1、浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院模拟试题 1一、填空题: (每小题 2分,共 8分)1. 方程 ()0dypxQ的通解是 ;2. ,MNyd是全微分方程(恰当方程)的充要条件 ;3. 方程43250dyttt的通解是 ;4. 方程 xe的特解可设为 . 参考答案 o 1. ()()PxdPxdyeQeC 2. MNyx o 3. 1234cossin2t tCt 4. 2()ABe 二、是非判断题: (每小题 2分,共 12分)1. 如果 ()Xti是微分方程组 ()dXAtbt的复值解(这里 ()t、 t、 b都是实向量函数, ()t是实矩阵函数),那么 ()
2、t是微分方程组 ()td的解; 2. 方程20dyax( 是实数)的通解是 12cosin()yCx;3. 如果存在定负函数 V(X),使得 V通过方程组 dXft其中 ()0fX）的全导数 dt定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4. 方程 ()()yaxbycx(其中 a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;5. 如果 t、 t均为方程组 )dXAt的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵 C使得 ()tC成立 ;6. 方程 dxy=2 满足初始条件 :x=0时 y=0的解只有 y=0 . 参考答案 浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院o 1. ,
3、2. , 3. , 4. , 5. , 6. . 三、(24 分)求解下列各方程:1 dxy= 32; 2. dxy= 31; 3. xye; 4. 20x. 参考答案 o 1. dxy= 32122(1)ydx22()()1dyx221log()lxC21x通解为 221()y 或者 写成22xyC;o 2. d= 31yxd= 3xy 3dxy= 23 2()xy= 2232ydydeeC= 223yyedC=22(1)yyeeC,即,通解为 222(1)yxe;o 3. yde ,设 u,则 x= ()uyex= u, 所以 ed2uC,即得通解2xyeC; o 4. x( d)2-2y
4、( dxy)+x=0 ,设 dxyp,则 1()2xp,两边关于 x求导得 21()2p浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院210p或 xp. 由 xp得 Cx, 所以通解是 21Cy,由 得奇解 p.四、(20 分)求下列各方程的通解:1. 28sinxt;2. 460tx. 参考答案 o 1. 20x的通解是 21ttxCe,设原方程的特解是 sincosAtBt, 将 代入原方程得(62)si(6)8i2ABtt,所以有 0AB 652A ,所以原方程的通解是 1262sincos5ttxCett;注:如果用常数变易法或利用辅助方程 8itxe求解,则参照此解
5、法给分.o 2. 2460tx设 tes 则原方程化为(1)D,(其中 dD), 即 2560x,此方程通解是 231ssxCe,所以原方程的通解是 231Ct.五、(14 分)解方程组: zxdtyztdx浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院 参考答案 o 由 10AE=0 得 2(1)0,所以，特征值是 12,30. 对于 2,3，设()ttxABeyCDzEF(6分) 代入方程组可得ACEBDFE0ABF记 1CE, 2D,则1210,ABC.对于 10,可求得一特征向量.因此,原方程的通解是 132()ttxeCyzt,或者写成 12301ttxyCeCz.
