1、1上午篇：一、 高等数学共 24 题1.1 函数与极限1、数列极限的定义，x n-a，记作 limxn=a。2、数列极限的性质1）数列收敛，则极限唯一。2）数列收敛则有界，无界则发散。3）数列与极限同号(保号性)。 4）数列收敛于 a，则其子数列也收敛于 a。5）有界一定收敛，发散一定无界都是错的。特例是1、-1 、1、-1、(-1) n+1。3、函数极限的定义，f(x)-A。f(x)在点 x0 有无极限与 f(x)在点 x0 有无定义无关。f(x)在点 x0 极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。4、函数极限的性质1）极限若存在，则唯一。2）如果极限为 A，则必有 f(x)M(局部有界性)
2、。3）函数与极限同号(保号性) 。4）如果极限 limf(x)存在，x n为 f(x)定义域收敛于 x0 的数列，则f(xn)必收敛，且 limf(xn)= limf(x)。5、无穷小与无穷大1）极限为 0 是无穷小；f(x)M 是无穷大。无穷小与无穷大互为倒数。2）无穷小的运算，有限个无穷小的和、积为无穷小；常数与无穷小的积为无穷小；有界函数与无穷小的积为无穷小；6、极限的运算法则，1）函数(数列)和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商；2）limcf(x)=c.limf(x)；3）limf(x) n= limf(x)n。4）limf(x)=a，limg(x)=b，如果 limf(x)
3、limg(x)，则 ab。5）复合函数，limg(x)=u 0，limf(u)=A，u=g(x) ，则 limxx0 fg(x)=limuu0 f(u)=A。7、极限存在准则，两个重要极限1）夹逼定理，g(x) f(x) h(x),如果 limg(x)=limh(x)=A，则 limf(x)=A。数列极限也有同性。2）lim x0 (sinx/x)=1；lim x (sinx/x)=0；lim x0 (cosx)=1。lim x0 loga(1+x)/x=1/lna。3）单调有界数列必有极限。 limx 1+1/n)n+1=e；lim x 1+1/(1+n)n=e；4）lim x (1+1/x
4、)x=e；lim x0 (1+x)1/x=e；lim x (1-1/x)x =1/e。lim x0 (ax-1)/x=lna。8、无穷小的比较lim/=m ，m=0， 是 的高阶无穷小；m=， 是 的低阶无穷小；2m=c0， 是 的同阶无穷小； m=1， 是 的等价无穷小。lim/ k=c0， 是 的 k 阶无穷小。9、近视计算的等价代换（只适用于乘除计算，忌用加减）sinxx；tanxx ；arcsinxx；arctanxx；1-cosx1/2x 2；ln(1+x)x；e x-1x；(1+x) 1/n-1(1/n)x；(1+x 2)1/n-1(1/n)x2；10、函数连续性与间断点1）连续的
5、定义，limf(x 0+x)- f(x 0)=0；另一种表达是 limf(x)= f(x0)。连续 极限。2）间断点的三种情形，f(x)在点 x0 没有意义；在 x0 有定义，但极限不存在；在x0 有定义，极限存在，但 limf(x)f(x 0)。3）无穷间断点；振荡间断点；可去间断点(上述第种情形)；跳跃间断点。极限存在属第一类间断点，剩余的为第二类间断点。11、连续函数的运算与初等函数的连续性1）若 g(x)、 f(x)在点 x0 连续，则它们的和、差、积、商在点 x0 连续。2）f(x)在区间 Ix 上单调连续变化，则其反函数 f-1(y)在相应区间 Iy 上单调连续变化。3）复合函数，
6、lim xx0 fg(x)=limuu0 f(u)=f(u0)，条件：lim xx0 g(x)=u0，f(x)在 u0 连续。或可表述为 limxx0 fg(x)=flimxx0 g(x)。4）g(x)在 x0 连续，且 g(x0)=u0，f(x)在 u0 连续，则复合函数 fg(x) 在 x0 连续。5）初等函数在定义域内都是连续的。12、闭区间上连续函数的性质1）有界与最值，在闭区间上连续函数有界，则一定有最值。2）零点定理，f(x)在闭区间a,b连续，且 f(a).f(b)0，则在开区间(a,b)至少有一点使 f()=0。3）介值定理，f(x)在a,b连续，且 f(a)=A，f(b)=B
