1、12013 年高考数学（文科）分类解析专题 9：圆锥曲线一、选择题1 （2013 年高考湖北卷（文） ）已知 04,则双曲线 1C:221sincosxy与 2C:221cosinyx的（ ）A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【答案】D 【解析】本题考查双曲线的方程以及 ,abc的计算。双曲线 1中， 22sin,cosab，所以21c，离心率为 21sine。 2中， 2os,ib，所以 1。所以两个双曲线有相同的焦距，选 D.2 （2013 年高考四川卷（文 9） ）从椭圆21(0)xyab上一点 P向 x轴作垂线,垂足恰为左焦点 1F, A是椭圆与 x轴正半轴的交点,
2、B是椭圆与 y轴正半轴的交点,且 /ABOP( 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A 24B 12C 2D 32【答案】C 【解析】由已知得，点 ),(ycP在椭圆上，代入椭圆的方程，得 ),(2abcP，因为 ABOP，所以 OPABk， ab2， ，所以 2122cbae， e，选 C.3 （2013 年高考课标卷（文 10） ）设抛物线 2:4Cyx的焦点为 F，直线 l过 且与 C交于 A， B两点。若 |3|AFB，则 l的方程为（ ）（A） 1yx或 x （B ） 3(1)yx或 3(1)yx（C） 3()或 3()y （D） 2()或 2()【答案】C2【解析】抛物线 y2=
3、4x 的焦点坐标为（1，0 ），准线方程为 x=-1，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则因为|AF|=3|BF|，所以 x1+1=3（x 2+1），所以 x1=3x2+2。因为|y 1|=3|y2|，x 1=9x2，所以x1=3，x 2= 3，当 x1=3 时， ，所以此时 3y，若 3，则(,)(,)AB,此时 3ABk,此时直线方程为 ()x。若 1y，则123(3,),(),此时 AB,此时直线方程为 3()y。所以 l的方程是yx或 (1yx，选 C.4 （2013 年高考课标卷（文 8） ） O为坐标原点, F为抛物线 2:4Cyx的焦点, P为 C上一点,若 |42
4、PF,则 F的面积为（ ）A B C 23D【答案】C【解析】抛物线的焦点 (2,0),准线方程为 x。因为 |42PF，所以|42PFx，即 3Px，所以 243Py,即 6Py。所以O的面积为 16，选 C.【规律总结】与抛物线有关的试题，更多的是考查抛物线的定义，利用到焦点的距离和到准线的距离相等，实现转化。5 （2013 年高考课标卷（文 4） ）已知双曲线2:1xyCab(0,)b的离心率为 52,则C的渐近线方程为（ ）A 14yxB 13yxC 2yxD yx【答案】C【解析】双曲线的离心率为 52，即 ca，所以 25,4ca。即 2254cab，所以 214ab，即 214，
5、所以 b。所以双曲线的渐近线为 1byx，选 C.6 （ 2013 年高考福建卷（文） ）双曲线 12yx的顶点到其渐近线的距离等于（ ）3A 21B 2C1 D 2【答案】B 【解析】本题考查的是双曲线的性质因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为 )0,1(，取一条渐近线为 xy，所以点 )0,1(到直线 xy的距离为 27 （2013 年高考广东卷（文） ）已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 (,)F,离心率等于 1,则 C的方程是（ ）A 1432yxB 1342yxC 124yxD 342yx【答案】D 【解析】由椭圆 C的右焦点为 (,0)F，可知 c
6、，又离心率等于 2，所以 12cea，解得2a，所以 22413bac，即椭圆的方程为 1342yx，选 D.8 （2013 年高考四川卷（文 5） ）抛物线 28yx的焦点到直线 0的距离是（ ）A 23B C 3D 1【答案】D 【解析】 xy82的焦点为(2,0)，到 0xy的距离为 32d，选 D.【知识拓展】抛物线的焦点弦：抛物线 2p的过焦点 ,0pF的弦 AB，若12,AxyB，则211,4pxy，弦长 12ABx同样可得抛物线2py， 类似的性质9 （2013 年高考课标卷（文 5） ）设椭圆2:1xyCab(0)的左、右焦点分别为12,F， P是 C上的点， 21F， 123