6、六、(12 分)已知微分方程 ()ygx,其中g(x)=.1,02时当 时 ，当 x试求一连续函数 y=y(x),满足条件 y(0)=0,且在区间(0,1)内满足上述方程. 参考答案 o 1.当 (0,1)x时, 2y,所以, 12xyCe.由 (0)y得浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院12C; 当 (,)x时, 0y,所以, 2xyCe.因为 y(x)在 x=1连续,所以 2e.所以,所求函数是 2,1()xe.七、(10 分)判断下列方程组的零解的稳定性:1 yedtyxcos32in82 5yxt 参考答案 o 1. 一次近似方程是 283xy, 特征方程
7、 28013AE, 20, 127i.因为,特征根的实部都 ,所以原方程组的零解是渐近稳定的. o 2. 构造 Lyapunov函数 2(,)Vxy(定正), 则 35462 )dVxy xy 定负,因此,原方程组的零解是渐近稳定的.模拟试题 2 一填空题：（第 1小题 4分，其它每小题 3分，共 25分）1方程 0)(2yxy是 阶是(非) 线性方程.2若方程 ,(,MdN（ ,)(,)MxyN， 连续）是全微分方程，则 (,),)x， 满足关系 .浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院3李普希兹条件是保证初值问题 0(,)dyfx解唯一性的 条件.4对于一阶方程
8、)(xqypdx（ p(x),q(x) C(a,b)）, 则其任一解的存在区间是 .5对于欧拉方程 02ydx，只需作变换 ，即可将其化为常系数线性方程. 6对于二阶方程 0)(xta，其由解 )(,21t所构成的Wronski行列式必为 .7对于常系数线性齐次方程组 A，若常系数矩阵 A的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当 t时 .8单摆运动方程 0sinlgm可化为一阶方程组 . 参考答案 1. 三 ，非 2 MNyx 3充分， 4(a,b)， 5 tex，o 6常数 ， 7. 趋于零， 8. ymxlgdtysin. 二求解下述方程：（每小题 6分，共 42分）1 yxed2 23
9、 0)(xydx4. 22y5. 12txa6. sin7. 0)(2浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院 参考答案 o 1. 0Ceyx (6分) o 2. yxd2，解为 yCyx2ln o 3. 积分因子为 21，解为 2ln(6分)； o 4. 设 dxyp(1分)，令 dxyp，解为222411yCxy及(6分)； o 5. （I）当 0a， 21236Ctt;（II）当 ,不防设 a0,则方程的两个基本解为ate， t易求得一个特解 ),1(20tax所以此时方程的解为 )1(221taeCxtat o 6. x+x=0 的通解是 12cosinCtt(
10、2分)， 设原方程的特解是 (xtAB(4分)，将 (cosin)xtAB代入原方程得 2sincosinAtBt，所以有 210 12AB,所以原方程的通解是 121cosincosxCttt注：如果用常数变易法或利用辅助方程 itxe求解，则参照此解法给分o 7. 2()0x,设 xp，则 dpdpxttx（2 分）浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院. 所以，原方程化为 200dpdpxx或由 0dpx得 C，因此得21dxCttt（6 分）三 （本题 11分）1何谓 )(t是线性齐次方程组 A的基解矩阵？2试求系数矩阵 A= 2435上述方程组的基解矩阵.
11、参考答案 o 1. 称 )(t是 A的基解矩阵，如果 )(t满足 （a） )(tt (b) 0de.（4 分）o 2. 令 024352)( AEf，可求得2,132（7 分） 对于 1 由 ,03421x可取 01X, 对于 2，由 ,04321x可取 12对于 23，由 ,0470321x可取 13X浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院因此基解矩阵为 ttttet20)(.（11 分）四讨论题：（本题 12分）研究方程 2xydn1当 n=1, 方程是什么类型的方程？并求解之。2当 n=2, 方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为可求
12、解的类型，并具体求解之。 参考答案 o 1. 当 n=1 时，方程为线性非齐次方程， 其解为 Cdxeyx2（3 分）o 2. 当 n=2 时，方程为 Riccati方程，通过观察，易知x1为其一特解（6 分） ， 令 uy（ 8分） ，代入原方程后可化简为 ,2xdu此为伯努里方程，再令 uv1，则又可化为 ,21xvd可求其解为32xcv，因此原方程的解为 231xcy .五证明题：（本题 10分）设 )(,21tx是方程 0)()(21tatx的基本解组，则线性非齐次方程 2fta浙江师范大学 数理与信息工程学院浙江师范大学 数理与信息工程学院满足初始条件 0)(0tt的解可表为tt d
13、sfwxsx0)()121（其中 w 为解 )(,21tx所成的Wronski行列式） ，试证明之. 参考答案 o 证明：设 )(,21tx 为方程 0)()(21xtatx （1）的两个线性无关解. 令 ,21x，则（1）化为 AX，其中 )(0,)(012 tftFtatA（3 分）则据常数变易公式，满足初始条件 0)(t的解为tdst0)()(1,（6 分）其中 wtxtttxtt /)()(,)( 21121 代入可算得 tt dsfs0 12.模拟试题 3 一、填空题：（每小题 3 分，共 21 分）1. 方程 5()cosin0yxy的阶数是 .2. 方程 dP的通解是 ；3. (,)是方程 (,)(,)0MdNxy的积分因子的充要条件是 ；4. 方程230dxtt的通解是 ；5. 方程 cosxye的特解可设为 ；6. 如果 123,in,ttt是某个二阶线性非齐次方程的特解，那么这个方程的通解是 ；7. 方程 yxy满足条件 (0)1,()0y的解有 个.
