1、_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家 1浦东新区 2015 学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案） 2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有 32 道试题，满分 150 分，考试时间 130 分钟.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 36 分）只要求直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1已知集合 ，则 =3,2AxBxRACBI2,32已知向量 平行，则 21()abmrr13关于 的一元二次方程组 的系数矩阵 ,xy2yx24计算： 13li2n35若复数 满足 （ 为虚
2、数单位），则 z0iziz56 的二项展开式中的第八项为 102x3960x7某船在海平面 处测得灯塔 在北偏东 方向，与 相距 海里.船由 向正北方ABA60A向航行 海里达到 处，这时灯塔 与船相距_ _海里（精确到 0.1 海里）8.C4.28已知 ，则 3cos(),252sin3319如图，已知正方体 ， ， 为棱1DBA2E的中点，则 与平面 所成的角1CAE1BC为 （ ， ）（结果用反三角表示）52arctn2arcsin35rcos10已知函数 的图像与 的图像关于直线 对称，令 ，()fx()xgyx()hxfA1D1CBE_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家2则关于函数
3、有下列命题：()hx 的图像关于原点对称； 的图像关于 轴对称；()hxy 的最大值为 ； 在区间 上单调递增。()x0(1,)其中正确命题的序号为_（写出所有正确命题的序号）。11有一列向量 ： 如果从第二项起，每一naur1122(,)(,),(,)nnxyaxyaxyururL项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列 ，naur满足 ， ，那么这列向量 中模最小的向量的序号 _1(20,3)r(8,5)r nr或 _。4512已知 则 与 图像交点的横坐标之和为3sin,1,fxgxfxg_17_.二、选择题（本大题共有 12 题，满分 36 分）每 小
4、 题 都 给 出 四 个 选 项 ， 其 中 有 且 只 有 一 个选 项 是 正 确 的 ， 选 对 得 3 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .13如果 ，那么下列不等式中不正确的是（ B 0ab）()A1()B1ab()C2ab()D2ab14设 且 ， ， 是 成立的 （ A :x2y:3xy）充分非必要条件 必要非充分条件() ()B充要条件 既非充分又非必要条件C15方程 表示焦点在 轴的椭圆，则实数 的取值范围是（ D 24kxykxk）()A()B4()C4()04k16甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（ C ）()14()13()12()D1617直线
5、 与圆 的位置关系是（ B 0axby20xyab）相交 相切相离 不能确定()A()B()C()18某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 ，已知这组数据的,10,9xy平均数为 10，方差为 2，则 的值为 （ xyA ）_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家 34 3 2 1()A()B()C()D19设函数 满足 ，当 时， ，则fxRsinfxfx0()0fx（ A 23()6f）()A12()B32()C0()D1220如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 ，那么圆柱的体积等于 ( D )S()S()S()4)S421已知函数 存在反函数 ，若函数 过点 ，则函数fx1f
6、x1yfx3,恒过1f点（ B ）()A4,3()B3,4()C3,2()D2,322一个弹性小球从 10 米自由落下，着地后反弹到原来高度的 处，再自由落下，又弹45回到上一次高度的 处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的5总路程为（ C ）50 8090 100()A()B()C()D23符合以下性质的函数称为“ 函数”：定义域为 ， 是奇函数，SRfx（常数 ）， 在 上单调递增， 对任意一个小于 的正数 ，()fxa0()fx0,)ad至少存在一个自变量 ，使 。下列四个函数中 ， d12()rctnfxx， ， 中“ 函数”的个数22()1axf310()axf
7、x4()21xfaS_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家4为（ D ）1 个 2 个3 个 4 个()A()B()C()D24将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点 O，其中 分别为点 O到两个顶点的向量. 若将点 O到正六角星,xyru12 个顶点的向量，都写成为 的形式，则 ab的最大值为（ C axbyru）3 45 6()A()B()C()D三、解答题（本大题共有 8 题，满分 78 分）解答下列各题必须写出必要的步骤注：其他解法相应给分25（本题满分 8 分）已知 交与点 ， ， 分别OC, O
8、B/AD21F,E为 的中点.,B求证： 平面 /DE证明：在 中，因为 分别为 的中点，F,EC,B所以 2 分1/2FO又因为 ，所以由平行公理和等量代换知， ，AB/FEAD所以四边形 是平行四边形4 分DE所以 6 分/又因为 平面 ，所以 平面 8 分FOC/EOC26（本题满分 8 分）已知函数 ,将函数 的图像向右平移 个单位，再把横坐标缩()2sinfx()yfx6短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图像，求函数 的解析式，1g()ygx并写出它的单调递增区间解：由 ， 将函数 的图像向右平移 个单位，得 2()yfx()yfx62sin()6分 再把横坐标缩短到原的 （纵