7、0PF，则 的离心率为（ ）（A） 36 （B） 3 （C） （D） 3【答案】D4【解析】因为 2112,30PF,所以 2 1234tan0,PFccPFc 。又1263ca，所以 c，即椭圆的离心率为 ，选 D.10 （2013 年高考大纲卷（文 8） ）已知 12 2,0, ,FCF是 椭 圆 的 两 个 焦 点 过 且垂直于x轴的直线交于 AB、 两 点 ， 且 3， 则 的方程为（ ）A21yB21xyC214xyD2154xy【答案】C 【解析】设椭圆方程为 2byax，则 2ba，当 1x时， )1()1(222y，所以 312a， 解得 42a， 32b.故所求的方程为243
8、xy，选 C.11 （2013 年高考辽宁卷（文 11） ）已知椭圆2:1(0)Cab的左焦点为 F,FC与 过 原 点 的 直 线 相 交 于 ,AB两点,连接了 ,AFB,若410,8,cosF5AB,则 的离心率为（ ）A 35B 7C D 67【答案】B 【解析】由余弦定理，AF=6，所以 26814a，又 20c，所以 1054e,选 B.12 （2013 年高考重庆卷（文 10） ）设双曲线 C的中心为点 O,若有且只有一对相较于点 O、所成的角为 06的直线 1AB和 2,使 12AB,其中 1、 和 2A、 B分别是这对直线与双曲线 C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 z
9、hangwlx（ ）A 23(B 3,)C 3(,)D 3,)5【答案】A 【解析】本题考查双曲线的性质与方程。因为 12AB,所以根据对称性可知，直线 1AB,2B关于 x轴对称，因为直线 1, 2所成的角为 60。所以直线 1AB的倾斜角为 30或 6，即斜率为 3tan0或 tan603，要使直线 1与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率3b，当 b时， 2，所以 22()ca， 234ca，即 43e，所以42e。当 3a时，有 3，即 2b，所以 22，即 2ca，即,ca，所以综上 2e，即双曲线离心率的范围时 3,，选 A.13 （2013 年高考大纲卷（文 12） ）已知抛物线 2
10、:8Cyx与点 2,M,过 C的焦点且斜率为k的直线与 C交于 ,AB两点,若 0MB,则 k（ ）A 12B 2C 2D 2【答案】D 【解析】 xy82的焦点为(2,0)，所以 )2(82xky，所以 )8(2yk，即082k， ky21， 162.又设 ),(1xA， ),(B， 0)2,(),(21yxyxMBA，02211 y，即 (8212 ，所以 04)(4)(64)( 21212121 yy ，6)6()8()(22 kk，解得 ，故选 D.14 （2013 年高考北京卷（文 7） ）双曲线21yxm的离心率大于 2的充分必要条件是6（ ）A 12mB 1mC 1mD 2m【答
11、案】C【解析】 a， b2， c2， 22e，则 1n.15 （2013 年上海高考数学试题（文科 18） ）记椭圆 4xy围成的区域(含边界)为1,2n,当点 ,xy分别在 12, 上时, 的最大值分别是 12,M ,则limM（ ）A0 B 4C2 D 2【答案】D 【解析】 1414lim1222 yxnyxnyxn椭 圆 方 程 为 ： 0)4(8024)(14 2222 uuxxuyxu联 立 ,80)(22 的 最 大 值 为所 以 y选 D16 （2013 年高考江西卷（文 9） ）已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y的焦点为 F,射线 FA与抛物线 C相交于点 M,与其
12、准线相交于点 N,则|FM|:|MN|=（ ）A2: B1:2 C1: D1:35 5 【答案】C 【解析】本题考查抛物线的定义及应用。抛物线的焦点坐标为 (0,1)F，准线方程为 1y，过点 M，做准线的垂线，交准线于 B。则 FM，所以 sinBMNN设射线的倾斜角为 ，则 N，即 10tanta()ta2，所以 51sinB，所以|FM| ：|MN| 1:5，选 C。717 （2013 年高考山东卷（文 11） ）抛物线 )0(21:pxyC的焦点与双曲线2:13xCy的右焦点的连线交 1于第一象限的点 M,若 1C在点 M处的切线平行于 2C的一条渐近线,则 p= （ ）A 16B 8
