1、1中考复习二次函数的综合精选1如图，二次函数 cxy21的图象经过点 D 29,3，与 x 轴交于 A、B 两点求 c的值；如图，设点 C 为该二次函数的图象在 x 轴上方的一点，直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，试证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线 AC 的函数解析式；设点 P、 Q 为该二次函数的图象在 x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、 Q，使 AQP ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由 （图供选用）解： 抛物线经过点 D( 29,3) )3(212cc=6.过点 D、B 点分别作 AC 的垂线，垂足分别为 E、F，设
2、AC 与 BD 交点为 M，AC 将四边形 ABCD 的面积二等分，即：S ABC =SADC DE=BF 又DME=BMF， DEM= BFEDEM BFMDM=BM 即 AC 平分 BD c=6. 抛物线为 621xyA（ 0,32） 、B（ 0,3）M 是 BD 的中点 M （ 49,2）2设 AC 的解析式为 y=kx+b，经过 A、M 点49230k解得 59103bk直线 AC 的解析式为 103xy.存在设抛物线顶点为 N(0，6)，在 RtAQN 中，易得 AN= 43，于是以 A 点为圆心，AB= 43为半径作圆与抛物线在 x 上方一定有交点 Q，连接 AQ，再作QAB 平分
3、线 AP 交抛物线于 P，连接 BP、PQ，此时由“边角边”易得 AQPABP2已知一次函数 y 12的图象与 x 轴交于点 A与 y轴交于点 B；二次函数cbxy21图象与一次函数 y 12的图象交于 、 C两点，与 x轴交于 D、 E两点且 D点的坐标为 )0,(（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形 BDEF 的面积 S；（3）在 x轴上是否存在点 P，使得 BC是以 P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点 ，若不存在，请说明理由。【答案】解：（1） 由题意知:当 x=0 时,y=1, B（0，1）,当 y=0 时,x=2, A（2，0）0cb解得 231bc,所以 123xy
4、（2）当 y=0 时, 0x,解得 x1=1,x2=2, D(1,0) E(2,0) AO=3,AE=4. S=S3CAE S ABD，S= OBADE213，S=4.5,(3)存在点 P(a,0),当 P 为直角顶点时,如图,过 C 作 CFx 轴于 F, RtBOP RtPFC,由题意得，AD6，OD1，易知，ADBE， CFOB即 34a,整理得:a 24 a3=0,解得 a=1 或 a=3,所以所求 P 点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点 P 有两个.3如图（1） ，抛物线 2yx与 y 轴交于点 A，E（0，b）为 y 轴上一动点，过点 E 的直线 yxb与抛物线
5、交于点 B、C.（1）求点 A 的坐标；（2)当 b=0 时（如图（2） ） ， AE与 的面积大小关系如何？当 4b时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的 b，使得 O是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出 b；若不存在，说明理由. 解： （1）将 x=0，代入抛物线解析式，得点 A 的坐标为（0，4）（2）当 b0 时，直线为 yx，由 2yx解得 12xy， 所以 B、C 的坐标分别为（2，2） ， （2，2） 14AES， 14ACES所以 BAE（利用同底等高说明面积相等亦可） 当 b时，仍有 BACE成立. 理由如下由 24yx，解得 14xby， 24xby 所
6、以 B、C 的坐标分别为（ ， +b） ， （ ， 4b+b） ，作 Fy轴， Gy轴，垂足分别为 F、G，则 BC，y xCBAOE y xCBAOE图（1）图（2）GFyBCQOR4而 ABE和 C是同底的两个三角形，所以 AES. （3）存在这样的 b.因为 90FG,BFECG所以 所以 BEC，即 E 为 BC 的中点所以当 OE=CE 时， OA为直角三角形 因为 44bbC所以 2，而所以 ，解得 12,，所以当 b4 或2 时，OBC 为直角三角形. 4 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxy2的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3
7、，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC ， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP /C， 那么是否存在点P，使四边形 POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.【答案】解：（1）将 B、 C 两点的坐标代入得 30cb 解得： 2 5所以二次函数的表达式为： 32xy （2）存在点 P，使四边形 POP /C 为菱形设 P 点坐标为（x
8、， 32x） ，PP /交 CO 于 E若四边形 POP /C 是菱形，则有 PCPO连结 PP / 则 PE CO 于 E，OE=EC= 23 y= 32x= 解得 1x= 0， 2= 10（不合题意，舍去）P 点的坐标为（ ， 23）8 分（3）过点 P 作 y轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x ， 32x） ，6易得，直线 BC 的解析式为 3xy则 Q 点的坐标为（x ，x 3）. EBQPOCABSSCPQBACBP 2121四 边 形 )(421= 87532x当 23x时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为 415,23，四边形 ABP
9、C 的面积 87的 最 大 值 为 5如图，已知在直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在 x 轴的正半轴上，OAAB2，OC3，过点 B 作 BDBC，交 OA 于点 D，将 DBC 绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴于 E 和 F（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长；（3）连接 EF，设BEF 与BFC 的面积之差为 S，问：当 CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值.【答案】由题意得：A （ 0，2） 、B（2，2） 、C（3，0） ，设经过 A，B ，C 三点的抛物线
