1、圆章节知识点- 1 -圆章节知识点1、圆的概念1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称 为半径，以点 为圆心的圆记 作“ ”，读作“ 圆 ”。A2.确定圆的基本条件：（1）、圆 心：定位置，具有唯一性， （2）、半径：定大小。3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等 圆能够完全重合。4.连接 圆上任意两点的 线段叫做弦，经过圆心的弦叫做 直径， 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“ ”表示， 圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆 的弧称为优弧，小于半 圆的弧称 为劣弧。在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧
2、。理解：弧在圆上，弦在 圆及圆 上：弧为曲线形，弦为直线形。5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。6.三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的 圆叫做三角形的外接圆，外接 圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的 外心 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切 圆，内切 圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的 内心。三角形的内切 圆是三角形内面 积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条 边的距离相等：内心到三顶 点的连线平分这三个角。（补充）圆的集合概念 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆
3、的外部：可以看作是到定点的距离大于定 长的点的集合；3、圆 的内部：可以看作是到定点的距离小于定 长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长 的点的轨迹就是以定点为圆 心，定 长为半径的圆；2、垂直平分线：到线 段两端距离相等的点的轨迹是 这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）；3、角的平分线：到角两 边距离相等的点的轨迹是 这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的 轨迹是：平行于这条直 线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的 轨迹是：平行于 这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。圆章节知识点- 2 -二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系是
4、由这个点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系决定的。1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A解题注意点和圆的位置不确定性。圆的对称性圆是轴对称图形，他有无数条 对称轴，每一条 过圆心的直线 都是他的对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，圆绕圆 心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。圆既是 轴对称图形，又是中心 对称 图形。3、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离如果圆 O 的半径为 ，圆心 O 到直线 的距离为 d，那么：rl1、直线与圆相离 无交点；d2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有
5、两个交点；rdrd=rr d4、圆与圆的位置关系设两圆半径分别为 R 和 r，圆 心距为 d，那么：外离（图 1） 无交点 ；Rr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；d内切（图 4） 有一个交点 ；r内含（图 5） 无交点 ；RrddCBAO圆章节知识点- 3 -周1rRd周3rRd五、垂径定理（非常重要）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，
6、简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OABCD弧 弧解题技巧：在圆中，解有关弦的 问题时，常常需要做“垂直于弦的直径” 作为辅助线。6、圆心角定理顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的 圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则 可以推出其它的 3 个
7、结论，即： ； ；AOBDEAB周2rRd 周4rRd周5rRdOE DCBAOC DA BFEDC BAO圆章节知识点- 4 - ； 弧 弧OCFBAD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆 周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB
8、90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 这个三角形是直角三角形。即：在 中，ABCOAB 是直角三角形或 90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。注：忽略一条弦所对的弧有两条，所 对的圆周角边有两种不同的角。八、圆内接四边形一般的，如果一个多边形的所有 顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。 D CBAOCB AOCB AOEDCBACBAO圆章节知识点- 5 -即：在
9、 中，O四边形 是内接四边形ABCD 180180E九、切线的性质与判定定理直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做 圆的切线， 这个唯一的公共点叫做切点。（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆 心； 过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。连接圆心与切点间的线段是解圆的切
10、线问题时常用的辅助线，通常叙述为：“见切点连半径得垂直”。解决与 圆的切线有关的问题时，常需要 补充的线 是作过切点的半径。9、切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上， 这点到切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB 平分OPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘 积相等。即：在 中， 弦 、 相交于点 ，OABCDPNM AOPBAOPO DCBA圆章节知识点- 6 -PABCD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径
11、所成的两条线段的比例中项。即：在 中， 直径 ，O 2CEAB（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OP 2ACB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 中， 、 是割线OPE CBDP十二、两圆公共弦定理两圆相切时，连心线必过切点，这一性质是由圆的对称性决定，两个圆组成的图形是轴对称图形，对称轴是经过两圆圆心的直 线。圆公共弦定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点 垂直平分
12、12注：两圆相交时，依照两圆圆心和公共弦的位置，可分为两种情况： 两圆圆心在公共弦同侧，两圆圆 心在公共弦异 侧。十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 。2O EDCB A D EC BPAOBAO1 O2CO2O1BA圆章节知识点- 7 -十四、圆内正多边形的计算各边相等，各角也相等的多边 形叫做正多边形。把一个圆分成相等的弧，依次 连接各分点所得的多边形是 这个圆的内接正多边形， 这个圆叫做正多边形的外接圆。经过各分点做 圆的切线，以相 邻切线 的交点为顶点的多边形是这个圆的外
13、切多边形，这个圆叫做多 边形的内切圆。正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一 边所对的外接圆的圆心角叫做正多 边形的中心角，正多 边形内切圆半径叫做正多边形的边心距。正 n 边形的半径 R 与边心距 r 把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。00n22nnn3618=a=si;18cos;();CaaC.2nn RrrS关 系 式 ： 中 心 角 ； 边 长边 心 距 周 长面 积（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关 计算在 中进行：OABRtBOD；:1:32D（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行，Rt
14、OAE :1:2OEA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行，RtOAB .:1:32ABODCB AOECBA DOBAO圆章节知识点- 8 -十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 2136Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： V（2）圆锥侧面展开图（1） =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13Vh补充：圆中四心：外心：各边垂直平分线的交点内心：各角角平分线的交点垂心：各边高线的交点重心：各边中线的交点S lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBA B1RrC BAO