9、坐标不变），得到 。412()2sin()gx分由 ，可得2,6kxkZ,63kkZBOFE_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家 5所以 的单调递增区间为 8 分()ygx,63kkZ27（本题满分 8 分，第 1 小题 4 分、第 2 小题 4 分）已知两个向量 22log,log,1axbxrr（1）若 ，求实数 的值；b（2）求函数 的值域。1(),24fxar解：（1） 222,logllog0bxrQ22log(l)0x或经检验 为所求的解；4 分14x或（2）由条件知 222()log(l)log1fxx21,l,14xQ22log,log0,4x所以值域为 。8 分1328（本题
10、满分 10 分，第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分)已知数列 的前 项的和 ，na31nS（1）求 的通项公式 ；a（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围 .n1解: （1） QnS232 分1a当 时也成立 , a3n（2） 123n)1(32n_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家6设 nb)1(321n4)1(32n132n0的最小值为 , .nb28b29（本题满分 14 分，第 1 小题 4 分、第 2 小题 5 分、第 3 小题 5 分）在平面直角坐标系 中，对于点 、直线 ，我们称xOy),(0yxP:l0cbyax为点 到直线 的方向距离。02axycb),(0:lcba
11、（1）设椭圆 上的任意一点 到直线142),(yx的方向距离分别为 ，求 的取值范围。:,0:yxlyxl 21、21（2）设点 、 到直线 ： 的方向距离分别为)(tE)0,(tFl 0sinco、 ，试问是否存在实数 ，对任意的 都有 成立？若存在，求出 的值；不1t存在，说明理由。（3）已知直线 ： 和椭圆 ： （ ），设椭圆lnymxE12byaxa的两个焦点 到直线 的方向距离分别为 、 满足 ，且直线 与 轴的E21,Fl12lx交点为 、与 轴的交点为 ，试比较 的长与 的大小。AyBA解答：（1）由点 在椭圆 上，所以),(xP42yx422xy由题意 、 ，于是 2 分521
12、5 521x又 得 ，即 4 分x0x5（也可以先求出 ，再利用基本不等式易得 ）85)4(2221y 521（2）假设存在实数 ，满足题设，t由题意 ，221sin4co22sin4cot于是 6 分1)(2tt对任意的 都成立03(is4 222 tt只要 即可，所以03t故存在实数 ， ，对任意的 都有 成立。9 分t321（学生通过联想，判断直线 是椭圆 的切线，又证明sincoyx 142yx从而得到 也给分）21bt（3）设 的坐标分别为 、 ，于是1,F)0,(,(22bac_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家 7C(1,0)A(,)B1D23 i 1nDO xyiLP、 于是2
13、1mnc21nc221bmcn22amn又 ， 即 12 分)0,(A),(B2|A所以 2222 )(bababan综上 14 分30（本题满分 6 分）如图，点 、 ，点 在 轴正半轴上，过线段 的 等分点 作与(1,0)A(,)BCxBCniD垂直的射线 ，在 上的BCili动点 使 取得最大值P的位置记作 （i）。是否存1,23,inL在一条圆锥曲线，对任意的正整数 ，点都在这条(1,2)iPn曲线上？说明理由。解：存在一条双曲线，对任意的正整数 ，点 都在这条双曲线2n(1,2)iPn上1 分如图所示， ，设 ， ，则 ， ，(,0)1,AB|Cb),(yx,0yixbPCP，tan
14、yxtan1y所以 21t()xABy_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家83 分2(1)xy当 一定时， 为常数,3,ni |BCnix所以 此时 取得最大值，5 分(1)2(1)xyAPBtan当且仅当 时等号成立，()故 ， ， 在一条双曲线上。6 分21xy,0xyiP31(本题满分 12 分，第 1 小题 3 分、第 2 小题 4 分、第 3 小题 5 分)定义符号函数 . 已知,sgn0x, sgn1.abRfxaxb（1 ）求 关于 的表达式，并求 的最小值.2(1)ffa2(1)ff（2 ）当 时，函数 在 上有唯一零点，求 的取值范围.bx,1a（3 ）已知存在 ，使得 对任
15、意的 恒成立，求 的取值范围.0f,xb解：（1） ，3,2(2)112151,afabQ所以 最小值为 。3 分()ff（2）当 时， 。当 时，1b1,2,xaxf0,1。2fxa所以由 。 5 分1102xxa12xa令 。在同一坐标系中分别作出这两个函数在 上的图像。,()gh 0,_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家 9由图像可得 .7 分13,2,a（3）当 时， .由 得 ，,2xfxab0fxbax所以 且 对任意的 恒成立，0b1,2即 对任意的 恒成立， xax,从而只需求 在 的最大值和 在 的最小值，()bg()bhx1,2x而且要满足 。maxinh在 上单调递增，所
16、以 。0,bQ1,2max2bg对于函数 ， 时， .10 分()bhx,xmin1,0241,bhx（i）1021,32b（ii）442bb（iii ）综上， 。12 分2,3b32(本题满分 12 分，第 1 小题 4 分、第 2 题第问 3 分、第 2 题第问 5 分)已知两个无穷数列 分别满足 ， ，其中 ，,nab1na1nb*nN_跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家10设数列 的前 项和分别为 ，,nab,nST（1）若数列 都为递增数列，求数列 的通项公式；n ,nab（2）若数列 满足：存在唯一的正整数 （ ），使得 ，称数列 为“ck21kcnc坠点数列”k若数列 为“5 坠
17、点数列”，求 ；nanS若数列 为“ 坠点数列 ”，数列 为“ 坠点数列 ”，是否存在正整数 ，pbqm使得 ，若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由。1mSTm解答：（1）数列 都为递增数列， ， ，,nab12na121,nbbN ，2 分21；4 分1,nb（2）数列 满足：存在唯一的正整数 ，使得 ，且 ，na=5k1ka12na数列 必为 ，即前 4 项为首项为 1，公差为 2 的等差数列，,357,91,从第 5 项开始为首项 5，公差为 2 的等差数列，5 分故 ；7 分2,41,nSn ，即 ， 221b2b1|nb而数列 为 “ 坠点数列”且 ，数列 中有且只有两个负项nqnb假设存在正整数 ，使得 ，显然 ，且 为奇数，而 中各项均为m+1mSTmTna奇数， 必为偶数 9分2132()mSi.当 时， q113mmmT当 时， ，故不存在 ，使得 成立62()1mSTii.当 时， 110mm