10、的解析式为 2yaxbc，则 4930abc，解得：2342abc，所以 243yx（2）由 243yx 28(1)x，所以顶点坐标为 G（1， 83） ，过 G 作GHAB，垂足为 H，则AHBH1， GH 82 3，EAAB ，GHAB， EAGH，GH 是BEA 的中位线，7EA3GH 4，过 B 作 BMOC，垂足为 M，则 MBOAAB，EBFABM90 ，EBA FBM90 ABF，R tEBAR tFBM，FMEA 3，CMOCOM321，CF FMCM 73（3）设 CFa，则 FM a1 或 1 a，BF 2FM 2BM 2(a1) 22 2a 22a5，又EBAFBM，BM
11、BF，则 21(5)2BEFSBFA ，又 11BFCsMA ，S (5)aa，即 S 2()a，当 a2（在 2a3）时，最 小 值6如图 12 已知ABC 中， ACB 90以 AB 所在直线为 x 轴，过 c 点的直线为 y 轴建立平面直角坐标系此时，A 点坐标为（一 1 ， 0） ， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点 C 的坐标（2）若抛物线 2yaxbc过ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点 A 的直线 y=x1 交（2）中的抛物线于点 E，那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P，使以 P、B 、D 为顶点的三角形与ABE 相似？
12、若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由。【答案】 （1）ACB 90，COAB，ACOCBO， COAB，CO=2，则 C（ 0，2）；（2）抛物线 2yaxbc过ABC 的三个顶点，则 20416cba，,3,1cba，抛物线的解析式为 32xy；（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上， m，D （1，3） ，把直线 y=x1 与抛物线DGH82312xy联立成方程组 2312xy 65,012yx，E（5，6）,过点 D 作 DH 垂直于 x 轴,过点 E 作 EG 垂直于 x 轴,DH=BH=3,DBH=45,BD= 23,AG=EG=6, EAG=45,AE= 6,当 P 在 B
13、的右侧时,DBP=135ABE,两个三角形不相似,所以 P 点不存在；当 P 在 B 的左侧时) DPBEBA 时， 2635,BPAE， 5，P 的坐标为（ 23，0），) DPBBEA 时， ,D ， 36B，P 的坐标为（ 516，0），所以点 P 的坐标为（ 23， 0）或（ 516，0）。7如图 1，抛物线 baxy1经过点 A（ 1，0） ，C （0， 23）两点，且与 x 轴的另一交点为点 B（1）求抛物线解析式； （2）若抛物线的顶点为点 M，点 P 为线段 AB 上一动点（不与 B 重合） ，Q 在线段 MB 上移动，且MPQ=45，设 OP=x，MQ= 2y，求 2于 x
14、的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图 2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线 x=m，x=n 分别与抛物线交于 E、G 两点，与（2）中的函数图像交于 F、H 两点，问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求出 m、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由【答案】 （1） 23xy；（2）由顶点 M（1，2）知PBM=45，易证MBPMPQ 得图 1 图 29QMBPMQB2，得 224)1(yx，即)30(521xxy；（3）存在，设点 E、G 是抛物线 23xy分别与直线 x=m，x=n 的交点，则2()Em，、 )21,(n，同理 )251,(2mF、 )251,(n
15、H，,HF由四边形 EFHG 为平行四边形得 EG=FH，即0)(022 mn，由 (01)nm， 且 ，因此，四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是 m+n=2（0m2，且m1） 8如图，在ABC 中，C45，BC10，高 AD8，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E、F 两点分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H（1）求证： ；AHAD EFBC（2）设 EFx ，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大? 并求其最大值；（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 QC 匀速运动( 当点 Q 与点
16、C 重合时停止运动)，设运动时间为 t 秒，矩形 EFFQ 与ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式【答案】解：（1） 四边形 EFPQ 是矩形， EFQP AEFABC又 ADBC， AHEF AHAD EFBC（2）由（1）得 AH xAH8 x10 4510 EQ HDAD AH8 x，45 S 矩形 EFPQEF EQx (8 x) x28 x （x5） 22045 45 45 0， 当 x 5 时，S 矩形 EFPQ 有最大值，最大值为 2045（3）如图 1，由（2）得 EF5，EQ4 C 45， FPC 是等腰直角三角形 PCFPEQ =4，QCQPPC9分三种情况讨论： 如图 2当 0t4 时，设 EF、PF 分别交 AC 于点 M、N ，则MFN 是等腰直角三角形 FNMF t SS 矩形 EFPQS RtMF N=20 t2 t220；12 12如图 3，当 4t5 时，则 ME5t，QC 9t SS 梯形 EMCQ （5t）（9t ）44t 28；12如图 4，当 5t9 时，设 EQ 交 AC 于点 K，则 KQ=QC9t SS KQC = (9t) 2 ( t9) 212 12图 2 图 3 图 4综上所述：S 与 t 的函数关系式为：图 1
