1、1四川省木里县中学高三数学总复习 数列经典例题精析 新人教 A 版类型一：叠加法求数列的通项公式1.求分别满足下列条件的数列 的通项公式 .（1） ， ； （2） ， .思路点拨: 分析（1）题的结构 ，可以判断数列 是等差数列，因此可以利用通项公式求解， （2）题的结构 与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.解析：（1） ，数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 .（2） ，当 时， ，将上面 个式子相加得到： （ ） ，当 时， 符合上式故 .2总结升华：1. 在数列中 ，若 为常数，则数列 是等差数列；若 不是一个常数，而是关于 的
2、式子，则数列 不是等差数列.2. 当数列的递推公式是 ，可以利用叠加的方法求数列的通项公式 .举一反三：【变式 1】数列 中 ， ，求通项公式 .【答案】当 时， ，将上面 个式子相加得到： （ ） ，当 时， 符合上式故 .【变式 2】数列 中 ， ，求通项公式 .【答案】当 时， ，3，将上面 个式子相加得到： （ ） ，当 时， 符合上式故 .类型二：叠乘法求数列的通项公式2.求分别满足下列条件的数列 的通项公式 .（1） ， ； （2） ， .思路点拨: 分析（1）题的结构 ，可以判断数列 是等比数列，因此可以利用通项公式求解， （2）题的结构 与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以
3、利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（叠乘法）求解.解析：（1） ，数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 .（2） ，当 时， ， ， ， ，将上面 个式子相乘得到：4， （ ） ，当 时， 符合上式故 .举一反三：【变式 1】数列 中 ， ，求通项公式 .【答案】时， ，当 时， 符合上式【变式 2】已知数列 中， ， （nN +） ，求通项公式 .【答案】由 得 ， ， ，当 时，当 时， 符合上式5类型三：变形为新的等差、等比数列求通项公式3.已知数列 中 , ( )，求 的通项公式 .解析：方法一： ( )， , ,令 ，则 ， 是首项为 且公比为 的等比数列， , 方法二： ，-
4、得: 成等比数列且公比为 ，首项 ， ,当 时6.当 时， 符合上式总结升华：第一种解法通过两边同加一个数成为一个新的数列，这个新数列成等比数列.一般地，对已知数列 的项满足 ， （ 为常数， ）,则可设 得 ，利用已知得 即 ，从而将数列 转化为求等比数列 的通项，第二种方法利用了递推关系式的累差法.这两种方法均是常用的方法.举一反三：【变式 1】已知数列 中 ， ，求【答案】， ，令 ，则 是首项为 公比为 的等比数列 ，【变式 2】已知数列 中 ， ，求7【答案】令 ，则 ， ，即 ， 为等比数列，且首项为 ，公比 ， ，故4数列 中， , ，求 .思路点拨:对 两边同除以 得 即可.解
5、析： ，两边同除以 得 ， 成等差数列，公差为 ，首项 ， ， .总结升华：两边同时除以 可使等式左边出现关于 和 的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列 的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列 ，而恰是等差数列 .其通项易求，先求 的通项，再求 的通项.8举一反三：【变式 1】数列 中， , ，求 .【答案】 ， ， 成等差数列，公差为 ，首项 ， ， .【变式 2】已知数列 满足 ,而且 ，求这个数列的通项公式.【答案】 ，设 ，则 ，即 ，数列 是以 为首项，3 为公比的等比数列， ， . 。类型四： 与 的关系式的综合运用5.数列 满足 ， ，（1）用 表示 ；（2）证明：数列 是
6、等比数列；9（3）求 和 的表达式.思路点拨: 由 推出 和 ，要证明 是等比数列，只需利用定义证明 是常数，这需要探求 与 的关系，再由等比数列 的前 n项和反过来求 或直接利用关系式 求 .解析：（1） ，当 时， 即当 时 , ，所以 .（2）证明： , ，显然 ,（常数） ，所以数列 是等比数列，首项为 ，公比 .（3）由（2）知： 是以 2 为公比的等比数列，首项为 ， ，即 ， ,方法一：方法二：数列 的前 n 项和：，10即 ， .方法三： ， ， .总结升华： 1. 把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项公式求出递推数列的通项公式.2. 正确掌握和理解 和 之间的关系是解这类题目的关键.举一反三：【变式 1】已知数列 ， ，（1）设 ，证明 是等比数列并求 ；（2）设 ,证明 是等差数列并求 .（3）求数列 的通项公式.【答案】(1) ,当 时， ， ，当 时， ， ，即 ( ),数列 是等比数列，首项为 ,公比为 . .(2) 由(1)知: , .
