1、12015年中考数学压轴题训练1 （ 北 京 模 拟 ） 已知抛物线 y x 22 x m2 与 y轴交于点 A（0，2 m7） ，与直线y2 x交于点 B、 C（ B在 C的右侧） （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 E，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 BFE CFE，若存在，求出点 F的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点 P、 Q同时从原点出发，分别以每秒 个单位长度、每秒 2 个单位长度的5 5速度沿射线 OC运动，以 PQ为斜边在直线 BC的上方作直角三角形 PMQ（直角边分别平行于坐标轴） ，设运动时间为 t秒若 PMQ与抛物线 y x 22 x m2 有公共
2、点，求 t的取值范围解：（1）把点 A（0，2 m7）代入 y x 22 x m2，得 m5抛物线的解析式为 y x 22 x3（2）由 解得 B（ ，2 ） ， C（ ，2 ）3 3 3 3 y x 22 x3( x1 )24抛物线的对称轴为 x1设 F（1， y） BFE CFE，tan BFEtan CFE当点 F在点 B上方时， 解得 y6， F（1，6）当点 F在点 B下方时， 解得 y6（舍去）满足条件的点 F的坐标是 F（1，6）（3）由题意， OP t， OQ2 t， PQ t5 5 5 P、 Q在直线直线 y2 x上设 P（ x，2 x） ，则 Q（2 x，4 x） （ x
3、0） t， x tx 2 4x 2 5 P（ t，2 t） ， Q（2 t，4 t）xOyA BCPQMxOyA BCFExOyA BCPQM2 M（2 t，2 t）当 M（2 t，2 t）在抛物线上时，有2 t4 t 24 t3解得 t （舍去负值）当 P（ t，2 t）在抛物线上时，有2 t t 22 t3解得 t （舍去负值）3 t的取值范围是： t 32 （ 北 京 模 拟 ） 在平面直角坐标系中，抛物线 y1 ax 23 x c经过原点及点 A（1，2） ，与 x轴相交于另一点 B（1）求抛物线 y1的解析式及 B点坐标；（2）若将抛物线 y1以 x3 为对称轴向右翻折后，得到一条新
4、的抛物线 y2，已知抛物线y2与 x轴交于两点，其中右边的交点为 C点动点 P从 O点出发，沿线段 OC向 C点运动，过 P点作 x轴的垂线，交直线 OA于 D点，以 PD为边在 PD的右侧作正方形 PDEF当点 E落在抛物线 y1上时，求 OP的长；若点 P的运动速度为每秒 1个单位长度，同时线段 OC上另一点 Q从 C点出发向 O点运动，速度为每秒 2个单位长度，当 Q点到达 O点时 P、 Q两点停止运动过 Q点作 x轴的垂线，与直线 AC交于 G点，以 QG为边在 QG的左侧作正方形 QGMN当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求 t的值 （正方形在 x轴上的边除外）解：（
5、1）抛物线 y1 ax 23 x c经过原点及点 A（1，2） 解得 抛物线 y1的解析式为 y1 x 23 x令 y10，得 x 23 x0，解得 x10， x23 B（3，0）（2）由题意，可得 C（6，0）过 A作 AH x轴于 H，设 OP a可得 ODP OAH， 2DPOP AHOH DP2 OP2 a正方形 PDEF， E（3 a，2 a） E（3 a，2 a）在抛物线 y1 x 23 x上2 a9 a 29 a，解得 a10（舍去） ， a2 79xAyODB CP FEDQGNMxAyODB CP FEDQGNMHO P N Q C xyDAEFM G3 OP的长为 79设直
6、线 AC的解析式为 y kx b 解得 k ， b 25 125直线 AC的解析式为 y x 25 125由题意， OP t， PF2 t， QC2 t， GQ t45当 EF与 MN重合时，则 OF CN63 t2 t t6， t 45 3029当 EF与 GQ重合时，则 OF QC63 t2 t6， t 65当 DP与 MN重合时，则 OP CN6 t2 t t6， t 45 3019当 DP与 GQ重合时，则 OP CQ6 t2 t6， t23 （ 北 京 模 拟 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛物线 y ax 2 bx4 经过 A（3，0） 、B（4，0）两点