7、，则在(a,b)至少有点 f()=C(AC B)。13、多元函数的极限与连续性。1.2 导数与微分1、导数的定义 f(x0)=limx0 f(x0+x)- f(x 0)/x；或 f(x0)=limxx0 f(x)- f(x0)/( x- x0)。2、常用导数求解，C=0；(x u)=uxu-1；(sinx)=cosx；(cosx)=-sinx ；(tanx)=sec 2x；(cotx)=-csc2x；(secx)= secx.tanx；(cscx)=-cscx.cotx；(a x)=axlna；(e x)=ex；(log ax)=1/xlna；(lnx)=1/x ；(arcsinx)=1/(1
8、-x 2)；(arccosx)=-1/(1-x 2)；(arctanx)=1/ (1+x2)；3(arccotx)=-1/ (1+x2)3、导数的几何意义，表示 f(x)在点x 0, f(x0)处切线的斜率。单侧导数。切线方程：y-y 0=f(x0).(x-x0)；法线方程：y-y 0=-1/f(x0).(x-x0)；4、可导 连续。可导函数必是连续的，连续则不一定可导（折线变化的函数） 。5、求导法则，(uv)= uv；(u.v)= u.v+ u.v；(u/v)=( u.v-u.v)/v2；(cu)=c.u。反函数求导，f -1(x)= 1/f(y)；复合函数求导。6、高阶导数，常用的有 (
9、ex)(n)= ex；(sinx) (n)=sin(x+n./2)；(cosx) (n)=cos(x+n./2)；ln(1+x)(n)=(-1)n-1(n-1)!/(1+x)n；0!=1；(x n)(n)=n!；(x n)(n+1)=0；7、隐函数求导，注 意 y 是 关 于 x 的 函 数 y=y(x)， dy/dx=-(Fx/Fy)； z/ x=-(Fx/Fz)； z/ y=-(Fy/Fz)；参数函数求导，x、y 对 t 求导。8、微分的定义，y= f(x 0+x)- f(x 0)=A.x+0(x)，既 dy=A.x；9、微分的几何意义，表示 f(x)在切线上点的纵坐标的相应增量。10、微
10、分的运算，与导数对应。11、微分的中值定理与函数的性态1）费马定理，若 f(x)在(a,b)内有一点 x0 取最值（极值） ，则 f(x0)=0。2）罗尔定理，若 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导且 f(a)=f(b)，则必有一点使 f()=0。3）拉格拉日中值定理，若 f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则必有点 f()=f(b)-f(a)/(b-a)。4）若在区间 f(x)=0，则 f(x)=C（常数） 。5）柯西中值定理，f(x)、g(x) 在a,b上连续，在(a,b)内可导，则至少有一点使得f(b)-f(a)/ g(b)-g(a)=f()/g()。12、洛必达法则，解
11、决 0/0，/型求极限问题。lim xa f(x)/g(x)=limxa f(x)/g(x)。使用条件是 g(x)0，lim x af(x)/g(x)存在或无穷大。其他求极限的方法：对数极限法，可将 00、 0、1 转化为 0.型，从而再变为0/0，/型，利用洛必达法则求解。 “-”型可用通分化商求解。13、函数的单调区间与极值1）f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则 f(x)0,f(x)单增；f(x) 0,f(x)单减。f(x)=0 为驻点。2）f(x)连续，在除 x0 点外可导，则可通过 x0 左右两侧 f(x)的符号判断 x0 是极大值、极小值；f(x)不变号，则 x0 不是极
12、值点。极值点必是驻点；导数不存在的点也可能是极值4点。3）f(x)在 x0 点二阶可导，且 f(x0)=0，f ”(x0)0，则 f ”(x0)0，x 0 为极大值；f ”(x0)0，x 0 为极小值。 极值与最值的区别：极值用坐标点表示，最值是一个单纯的数字。14、曲线的凹凸性与拐点1）f(x)在(a,b)上连续，若有f(x 1+x2)/2f(x 1)+ f(x2)/2，或 f ”(x)0，则 f(x)在a,b是凹曲线；若有f(x 1+x2)/2f(x 1)+ f(x2)/2，或 f ”(x)0，则 f(x)在a,b是凸曲线。2）f(x)在(a,b)上连续，若在 C 点 f ”(c)符号相反
