1、- 1 -函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法） ；取值：任取 ，且 ；作差： ；Dx21,21x21xf变形：通常是因式分解或配方；定号：即判断差 的正负；下结论：即指出函数 在给定区间 上的单调性.xf（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3）利用函数的图像； ， ， .xy221xy（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数
2、；如果 单调性相同，那么 是增函数；如果 单调性相)()(xgufy和 )(xgfy )()(xgufy和反，那么 是减函数 .对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆 .)(fy)(x)(xfy上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加： 的单调性： 增函数， 减函数；0abxy0a0a 的单调性： 减区间 ； 增区间 ；kk,k,0 的单调性： ，减区间 ，增区间 ；02acbxy 0aab2, ,2ab，增区间 ，减区间 ；0a, ,2b 在区间 上是增（减）函数，则 时， 在 上是增（减）函数； 时
3、则相反；xfA0kxfA0k若 、 是区间 上的增（减）函数，则 在区间 上是增（减）函数；g g- 2 -若 且在区间 上是增（减）函数，则 在 上是减（增）函数， 在 上是增（减）0xfAxf1AxfA函数；1.函数 y=x2+4x1 的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：函数 y=x2+4x1 的图象开口向上，对称轴为 x=2，y=x 2+4x1 在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增故答案为（2，+） 2.函数 y=x26x+5 在区间（0，5）上是（ ）A 递增函数 B 递减函数 C 先递减后递增 D 先递增后递减分析：本题考察函
4、数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：y=x 26x+5y=（x3） 24，对称轴为 x=3，根据函数 y=x26x+5 可知 a=10，抛物线开口朝上，函数图象在（，3上单调递减，在（3，+）上单调递增，在函数在（0，5）上先递减后递增，故选 C3.如图，已知函数 y=f（x） ，y=g（x）的图象（包括端点） ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在2，1，0，1上为减函数，则-1，0，1，2上为增函数，即函数的单调递增区间为-1，0
5、，1，2，函数单调递减区间为-2，-1，0，12）由图象知函数在-3，-1.5，1.5，3上为减函数，则1.5，1.5上为增函数，即函数的单调递增区间为-3，-1.5，1.5，3，函数单调递减区间为1.5，1.54.已知函数 f（x）=x 22ax+1 在（-，1上是减函数，求实数 a 的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为 x=a，又在（-，1上是减函数，故须 a15.已知函数 f（x）=x 2+4（1a）x+1 在1，+）上是增函数，求 a 的
6、取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出 a 的范围即可解：函数 f（x）=x 2+4（1a）x+1 是开口向上的二次函数，其对称轴为 x=2（a1） ，根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以 2（a1）1，解得 a1.56.若函数 y=x2+2（a1）x+2 在区间（，6）上递减，求 a 的取值范围分析：由 f（x）在区间（，6上递减知：（，6为 f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可解：f（x）的单调减区间为：（，1a，又 f（x）在区间（，6上递减，所以（，6（，1a，则 1a6，解得 a5，所以 a 的取值范围是（
7、，57.如图，分析函数 y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数 y 的单调性与单调区间解：函数 y=|x+1|= ；当 x1 时，y=x+1，是单调增- 3 -函数，单调增区间是（0，+） ；当 x1 时，y=x1，是单调减函数，单调减区间是（，0）8.求函数 f（x）=x 42x 2+5 在区间2，2上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令 t=x2，可得 0t4，根据二次函数 g（t）=f（x）=x42x 2+5=（t1） 2+4 的对称轴为 t=1，再利用二次函数的性质求得函数 g（t） 在区间0，4上的最