7、，且与 y轴交于点 C，点 D在 x轴的负半轴上，且 BD BC动点 P从点 A出发，沿线段 AB以每秒 1个单位长度的速度向点 B移动，同时动点 Q从点 C出发，沿线段CA以某一速度向点 A移动（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过 t秒的移动，线段 PQ被 CD垂直平分，求此时 t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQ MA的值最小？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线 y ax 2 bx4 经过 A（3，0） 、 B（4，0）两点 解得 a ， b 13 13所求抛物线的解析式为 y x 2 x413 13（2）连接 DQ，依题意知 AP tx
8、AyODCBD PQO P N Q C xyDAEFM GO PN Q C xyDAEFM GO PN Q C xyDAEFM GxAyODCBD PQ4抛物线 y x 2 x4 与 y轴交于点 C13 13 C（0，4）又 A（3，0， B（4，0）可得 AC5， BC4 ， AB72 BD BC， AD AB BD74 2 CD垂直平分 PQ， QD DP， CDQ CDP BD BC， DCB CDB CDQ DCB， DQ BC ADQ ABC， ADAB DQBC ， ADAB DPBC解得 DP4 ， AP AD DP 2327 177线段 PQ被 CD垂直平分时， t的值为 17
9、7（3）设抛物线 y x 2 x4 的对称轴 x 与 x轴交于点 E13 13 12由于点 A、 B关于对称轴 x 对称，连接 BQ交对称轴于点 M12则 MQ MA MQ MB，即 MQ MA BQ当 BQ AC时， BQ最小，此时 EBM ACOtan EBMtan ACO 34 ，即 ，解得 ME MEBE 34 34 218 M（ ， ）12 218在抛物线的对称轴上存在一点 M（ ， ） ，使得 MQ MA的值最小12 2184 （ 北 京 模 拟 ） 如图，在 Rt ABC中， C90， AC6， BC8动点 P从点 A出发，沿 AC CB BA边运动，点 P在 AC、 CB、 B
10、A边上运动的速度分别为每秒 3、4、5 个单位直线 l从与 AC重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿 CB方向移动，移动过程中43保持 l AC，且分别与 CB、 AB边交于点 E、 F点 P与直线 l同时出发，设运动的时间为 t秒，当点 P第一次回到点 A时，点 P和直线 l同时停止运动（1）当 t_秒时，点 P与点 E重合；当 t_秒时，点 P与点 F重合；（2）当点 P在 AC边上运动时，将 PEF绕点 E逆时针旋转，使得点 P的对应点 P 落在EF上，点 F的对应点为 F ，当 EF AB时，求 t的值；xAyODCBEQ Mx 125（3）作点 P关于直线 EF的对称点 Q，在运动
11、过程中，若形成的四边形 PEQF为菱形，求 t的值；（4）在整个运动过程中，设 PEF的面积为 S，直接写出 S关于 t的函数关系式及 S的最大值解：（1）3；4.5提示：在 Rt ABC中， C90， AC6， BC8 AB 10，sin B ，cos B ，tan B 6 2 8 2ACAB 35 BCAB 45 ACBC 34当点 P与点 E重合时，点 P在 CB边上， CP CE AC6，点 P在 AC、 CB边上运动的速度分别为每秒 3、4 个单位点 P在 AC边上运动的时间为 2秒， CP4( t2 ) CE t，4( t2 ) t，解得 t343 43当点 P与点 F重合时，点
12、P在 BA边上， BP BF AC6， BC8，点 P在 AC、 CB、 BA边上运动的速度分别为每秒 3、4、5 个单位点 P在 AC、 CB边上运动的时间共为 4秒， BF BP5( t4 ) CE t， BE8 t43 43在 Rt BEF中， cos BBEBF ，解得 t4.545（2）由题意， PEF MEN EF AC， C90， BEF90， CPE PEF EN AB， B MEN CPE B，tan CPEtan Btan CPE ，tan B CECP ACBC 34 ， CP CECECP 34 43 AP3 t（0 t 2） ， CE t， CP63 t4363 t
