不随时间变化，因此静电场的两条基本定理，即高斯定理和环路定理仍然适用，所以仍可引入电势的概念。11-3 一根铜导线表面涂以银层，当两端加上电压后，在铜线和银层中，电场强度是否相同？电流密度是否相同？电流强度是否相同？为什么？答：此题涉及知识点：电流强度 ，电流密度概念，电场强度概念，欧姆定律的微dsI
3、j分形式 。设铜线材料横截面均匀，银层的材料和厚度也均匀。由于加在两者上的电jE压相同，两者的长度又相等，故铜线和银层的场强 相同。由于铜线和银层的电导率 不同，E根据 知，它们中的电流密度 不相同。电流强度 ，铜线和银层的 不同jjdsIjj但相差不太大，而它们的横截面积一般相差较大，所以通过两者的电流强度，一般说来是不相同的。11-4 一束质子发生侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是：（1）电场？（2）磁场？（3）若是电场或者是磁场在起作用，如何判断是哪一种场？答：造成这个偏转的原因可以是电场或磁场。可以改变质子的运动方向，通过质子观察运动轨迹来判断是电场还是磁场在起作用。第 11 章 恒定
4、电流与真空中的恒定磁场211-5 3 个粒子，当它们通过磁场时沿着如题图 11-5 所示的路径运动，对每个粒子可作出什么判断？答：根据带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力规律，通过观察运动轨迹的不同可以判断三种粒子是否带电和带电种类。11-6 一长直载流导线如题图 11-6 所示，沿 Oy 轴正向放置，在原点 O 处取一电流元 ，求该电流元在（ a，0，0） ，dIl（0，a，0） ， （a，a，0） ， （a，a，a）各点处的磁感应强度 。B分析：根据毕奥-萨伐尔定律求解。解：由毕奥-萨伐尔定律 03d.4Irl原点 O 处的电流元 在（a ，0，0）点产生的 为：Il 0332dd()444II
5、ljiBalkk在（0，a，0）点产生的 为：dIl 0032dd(),44IlIlajj在（a，a，0）点产生的 为：dIl0 023dd().4162IlIljaijBka在（a，a，a）点产生的 为dIl 0 023dd()().46IlIlaajijkik题图 11-5题图 11-6第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场311-7 用两根彼此平行的长直导线将半径为 R 的均匀导体圆环联到电源上，如题图 11-7 所示， b 点为切点，求 O 点的磁感应强度。分析：应用毕奥-萨伐尔定律分别求出载流直导线 L1 和 L2 以及导体圆环上并联的大圆弧 和小圆弧 在 O 点产生的磁大a大a感
6、应强度，再利用磁感应强度的矢量叠加来求解。解：先看导体圆环，由于 和 并联，设大圆弧有电流 ，小圆弧有电流 ，必有：大b大 1I2I12IR大 小由于圆环材料相同，电阻率相同，截面积 S 相同，实际电阻与圆环弧的弧长 和 有关，l大 小即： 12,Il大 小则 在 O 点产生的 的大小为1I1B012,4IlR大而 在 O 点产生的 的大小为2I2021.4IlB小和 方向相反，大小相等.即1B2。120直导线 在 O 点产生的1L。3B直导线 在 O 点产生的2，方向垂直纸面向外。RI40则 O 点总的磁感强度大小为 IB400方向垂直纸面向外题图 11-7第 11 章 恒定电流与真空中的恒
7、定磁场411-8 一载有电流 的长导线弯折成如题图 11-8 所示I的形状，CD 为 1/4 圆弧，半径为 R，圆心 O 在AC，EF 的延长线上 .求 O 点处磁场的场强。分析：O 点的磁感强度 为各段载流导线在 O 点产生磁感强度的矢量和。解：因为 O 点在 AC 和 EF 的延长线上，故 AC 和 EF 段对 O 点的磁场没有贡献。CD 段 00,48CDIBRDE 段 0 002(cos513).4/DEI IaRO 点总磁感应强度为 0012824DECIIBR方同垂直纸面向外.11-9. 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线 和 ，相距1L20.1m，通有方向相反的电流， =20