13、，则 C 点为拐点。拐点可以是不可导点，反应曲线凹凸变化的转折点。15、偏导数，高级导数1）对于多元函数，各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续。2）拉普拉斯方程。3）二级偏导数连续， 2z/(xy)= 2z/(yx)。16、全微分，dz=(z/x).dx +( z/y).dy。全微分存在 各偏导数存在。17、方向导数，f/ L (x0,y0)=f(x).(x0,y0)cos+f(y).(x 0,y0)cos，f(x),f(y) 为偏导数，方向余弦，cos，cos ，为非零向量与坐标轴夹角的余弦。cos 2+cos 2+cos 2=1。18、多元函数微分的几何应用1）曲线的切线与法平面给
14、定曲线参数方程x=(t)，y=(t)，z=(t)，切线方程：(x-x 0)/(t 0)=(y-y0)/(t 0) =(z-z0)/(t 0)，t= t 0，对应点(x 0，y 0，z 0)。法平面方程：(t 0).(x-x0)+(t 0).(y-y0)+(t 0).(z-z0)=0。2）曲面的切平面与法线给定曲面的隐式方程 F(x，y，z)=0，切平面方程：F x(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0，法线方程：(x-x 0)/ Fx(x0,y0,z0)=(y-y0)/Fy(x0,y0,z0)=(z-z0)/Fz(x0,
15、y0,z0)。1.3 不定积分与定积分1、不定积分的概念与性质1）原函数加常数项称为导函数的不定积分，f(x)dx=F(x)+C。积分运算与微分是互逆的，d(cosx)=-sinxdx，d(cosx)=cosx+C。2）性质：f(x)+g(x)dx=f(x)dx+ g(x)dx ；kf(x)dx=kf(x)dx。2、换元积分法51）凑微分法，f(x) (x)dx=F(x)+C=f(u)du，u=(x)。常用的三角函数公式：倒数关系：tan cot=1； sin csc=1；cossec=1；商的关系：sin/cos=sec/csc=tan；cos/sin=csc/sec=cot；平方关系：si
16、n2+cos2=1；1+tan2=sec2；1+cot2=csc2；两角和公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB；sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA；cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB；tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)；tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)；cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)；cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)；倍角公式：tan2A=2tanA
17、/1-(tanA)2；sin2A=2sinAcosA；cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2 -1=1-2(sina)2；半角公式：1-cosA=2sin(A/2)2；1+cosA=2cos(A/2)2；(1-cosA)/(1+cosA)=tan(A/2)2；(1+cosA)/(1-cosA)=cot(A/2)2；tan(A/2)=cscA-cotA ；和差化积：2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)；2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )；2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)；-2sinAsinB=cos(A+B)-