13、t，解得 t 43 43 5443（3）连接 PQ交 EF于 O P、 Q关于直线 EF对称， EF垂直平分 PQBCAPlFEBCA备用图EBOCAPlFQEBMCAPlFNBCAlFE(P)BCAlFE(P)6若四边形 PEQF为菱形，则 OE OF EF12当点 P在 AC边上运动时易知四边形 POEC为矩形， OE PC PC EF12 CE t， BE8 t， EF BEtanB ( 8 t )6 t43 43 34 4363 t ( 6 t )，解得 t 12 65当点 P在 CB边上运动时， P、 E、 Q三点共线，不存在四边形 PEQF当点 P在 BA边上运动时，则点 P在点
14、B、 F之间 BE8 t， BF ( 8 t )10 t43 BEcosB 54 43 53 BP5( t4 )， PF BF BP10 t5( t4 )30 t53 203 POF BEF90， PO BE， OPF B在 Rt POF中， sin BOFPF ，解得 t 35 307当 t 或 t 时，四边形 PEQF为菱形65 307（4） S S的最大值为 1635 （北京模拟）在等腰梯形 ABCD中， AB CD， AB10， CD6， AD BC4点 P从点 B出发，沿线段 BA向点 A匀速运动，速度为每秒 2个单位，过点 P作直线 BC的垂线 PE，垂足为 E设点 P的运动时间为
15、 t（秒） （1） A_；（2）将 PBE沿直线 PE翻折，得到 PB E，记 PB E与梯形 ABCD重叠部分的面积为S，求 S与 t之间的函数关系式，并求出 S的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点 D、 P、 B 为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由解：（1）60（2） A B60， PB PB PB B是等边三角形 PB PB BB 2 t， BE B E t， PE t3ACBDPEBACBD备用图EBCA PlFQO7当 0 t 2 时S S PB E B EPE t t t 212 12 3当 2 t 4 时S S PB E
16、S FB C t 2 ( 2t4 )2 t 24 t43 3当 4 t 5 时设 PB 、 PE分别交 DC于点 G、 H，作 GK PH于 K PB B是等边三角形， B PB60 A PG AD，又 DG AP四边形 APGD是平行四边形 PG AD4 AB CD， GHP BPH GPH BPH B PB3012 GHP GPH30， PG GH4 GK PG2， PK KH PGcos30212 3 PH2 PK4 3 S S PGH PHGK 4 2412 12 3 3综上得， S与 t之间的函数关系式为：S （3）若 DPB 90 B PB60， DPA30又 A60， ADP90
17、 AP2 AD，102 t8， t1若 PDB 90作 DM AB于 M， DN B B于 N则 AM2， DM2 ， NC3， DN33 3PM|1022 t|82 t|NB |342 t|72 t|DP 2 DM 2 PM 2( 2 )2( 82 t )2( 82 t )2123DB 2 DN 2 NB ( 3 )2( 72 t )2( 72 t )2273 DP 2 DB 2 B P 2( 82 t )212( 72 t )227( 2t )2解得 t1 5（舍去） ， t2 若 DB P90，则 DB 2 B P 2 DP 2( 72 t )227( 2t )2( 82 t )212解
18、得 t11（舍去） ， t20（舍去）存在以点 D、 P、 B 为顶点的三角形为直角三角形，此时 t1 或 t ACBDPEBFACBDPEBACBDPEBG HKACBDPEBACBDPEBMNACBDPEB8若 DP B P，则( 82 t )212( 2t )2解得 t 198若 B D B P，则( 72 t )227( 2t )2解得 t 197若 DP DB ，则( 82 t )212( 72 t )227解得 t0（舍去）存在以点 D、 P、 B 为顶点的三角形为等腰三角形，此时 t 或 t 198 1976 （北京模拟）已知二次函数 y mx 23 mx2 的图象与 x轴交于点