8、A, =10A，如题图11-9所示1I2， 两点与导线在同一平面内这两点与导线 的距离均为ab 25.0cm试求 ， 两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置分析：先根据无限长载流直导线的磁感应强度公式，由矢量叠加即可求出空中某场点的合场强。解：如题图 9-8 所示, 方向垂直纸面向里aB 401021.0(T)2(.5).aII方向垂直纸面向外b 50201.310().5(.5)bIIB题图 11-8题图 11-9第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场5设 在 外侧距离 为 处0B2L2r则0102(.)IIrr解得.m11-10 如题图 11-10 所示一无限长薄电流板均匀通有
9、电流 ，电流板I宽为 ，求在电流板同一平面内距板边为 的 P 点处的磁感应强度。aa分析：将无限长薄电流板分割成许多无限长载流直导线，应用无限长载流直导线产生的磁场 公式，然后积分求解总的磁感应强度。注意dB利用场的对称性。解：在电流板上距 P 点 x 处取宽为 并平行于电流 的无限长窄条，.xI窄条中的电流为 d.Ia在 P 点处产生的磁感强度为dI方向垂直纸面向里。0,2IBx整个电流板上各窄条电流在 P 点处产生的 方向相同，故d2000dln2aIIIBxa方向垂直纸面向里。11-11 在半径 的“ 无限长” 半圆柱形金属薄片中，有电1cmR流 自下而上地通过，如题图 11-10 所示
10、。试求圆柱轴线5IA上一点 P 处的磁感应强度。分析：将半圆柱形金属薄片分割成许多无限长载流直导线，应用无限长载流直导线产生的磁场 公式，将 按坐标轴分解dB后再积分求解总的磁感应强度。注意利用场的对称性。解：如解 11-10 图所示，无限长载流半圆形金属薄片可看成由许多宽为 的无限长电流窄条所组成，每根导线上的dlR电流在 P 点产生的磁场 大小为 ，方向按右手dB0d2IR螺旋法则确定。解图 11-10 解 11-10 图题图 11-10题图 11-11第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场6ddIlR02.IB由于各电流窄条产生的磁场方向各不相同，应按坐标轴分解将矢量积分化为标量积分，
11、即 0022ddsinsin,xxIIR0coco.yyB所以 50246.371(T)1xIR方向向右。11-12 在半径为 R 及 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈（如题图 11-12）通有电流 ，求线圈中心（即两I圆圆心）处的磁感应强度。分析：将密绕平面线圈分割成许多同心的圆电流，利用载流圆环在其圆心处产生的磁场 公式求解，然后再积分求解总的磁感dB应强度。解：由于载流螺旋线绕得很密，可以将它看成由许多同心的圆电流所组成，在沿径向 r 到 R 范围内，单位长度的线圈匝数为 .Nn任取半径 ，宽为 d的电流环，该电流环共有电流为 .IRr该电流环在线圈中心产生的磁感强
12、度大小为 00dd.2()INBInr圆心处总磁感强度大小 00ddln,2()2()RrIIRr方向垂直纸面向外。11-13 如题图 11-13 所示，在顶角为 的圆锥台上密绕以线圈，共 N 匝，通以电流 ，绕有线圈部分的上下底半径分别为 和 .求圆锥顶 O 处的磁感I rR应强度的大小.题图 11-12题图 11-13第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场7分析：将密绕线圈看成许多载流圆环，利用载流圆环在其轴线上产生的磁场公式 公式，dB再积分求解总的磁感应强度。解：只要将题 11-12 中的均匀密绕平面线圈沿通过中心的轴垂直上提，便与本题条件相一致，故解题思路也相似。如解图 11-12
13、 建立坐标，取半径为 ， 宽为 d的电流环的密绕线圈，其含有匝数为 ，dNRr通电流为 .Ir因为， 。cotxdcotx半径为 的一小匝电流在 O 点产生的 大小为B22003/ 3/d(+)(+cot)()I NIBxRr003sind.2cs()2()NIIRrr所有电流产生的磁场方向均沿 x 轴，所以其磁感强度大小为 3300insindl.2()2()RrINIRBr11-14 半径为 R 的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面共有 N 匝，如题图 11-14 所示。设导线中通有电流 ，求在球心 O 处的磁感应强度。I分析：考虑线圈沿圆弧均匀
