1、 人教版高三数学必修五等差数列的前 n 项和同步测试题一、填空题1在等差数列a n中，a 3a 737，则 a2a 4a 6a 8_.来源解析 a2a 4a 6a 82(a 3a 7)74.答案 742设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 1，则公差为_S412 S39解析 依题意得S44a 1 d4a 16d，S 33a 1 d3a 13d，于是有432 322 1，由此解得 d6，即公差为 6.来源: 学,科,网4a1 6d12 3a1 3d9答案 63在等差数列a n中，a 10，S 4S 9，则 Sn取最大值时， n_.解析 因为 a10，S 4S 9，所以 a5a 6a 7a
2、8a 90，所以 a70，所以Error!从而当 n6 或 7 时 Sn取最大值答案 6 或 74在等差数列a n中，若 a1a 4a 739，a 3a 6a 927，则 S9_.解析 a 1a 4a 739，a 3a 6a 927，3a 439,3a 627，a 413，a 69.a 6a 42d9134，d2，a 5a 4d13211，S 9 9a 599.9a1 a92答案 995设等差数列a n的公差为正数，若 a1a 2a 3 15，a 1a2a380，则a11a 12a 13_.解析 由 15a 1a 2a 33a 2，得 a25.所以Error!又公差 d0，所以Error!所以
3、 d3.所以 a11a 12a 133a 123(a 111d)3(233)335105.答案 1056已知数列a n的前 n 项和为 Sn2n 2pn，a 7 11.若 aka k1 12，则正整数 k 的最小值为 _ 解析 因为 a7S 7S 627 27p26 26p26p11，所以p15，S n2n 215n，a nS nS n1 4n17(n2)，当 n1 时也满足于是由 aka k1 8k3012，得 k 5.又 kN *，所以 k6，即214kmin6.答案 67已知数列a n满足递推关系式 an1 2a n2 n 1(nN *)，且 为等差an 2n 数列，则 的值是_ 解析
4、由 an1 2a n2 n1，可得 ，则 an 12n 1 an2n 12 12n 1 an 1 2n 1 ，当 的值是1an 2n an 12n 1 an2n 2n 1 12 12n 1 2n 1 12 12n 1时，数列 是公差为 的等差数列an 12n 12答案 18已知数列a n为等差数列， Sn为其前 n 项和，a 7a 54，a 1121，S k9，则 k_.解析 a7a 52d4，d2，a 1a 1110d21201，Sk k 2k 2 9.kk 12又 kN *，故 k 3.答案 310已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数，对于任意的 x，yR，都有 f(xy)xf(y
5、 )yf(x )成立数列 an满足 anf(2 n)(nN *)，且 a12.则数列的通项公式 an_.解析 由 an1 f(2 n1 ) 2f(2n)2 nf(2)2a n2 n1 ，得 1，所以an 12n 1 an2n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 n，a nn2 n.an2n an2n答案 n2 n二、解答题11已知等差数列a n的前三项为 a1,4,2a，记前 n 项和为 Sn.(1)设 Sk2 550，求 a 和 k 的值；(2)设 bn ，求 b3b 7b 11b 4n1 的值Snn解 (1)由已知得 a1a1，a 24，a 32a，又 a1a 32a 2，(a1)2
6、a8，即 a3.a 12，公差 da 2a 12.由 Sk ka1 d，得kk 122k 22 550，kk 12即 k2k2 5500，解得 k50 或 k51(舍去 )a3，k 50.(2)由 Snna 1 d 得nn 12Sn2n 2n 2n.nn 12b n n1，b n是等差数列，Snn则 b3b 7b 11b 4n1(3 1)(71)(111)(4n11) .4 4nn2b 3b 7b 11b 4n1 2n 22n.12已知数列a n的通项公式为 an2 n，若 a3，a 5 分别为等差数列b n的第 3 项和第 5 项，试求数列b n的通项公式及前 n 项和 Sn.解 a38，a
7、 532，则 b38，b 532.设b n的公差为 d，则有Error!解得Error!从而 bn1612(n1)12n28.所以数列 bn的前 n 项和Sn 6n 222n.n 16 12n 28213在等差数列a n中，公差 d0，前 n 项和为 Sn，a 2a345，a 1a 518.(1)求数列a n的通项公式；(2)令 bn (nN *)，是否存在一个非零常数 c，使数列b n也为等差数Snn c列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由解 (1)由题设，知 an是等差数列，且公差 d0，则由Error!得 Error!解得Error! an4n3(nN *)(2)由 bn ，
