1、摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1 点的 Newton-Cotes 型积分公式，当 n 为奇数时，其代数精度为 n；当 n 为偶数时，其代数精度达到 n+1。若对随机选取的 n+1 个节点作插值型积分公式也仅有 n 次代数精度。如何选取适当的节点，能使代数精度提高
2、？Gauss 型积分公式可是实现这一点，但是 Gauss 型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的 Gauss 型积分公式进行讨论并编程实现。关键词：Newton-Cotes 型积分公式 正交多项式 代数精度11、实验目的1) 通过本次实验体会并学习 Gauss 型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。2) 通过对 Gauss 型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。2、算法流程下面介绍三种常见的 Gauss 型积分公式1) 高斯-勒让德（Gauss-
3、Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式()= 12!(21),1,1,=0,1,2称作勒让德多项式。由于 是 次多项式，所以 是 n 次多项(21) 2 ()式，其最高次幂的系数 与多项式12!(2)= 12!2(21)(22)(+1)的系数相同。也就是说 n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在 上带 的 n 次正交多项式，而且() 1,1 ()=1(,)=11()()= 0, 22+1, = 这时 Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式 的零点，相应的()Gauss 型积分公式为 11()=1()此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。其中 G
4、auss-Legendre 求积公式的系数2=11() ()()()=11() ()()()其中 k 的取值范围为 =1,2,Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分 Gauss 点 ，在实际应用中只需查和系数 表即可。n x A n x A1 0 2 60.93246951420.66120938651.23861918160.1713244920.3607615730.4679139342 0.577350269213 0.774596669200 0.55555555560.8888888889 70.94910791230.741531
5、18560.405845151400.1294849660.2797053910.3818300500.4179591834 0.86113631160.33998104360.34785484510.652145154950.90617984590.538469310100.23692688510.47862867050.568888888980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.1012285360.2223810340.3137066450.3626837832) 高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）积分公式拉盖尔（L
6、aguere）多项式()=(),0#include using namespace std; const int M(10);void main()5int i=0;int n=0;int m=0;int sign=0;double sum=0;double xM=0;double AM=0;double x1=0;double x2=-0.57735502692,0.57735502692;double x3=-0.77459666920,0.77459666920,0;double x4=-0.8611363116,0.8611363116,-0.3399810436,0.33998104
7、36;double x5=-0.9061798459,0.9061798459,-0.53846931010,0.53846931010,0;double x6=-0.9324695142,0.9324695142,-0.6612093865,0.6612093865,-1.2386191816,1.2386191816;double x7=-0.9491079123,0.9491079123,-0.7415311856,0.7415311856,-0.40584515140,0.40584515140,0;double x8=-0.9602898565,0.9602898565,-0.796
8、6664774,0.7966664774,-0.5255324099,0.5255324099,-0.1834346425,0.1834346425;double A1=2;double A2=1;double A3=0.5555555556,0.8888888889;double A4=0.3478548451,0.6521451549;double A5=0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889;double A6=0.1713244924,0.3607615730,0.4679139346;double A7=0.1294849662,0.279705
9、3915,0.3818300505,0.4179591834;double A8=0.1012285363,0.2223810345,0.3137066459,0.3626837834;coutn;switch(n)6case 1:for(i=0;i#include using namespace std;const int M(10);void main()int i=0;int n=0;int m=0;int sign=0;double sum=0;double xM=0;double AM=0;double x2=0.5857864376,3.4142135624;double x3=0
10、.4157745567,2.2942803602,6.2899450829;double x4=0.3225476896,1.7457611011,4.5366202969,9.3950709123;double x5=0.2635603197,1.4134030591,3.5964257710,7.0858100058,12.6408008442;double x6=0.2228466041,1.1889321016,2.9927363260,5.7751435691,9.8374674183,15.9828739806;double A2=0.8535533905,0.1464466094
11、;double A3=0.7110930099,0.2785177335,0.0103892565;double A4=0.6031541043,0.3574186924,0.0388879085,0.0005392947;8double A5=0.5217556105,0.3986668110,0.0759424497,0.0036117587,0.0000233700;double A6=0.4589646793,0.4170008307,0.1133733820,0.0103991975,0.0002610172,0.0000008985;coutn;switch(n)case 2:fo
12、r(i=0;i#include using namespace std;const int M(10);void main()int i=0;int n=0;int m=0;int sign=0;double sum=0;double xM=0;double AM=0;double x2=-0.7071067811,0.7071067811;double x3=-1.2247448714,1.2247448714,0;double x4=-0.5246476232,0.5246476232,-1.6506801238,1.6506801238;double x5=-0.9585724646,0
13、.9585724646,-2.0201828704,2.0201828704;double x6=-0.4360774119,0.4360774119,-1.3358490704,1.3358490704,-2.3506049736,2.3506049736;double x7=-0.8162878828,0.8162878828,-1.6735516287,1.6735516287,-2.65196135630,2.65196135630,0;double A2=0.8862269255;double A3=0.2954089751,1.8163590006;double A4=0.8049140900,0.0813128354;double A5=0.3936193231,0.0199532421,0.9453087204,0.5688888889;double A6=0.7246295952,0.1570673203,0.0045300099;double A7=0.4256072526,0.0545155828,0.0009717812,0.8102646175;coutn;switch(n)