14、分布，利用载流圆环在其轴线上产生的磁感应强度公式求解，再积分求解总的磁感应强度。解：建立如解图 11-14 所示坐标， 轴垂直线圈平面，考虑线圈沿圆弧均匀分x布，故在 内含有线圈的匝数为dx2dd./NNlR线圈中通电流 时，中心 O 点处磁感强度为I203/.()IyBx因为解图 11-12解图 11-13题图 11-14第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场8sin,cos,xRy对整个半球积分求得 O 点总磁感强度为 203/dd()IBNxy20cosINR04IR方向沿 x 轴正向。11-15 一个塑料圆盘，半径为 R，带电 q 均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速
15、度为 .试证明（1）在圆盘中心处的磁感应强度为 02B（2）圆盘的磁偶极矩为 m14pq分析：均匀带电圆盘以角速度 旋转时相当于圆电流，利用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求解，再积分求解总的磁感应强度。解：（1）在圆盘上取一个半径为 、宽为 的细圆环，其所带电量为rd2dqqrR圆盘转动后相当于圆电流 22dInr若干个圆电流在圆心产生的磁感强度为 0002dRIqBrR（2）细圆环的磁矩为 32m2ddqrpSIr转动圆盘的总磁矩为 32m201d4RqrpR方向沿轴向。11-16 已知一均匀磁场的磁感应强度 B=2T，方向沿 x 轴正方向，如题图 11-16 所示。试求 :（1）通过图中
16、 ABCD 面的磁通量；（2）通过图中 BEFC 面的磁通量；题图 11-16第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场9（3）通过图中 AEFD 面的磁通量。分析：应用磁通量概念求解。解：（1）取各面由内向外为法线正方向。则穿入22cos40130.4(Wb)ABCDABS（2） .EFEFC（3） 穿出cs.2(b)ADAAEFDS11-17 如题图 11-17 所示，在长直导线 AB 内通有电流 ，有一与之共面I的等边三角形 CDE，其高为 ，平行于直导线的一边 CE 到直导线的距离h为 。求穿过此三角形线圈的磁通量。b分析：由于磁场不均匀，将三角形面积分割成许多平行于长直导线的狭条，应用
17、磁通量概念求出穿过狭条面元的磁通量，然后利用积分求出穿过三角形线圈的磁通量。解：建立如解图 11-17 所示坐标，取距电流 AB 为 远处的宽为 且与 ABxdx平行的狭条为面积元 d2()tan30d.Sbhx则通过等边三角形的磁通量为0()tbhSIBxx 0033d()ln.bh Ibh11-18 一根很长的圆柱形实心铜导线半径为 ，均匀载流为 。RI试计算：（1）如题图 11-18（a）所示，导线内部通过单位长度导线剖面的磁通量；（2）如题图 11-18（a）所示，导线外部通过单位长度导线剖面的磁通量.分析 解此题需分以下两步走：先由安培环路定理求得导线内、外的磁感应强度分布情况；再根
18、据磁通量的定义式 来求解。dBS解 由磁场的安培环路定理可求得磁感应强度分布情况为解图 11-17题图 11-18题图 11-17第 11 章 恒定电流与真空中的恒定磁场1002()IrBR内外然后求磁通量。沿轴线方向在剖面取面元 ，考虑到面元上各点 相同，故穿过dSlrB面元的磁通量 ，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量。dBS(1)导线内部通过单位长度导线剖面的磁通量00204RRIrI内 内(2)导线外部通过单位长度导线剖面的磁通量.20dlnRIBr外 外11-19 如题图 11-19 所示的空心柱形导体，柱的内外半径分别为 和 ，ab导体内载有电流 ，设电流 均匀分布在导体的横截面上。求证导体内II部各点（ ）的磁感应强度 B 由下式给出：arb.202()IB分析：应用安培环路定理求解。注意环路中电流的计算，应该是先求出载流导体内电流密度，再求出穿过环路的电流。证明：载流导体内电流密度为 2()Iba由对称性可知，取以轴为圆心， 为半径的圆周为积分回路 ，则由安培环路定理rLliIB0d得 22002()raraIb从而有202()IrBba11-20 有一根很长的同轴电缆，由两个同轴圆筒状导体组成，这两个圆筒状导体的尺寸如题图 11-19 所示。在这两导体中，有大小相等而方向相反的电流 流过。求:I题图 11-19题图 11-20