13、3C 32D 34【答案】D 【解析】由题设知：抛物线的焦点 F )2,0(p，双曲线的焦点 F2(2,0)，所以直线 FF2：24pxy.由 2412pxy得 2x，即 1)(2xp，双曲线 C2 的渐近线方程为 xy3，又由 1得 3，解得 21，所以 34x，故 3p.18 （2013 年高考浙江卷（文 9） ）如图 F1.F2是椭圆 C1: +y2=1与双曲线 C2的公共焦点（ ）x24AB 分别是 C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2为矩形,则 C2的离心率是（ ）A B C D2 332（第 9 题图）8【答案】 D【解析】由已知得 12(3,0)(,)F设双曲
14、线实半轴为 ，由椭圆及双曲线的定义和已知得到12124Aa,解得 ， 3c。所以双曲线的离心率为 362ca，所以选 D二、填空题19 （2013 年高考湖南（文 14） ）设 F1,F2是双曲线 C,21axyb(a0,b0)的两个焦点.若在 C上存在一点 P.使 PF1PF 2,且PF 1F2=30,则 C的离心率为_.【答案】 3 【解析】本题考查双曲线的方程和性质。不妨设点 P 位于双曲线的右支上,因为 1230PF，PF1PF 2，所以 21,3PFcc。由双曲线的定义可知， 12Fa，即3ca，所以 ，即 C的离心率为 3。20 （2013 年高考卷（文 11） ）双曲线2169x
15、y的离心率为 _.【答案】 45【解析】 。所 以 离 心 率 为 45,4516216922 eaceab21 （2013 年高考辽宁卷（文 15） ）已知 F为双曲线2:196xyC的左焦点, ,PQ为 C上的点,若 PQ的长等于虚轴长的 2倍,点 5,0A 在线段 PQ上,则 F的周长为_.【答案】44 【解析】 |6,|6,FFQ两式相加，所以并利用双曲线的定义得|28P，所以周长为 |4P.22 （2013 年上海高考数学试题（文科 12） ）设 AB是椭圆 的长轴,点 C在 上,且 4BA.若4AB, 2C,则 的两个焦点之间的距离为_.9【答案】 463 【解析】 ,4,2,45
16、DABCABCBA设 在 上 ， 且 ，1,(1)C2(1)a把 ，代入椭圆的标准方程得222 8,3abcc63。23 （2013 年高考北京卷（文 9） ）若抛物线 2ypx的焦点坐标为 (1,0)则 p=_;准线方程为_.【答案】2, 1x 【解析】由题意 2p，则 2.24 （2013 年高考福建卷（文） ）椭圆 )0(1:2bayx的左、右焦点分别为 21,F,焦距为c2.若直线与椭圆 的一个交点 M满足 121F,则该椭圆的离心率等于_【答案】 13 【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率由题意可知， 21中，90,30,60211221 MFFM，所以有 121 2213)(MFa
17、c，整理得3ace，故答案为 25 （2013 年高考天津卷（文 11） ）已知抛物线 28yx的准线过双曲线21(0,)xyab的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为_.【答案】213yx【解析】抛物线的准线方程为 2x，因为双曲线的一个焦点在准线 2x上，所以 2c，即 2c，且双曲线的焦点在 轴上。又双曲线的离心率为 2，即 cea，解得 1a，所以 413ba，所以双曲线的方程为 213yx。10三、解答题26 （2013 年高考浙江卷（文） ）已知抛物线 C的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1)()求抛物线 C的方程;() 过点 F作直线交抛物线 C于 A.B两点.若直线 AO.BO分别交直线 l:y=x-2于 M.N两点,求|MN|的最小值. 【答案】解:()由已知可得抛物线的方程为: 2(0)xpy,且 12p,所以抛物线方程是: 24xy; ()设21(,)(,)AB,所以 12,4AOBxk所以 AO的方程是:4xy, 由11842Mxyx,同理由2284Nxyx所以 12121|1|2| |8| |464()NNxxx 设 :ABykx,由 122204yk kk ,