8、Snn c n1 4n 32n c 2n(n 12)n cc0，可令 c ，得到 bn2n.12b n1 b n2(n1) 2n2(nN *)，数列 bn是公差为 2 的等差数列即存在一个非零常数 c ，使数列b n也为等差数列12第 2 讲 等比数列及其前 n 项和一、填空题1设数列 a 前 n 项和为 Sn，a 1t，a 2t 2，S n2 (t1)S n1 tS n0，则a n是2n_数列，通项 an_.解析 由 Sn2 (t1) Sn 1tS n0，得 Sn2 S n1 t (Sn1 S n)，所以an2 ta n1 ，所以 t，又 t，an 2an 1 a2a1所以a n成等比数列，
9、且 antt n1 t n.答案 等比 t n2等比数列a n的前 n 项和为 Sn,8a2a 50，则 _.S6S3解 8a 2a 58a 1qa 1q4a 1q(8q 3)0q2 1q 37 .S6S3 1 q61 q3答案 73数列 an为正项等比数列，若 a22，且 ana n1 6a n1 (nN，n2)，则此数列的前 4 项和 S4_.解析 由 a1q2，a 1qn1 a 1qn6a 1qn2 ，得 qn1 q n6q n2 ，所以q2q6.又 q0，所以 q2，a 11.所以 S4 15.a11 q41 q 1 241 2答案 154已知等比数列a n的前 n 项和 Snt5 n
10、2 ，则实数 t 的值为_15解析 a 1S 1 t ，a 2S 2S 1 t，a 3S 3S 24t，由 an是等比15 15 45数列知 2 4t，显然 t0，所以 t5.(45t) (15t 15)答案 55已知各项都为正数的等比数列a n中，a 2a44，a 1a 2a 314，则满足anan1 an2 的最大正整数 n 的值为_18解析 由等比数列的性质，得 4a 2a4a (a30)，所以 a32，所以23a1a 214a 312，于是由Error!解得Error!所以 an8 n1 n4 .(12) (12)于是由 anan1 an2 a 3(n3) n3 ，得 n31，即 n4
11、.3n 1 (12) (18) 18答案 46在等比数列 an中，a n0，若 a1a2a7a816，则 a4a 5 的最小 值为_解析 由已知 a1a2a7a8(a 4a5)416，所以 a4a52，又a4a 52 2 (当且仅当 a4a 5 时取等号)所以 a4a 5 的最小值a4a5 2 2为 2 .2答案 2 27已知递增的等比数列a n中，a 2a 83，a 3a72，则 _.a13a10解析 an是递增的等比数列， a 3a7a 2a82 ，又a 2a 83，a 2，a 8 是方程 x23x 20 的两根，则 a21， a82，q 6 2，q 3 ， q 3 .a8a2 2 a13
12、a10 2答案 28设 1a 1a 2a 7，其中 a1，a 3，a 5，a 7 成公比为 q 的等比数列，a2，a 4，a 6 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值为_解析 由题意知 a3q，a 5q 2，a 7q 3 且 q1，a 4a 21，a 6a 22 且a21，那么有 q22 且 q33.故 q ，即 q 的最小值为 .33 33答案 33二、解答题11在等差数列a n中， a2a 723，a 3a 8 29.(1)求数列a n的通项公式；来源:Zxxk.Com(2)设数列a nb n是首项为 1，公比为 c 的等比数列，求 bn的前 n 项和 Sn.解 (1)设等差数列 a
13、n的公差是 d.依题意 a3a 8(a 2a 7)2d6，从而 d3.由 a2a 72a 17d23，解得 a11.所以数列 an的 通项公式为 an3n2.(2)由数列a nb n是首项为 1，公比为 c 的等比数列，来源得 anb nc n1 ，即3n 2b nc n1 ，所以 bn3n2c n1 .所以 Sn1 4 7(3n2) (1cc 2 c n1 ) (1c c 2c n1 )n3n 12从而当 c1 时，S n n .n3n 12 3n2 n2当 c1 时， Sn .来源:Z*xx*k.Comn3n 12 1 cn1 c12设各项均为正数的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，S