8、值解：令 t=x2，由2x2，可得 0t4，由于二次函数 g（t）=f（x）=x 42x 2+5=t22t+5=（t1） 2+4 的对称轴为 t=1，则函数 g（t） 在区间0，4上的最大值是 g（4）=13，最小值为 g（1）=4，故答案为 13，49.证明函数 在2，+）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答证明：任取 x1，x 22，+） ，且 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）= 1x2= = ，)(211 21因为
9、 x1-x20， + 0，x得 f（x 1）f（x 2）所以函数 在2，+）上是增函数10.函数 f（x）= ，用定义证明函数的单调性并写出单调区间；求 f（x）在3，5上最大值和最小值分析：分离常数得到 f（x）= ，根据反比例函数的单调性便可看出 f（x）的单调递增区间为（，1） ， （1，+） ，根据单调性的定义证明：设任意的 x1，x 21，且 x1x 2，然后作差，通分，说明 x1，x 2（，1） ，或 x1，x 2（1，+）上时都有 f（x 1）f（x 2） ，这样即可得出 f（x）的单调区间；根据 f（x）的单调性便知 f（x）在3，5上单调递增，从而可以求出 f（x）的值域，从
10、而可以得出 f（x）在3，5上的最大、最小值解：f（x）= = =2- ；1)(1该函数的定义域为x|x1，设 x1，x 2x|x1，且 x1x 2，则：f（x 1）- f（x 2）= - = ；1)1(21xx 1x 2；x 1x 20；x 1，x 2（，1）时，x 1+10，x 2+10；x1，x 2（1，+）时，x 1+10，x 2+10；（x 1+1） （x 2+1）0；f（x 1）f（x 2） ；f（x）在（，1） ， （1，+）上单调递增，即 f（x）的单调增区间为（，1） ， （1，+） ；由上面知 f（x）在3，5上单调递增；f（3）f（x）f（5） ；74f（x）116；f（
11、x）在3，5上的最大值为 116，最小值为 7411.已知 f（x）+2f（ ）=3x （1）求 f（x）的解析式及定义域；（2）指出 f（x）的单调区间并加以证明解：（1）由 f(x)+2f( ) 3x ，用 代替 x，得 f( )+2f(x) ；2-，得 3f(x) -3x，所x13x6以 f(x) -x（x0）x2- 4 -（2）由（1） ，f(x) -x（ x0）其递减区间为（-，0）和（0，+） ，无增区间x2事实上，任取 x1，x 2（-，0）且 x1x 2，则 f(x1)-f(x2) -x1- +x2 -(x1-x2) (x2-x1) ，(21xx 1x 20x 2-x10，x
12、1x20，2+x 1x20，所以 (x 2-x1) 0，即 f（x 1）f（x 2）故 f（ x）在（-，0）上递减同理可证其在（0，+）上也递减12.证明：f（x）=x+ 在（3，+）上是增函数，在（2，3上是减函数x分析：利用函数单调性的定义证明证明：设任意的 x1，x 2（3，+） ，且 x1x 2，则 f（x 1）f（x 2）=（x 1+ ）-（x 2+ ）=（ x1x 2） ，)2(1)(1xx 1，x 2（3，+） ，且 x1x 2，x 1x 20，x 121，x 221， （x 12） （x 22）1，（x 1x 2） 0，f（x 1）f（x 2）0，即 f（x 1）f（x 2）
13、 ，)()(1f（x）=x+ 在（3， +）上是增函数同理可证，f（x）=x+ 在（2，3上是减函数x【 例 6】 讨 论 函 数 的 单 调 性 ， 并 画 出 它 的 大 致 图 像 f()x1解 定义域为(，0)(0 ，) ，任取定义域内两个值 x1、x 2，且 x1x 2 ， 又 ，fx)(x012121122当 0x 1x 21 或1x 1x 20 时，有 x1x210，x 1x20，f(x 1)f(x 2)f(x)在 (0，1，1，0) 上为减函数当 1x 1x 2 或 x1x 21 时，有 x1x210，x 1x20，f(x 1)f(x 2)，f(x)在 (，1，1，)上为增函数根据上面讨论的单调区间的结果，又 x0 时，f(x) minf(1)2，当 x0 时，f(x) maxf( 1)2由上述的单调区间及最值可大致画出图像。函数 y|x 22x 3|的单调增区间是_【解析】 y |x 22x 3|(x1) 24| ，作出该函数的图像(如图) 由图像可知，其增区间为1,1和3，)