18、cos(A-B)；sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2；cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) ；tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB；万能公式：sin=2tan(/2)/1+(tan(/2)2；cos=1-(tan(/2)2/1+(tan(/2)2；tan=2tan (/2)/1-(tan(/2)2；2）第二类换元法,f(x)dx=f(t)(t)dt, 设 x 为 t 的函数,求得结果后将 t 换算成 x 回带。3、分部积分法，udv=uv-vdu。u、v 的选取要适当，方便求解。4、有理函数积分，将有理分式化为和的形
19、式，分别积分。可化为有理函数的积分。5、定积分，表示围区面积 A= abf(x)dx。a=b 时， abf(x)dx=0；a b 时， abf(x)dx=- baf(x)dx。6、定积分性质，1） abf(x)g(x)dx= abf(x)dx abg(x)dx。2） abkf(x)dx=k abf(x)dx。3） abf(x)dx= acf(x)dx+ cbf(x)dx，a cb。4） ab1dx=b-a。65）f(x)0， abf(x)dx0 。f(x)g(x)， abf(x)dx abg(x)dx。 abf(x)dx ab f(x)dx。6）m(b-a) abf(x)dxM(b-a) ，m
20、、M 分别为最小值和最大值。7）中值定理，f(x)在a,b上连续，则至少存在一点使得 abf(x)dx=f()(b-a) 。7、牛顿莱布尼兹公式， abf(x)dx=F(x)ab= F(b)F(a) 。8、定积分换元法， abf(x)dx= f(t)(t)dt，不需反代，直接计算。9、偶函数 -aaf(x)dx=2 0af(x)dx，奇函数 -aaf(x)dx=0，条件是连续函数。10、 0/2 f(sinx)dx= 0/2 f(cosx)dx； 0 xf(sinx)dx=/2 0 f(sinx)dx。11、定积分分部积分法， abudv=uvab abvdu。12、定积分的应用1）求曲线 y
21、=f(x)与曲线 y=g(x)围成的平面图形面积，A= abf(x)- g(x)dx，a,b 为 x 的取值范围，对应 y 函数由上减下。当对 y 积分有利时，可换成 x 的函数对 dy 积分。极坐标求法，曲线 =() ， 变化范围, ，A= 1/2 () 2d。2）求曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转体体积，v= abf(x) 2dx。3）求平面曲线弧长，直角坐标弧长x=x ，y=f(x)，s= ab(1+y 2) dx；参数方程弧长，x=(t)，y=(t)，s= 2(t)+ 2 (t)dt；极坐标弧长 =()， x=()cos ,y=()sin，s = 2( )+ 2 ( )d 。13、重积
22、分，二重积分表示以积分区域 D(平面)为底，曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积。1）二重积分性质， DAf(x,y)+Bg(x,y)d=A Df(x,y)d+B Dg(x,y)d。可加性， Df(x,y)d= D1f(x,y)d+ D2f(x,y)d，D=D 1+D2。 D1d=D 的面积。f(x,y)g(x,y) ， Df(x,y)d Dg(x,y)d。m Df(x,y)dM，m、M 分别为 f(x,y)在闭区间 D 上的最小值和最大值。中值定理， Df(x,y)d=f(,).。三重积分具有以上类似的性质。2）二重积分计算法，直角坐标法： Df(x,y)d= abdx 1 2 f(x,y)
23、dy，x 从 a 到 b 变化，对应函数 y 从 1 到 2 变化，实质转化为定积分的计算。极坐标法： Df(x,y)dxdy= Df( cos , sin ) .d d = d 1 2 f( cos , sin ) .d ，x= cos ， y= sin ， dxdy= .d d 。 从 到 变化，对应函数 从 1 到 2 变化。73）三重积分表示密度 f(x,y,z)与质量 M= f(x,y,z)dv 的关系。三重积分计算，直角坐标： f(x,y,z)dv= abdx y1y2dy z1z2f(x,y,z)dz，积分区域 是空间体，x(a,b)、y(y 1,y2)均属于 在平面 xoy 投