19、 A（2 ，0） 、3点 B，与 y轴交于点 C（1）求点 B坐标；（2）点 P从点 C出发以每秒 1个单位的速度沿线段 CO向 O点运动，到达点 O后停止运动，过点 P作 PQ AC交 OA于点 Q，将四边形 PQAC沿 PQ翻折，得到四边形 PQA C ，设点 P的运动时间为 t当 t为何值时，点 A 恰好落在二次函数 y mx 23 mx2 图象的对称轴上；设四边形 PQA C 落在第一象限内的图形面积为 S，求 S关于 t的函数关系式，并求出S的最大值解：（1）将 A（2 ，0）代入 y mx 23 mx23得 0 m( 2 )23 m2 2，解得 m 3 3 y x 2 x213 3
20、令 y0，得 x 2 x20，解得： x1 ， x2213 3 3 3 B（ ，0）3（2）由 y x 2 x2，令 x0，得 y213 3 C（0，2） y x 2 x2 ( x )2 13 3 13 32 3 14ACBDPBEABCOAxPHCy(Q)9二次函数图象的对称轴为直线 x 32 3过 A 作 A H OA于 H在 Rt AOC中， OC2， OA2 3 OAC30， OCA60 PQA150， A QH60， AQ A Q2 QH点 A 在二次函数图象的对称轴上 解得 QH AQ ， CP13 t1分两种情况：）当 0 t 1 时，四边形 PQA C 落在第一象限内的图形为等
21、腰三角形 QA DDQ A Q t3A H AQsin60 t t332S S A DQ t t t 212 3 32当 0 t 1 时， S随 t的增大而增大当 t1 时， S有最大值 ）当 1 t 2 时，四边形 PQA C 落在第一象限内的图形为四边形 EOQAS 四边形 EOQA S 梯形 PQA C S OPQ S PC E2 ( 2 t )2 ( 2 t )2 t 23 t 24 t23 3 t 24 t2 ( t )2 3 385且 1 2，当 t 时， S有最大值 85 85 ， S的最大值是 7 （北京模拟）已知梯形 ABCD中， AD BC， A120， E是 AB的中点，
22、过 E点作射线EF BC，交 CD于点 G， AB、 AD的长恰好是方程 x 24 x a 22 a50 的两个相等实数根，动点 P、 Q分别从点 A、 E出发，点 P以每秒 1个单位长度的速度沿 AB由 A向 B运动，点 Q以每秒 2个单位长度的速度沿 EF由 E向 F运动，设点 P、 Q运动的时间为 t（秒） （1）求线段 AB、 AD的长；（2）当 t 1 时，求 DPQ的面积 S与时间 t之间的函数关系式；（3）是否存在 DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间 t；如果不存在，请说明理由ABDQCPE FABCOAxPQ HDCyABCOAxPQ HECy10解：（1）由题意，4
23、 2 4( a 22 a5 )4( a 1 )20 a1原方程可化为 x 2440，解得 x1 x22 AB AD2（2）作 AH BC于 H，交 EG于 O， DK EF于 K， PM DA交 DA的延长线于 M AD BC， A120， AB AD2 B60， AH 3 E是 AB中点，且 EF BC， AO DK AP t， PM t t 1，点 P在点 E下方延长 FE交 PM于 S，设 DP与 EF交于点 N则 PS t AD BC， EF BC， EF AD ， ENAD PEPA EN2 t 1t EN ， QN2 t 2(t 1)t 2(t 1)t S ( 2t )( t )1
24、2 2(t 1)t t 2 t 即 S t 2 t （ t 1）（3）由题意， AM t， DM2 t12 12 DP 2 DM 2 PM 2( 2 t )2( t )2 t 22 t412又 DQ 2 DK 2 KQ 2( )2( 2t 2 )24 t 210 t712PQ 2 PS 2 SQ 2( t )2( 2t )27 t 24 t1t 12若 PDQ90，则 DP 2 DQ 2 PQ 2 t 22 t44 t 210 t77 t 24 t1解得 t 1（舍去负值）6若 DPQ90，则 PD 2 PQ 2 DQ 2 t 22 t47 t 24 t14 t 210 t7解得 t 1（舍去负值）ABDQCPE FGABDQCPE FN GS ONKHM