14、 41，S 817.(1)求数列a n的通项公式；(2)是否存在最小的正整数 m，使得 nm 时，a n 恒成立？若存在，求2 01115出 m；若不存在，请说明理由解 (1)设a n的公比为 q，由 S41，S 817 知 q1，所以得1 ，a1q4 1q 117.a1q8 1q 1相除得 17，解得 q416.所以 q2 或 q2(舍去)q8 1q4 1由 q2 可得 a1 ，所以 an .115 2n 115(2)由 an ，得 2n1 2 011，而 210 恒成立2 0111513已知公差大于零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足a2a4 65，a 1a 518.(1)求数
15、列a n的通项公式 an.(2)若 1i21 ，a 1，a i， a21 是某等比数列的连续三项，求 i 的值；(3)是否存在常数 k，使得数列 为等差数列？若存在，求出常数Sn knk；若不存在，请说明理由解 (1)因为 a1a 5a 2a 418，又 a2a465，所以 a2，a 4 是方程 x218 x650 的两个根又公差 d0，所以 a2a 4.所以 a25，a 413.所以Error!解得 a11，d4.所以 an4n3.(2)由 1i21 ，a 1，a i， a21 是某等比数列的连续三项，所以 a1a21a ，即2i181 (4i3) 2，解得 i3.(3)由(1)知，S nn
16、1 42n 2n.nn 12假设存在常数 k，使数列 为等差数列，Sn kn由等差数列通项公式，可设 anb，Sn kn得 2n2(k1)nan 22abnb 恒成立，可得 a2，b0，k 1.所以存在k1 使得 为等差数列Sn kn第 3 讲 等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1设 an是公差不为 0 的等差数列， a12 且 a1， a3，a 6 成等比数列，则a n的前 n 项和 Sn_.解析 由题意设等差数列公差为 d，则 a12， a322d，a 625d.又a 1，a 3，a 6 成等比数列， a a 1a6，即(22d) 22(25d)，整理得232d2d0. d0，d ，S
17、 nna 1 d n.12 nn 12 n24 74答案 nn24 742数列 an的通项公式 an ，若前 n 项的和为 10，则项数为1n n 1_解析 a n ，S n 110，n120.1n n 1 n 1 n n 1答案 1203已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 55，S 515，则数列 的前1anan 1100 项和为_解析 a 55，S 515， 15，即 a11.5a1 a52d 1，a nn. .设数列a5 a15 1 1anan 1 1nn 1 1n 1n 1的前 n 项和为 Tn.1anan 1T 100 1 .(1 12) (12 13) ( 1100 11
18、01) 1101 100101答案 1001014已知数列a n，b n都是等差数列， a15，b 1 7，且 a20b 2060.则anb n的前 20 项的和为 _解析 由题意知a nb n也为等差数列，所以 anb n的前 20 项和为：S20 720.20a1 b1 a20 b202 205 7 602答案 7205已知等比数列a n的前 n 项和 Sn2 n1，则 a a a _.21 2 2n解析 当 n1 时，a 1S 11，当 n2 时，a nS nS n1 2 n1(2 n1 1)2 n1 ，又a 11 适合上式a n2 n1 ，a 4 n1 .2n数列 a 是以 a 1 为
19、首项，以 4 为公比的等比数列2n 21a a a (4n1)21 2 2n11 4n1 4 13答案 (4n1)136定义运算： ad bc，若数列a n满足 1 且|a bc d| |a1 122 1|12(nN *)，则 a3_，数列a n的通项公式为|3 3an an 1|an_.解析 由题意得 a111,3a n1 3a n12 即 a12，a n1 a n4.a n是以 2 为首项，4 为公差的等差数列 ，a n24( n1) 4n2，a 343210.答案 10 4n27在等比数列a n中，a 1 ，a 44，则公比12q_；|a 1|a 2|a n|_.解析 q 38，q2.a n (2) n1 ，a4a1 12|a n|2 n2 ，|a 1|a 2|a n| 2 n1 .121 2n1 2 12答案 2 2 n1 128已知 Sn是等差数列a n的前 n 项和，且 S1135 S 6，则 S17 的值为_解析 因 S1135S 6，得 11a1 d356a 1 d，即11102 652a18d7，所以 S1717a 1 d17(a 18d)177119.17162答案 1199等差数列a n的公差不为零， a47，a 1，a 2，a 5 成等比数列，数列T n满足