24、影 Dxy，对应 z 的变化为 z1z2。柱 面 坐 标 ： f(x,y,z)dxdydz= F( , ,z) d d dz， F( , ,z)= f( cos , sin ,z)。0,2 ，表示过 z 轴的半平面； 0,+，表示以 z 轴为轴的圆柱面；z - , +，表示与平面 xoy 平行的平面。球 面 坐 标 ： f(x,y,z)dxdydz= F( , , ) 2sin d d d ， F( , , )=f ( sin cos , sin sin , cos )。0,2 ，表示过 z 轴的半平面；0,，表示顶点为原点，以 z 轴为轴的圆锥面；0,+，表示球心为原点的球面。1.4 曲线积
25、分1、对弧长的曲线积分性质1） L1+L2f(x,y)ds= L1f(x,y)ds+ L2f(x,y)ds。2） L Af(x,y)+Bg(x,y)ds=A Lf(x,y)ds+B Lg(x,y)ds。3）f(x,y)g(x,y) ， Lf(x,y)ds Lg(x,y)ds。 Lf(x,y)ds Lf(x,y) ds。2、对弧长的曲线积分计算法，将 ds 转化为( 2(t)+ 2(t)dt，实质转化为定积分计算。曲 线 弧 L 的 参 数 方 程 ： x= (t)， y= (t)， Lf(x,y)ds= f(t),(t) ( 2(t)+ 2(t)dt； 。特殊地，y= (x)时， Lf(x,y
26、)ds= abfx,(x)(1+ 2(x)dx。x=(y)时， Lf(x,y)ds= cdf(y),y(1+ 2(y)dy。对于空间曲线，x=(t)，y=(t)，z=(t)，则有： f(x,y,z)ds= f(t),(t), (t)( 2(t)+ 2(t)+ 2(t)dt，。3、对坐标的曲线积分，具有与对弧长曲线积分类似的性质。必须注意积分弧段的方向，积分方向相反则结果相反。 LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= P(t),(t)(t)+Q(t), (t)(t)dt，x= (t) ，y=(t)， 对应有向曲线弧 L 的起点， 对应 L 的终点， 不一定小于 。8特殊地，y= (x)时， LP
27、(x,y)dx+Q(x,y)dy= abPx,(x)+Qx,(x)(x)dx。曲线积分的弧线函数 L 与被积函数 f(x,y)是代入关系，而重积分计算时的积分区域与被积函数无关，只确定积分的上下限。4、格林公式，将曲线积分转化为二重积分。 LPdx+Qdy= D( Q/ x- P/ y)dxdy， L 是D 的取正向边界曲线。所谓正向是指 D 的内测始终在曲线 L 的左侧，闭区间 D 由 L 围成。1）面积公式，P=-y，Q=x, D( Q/ x- P/ y)dxdy=2 Ddxdy(D 的面积)，A=1/2 Lxdy-ydx。2）平面曲线积分与路径无关的充要条件， LPdx+Qdy=0 Q/
28、 x= P/ y。1.5 空间解析几何与向量代数1、向量的概念1）向量的相等，平行(特例共线)，共面；零向量，负向量。向量的模，方向角，方向余弦。2）平行定理：a 0，a b b=a， 唯一。3）向量的加减法符合交换律和结合律；乘除法符合结合律和分配律。2、数量积，向量积数量积的运算结果是一个数；向量积的运算结果是一个向量。1）数量积 a.b=a .bcos =a.Prj ab=b.Prj ba（投影） 。Prj ba 表示向量 a 在向量 b 的投影。推论 a.a=a 2；a.b=0 ab（cos/2=0） ；2）数量积运算符合交换律和结合律，分配率。3）数量积坐标表示式 a.b=axbx+
29、 ayby+ azbz；cos=a.b/ a.b=(a xbx+ ayby+ azbz)/(a x2+ay2+az2).(b x2+by2+bz2)；4）向量 c 的模 c =a.bsin。推论 aa=0（sin0=0） ；ab=0 ab；5）向量积运算符合结合律，分配率，以及 ab=-ba；6）向量积坐标表示式 ab= i j k =(aybza zby)i+( azbxa xbz)j+(axbya ybx)k。ax ay azbx by bz （a b 与 a 和 b 都垂直。 ）3、空间曲面1）球面方程 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2， （x 0，y 0，z 0）是
30、球心。2）旋转曲面 f=(x 2+y2)，z=0（绕 z 轴） 。f=y，(x 2+z2)=0（绕 y 轴） 。9圆锥面 z=(x 2+y2)cot 或 z2=cot 2(x2+y2)。旋转单、双叶双曲面 (x2+y2)/a2- z2/c2=1（绕 z 轴） ；x 2/a2-(y2+z2)/c2=1（绕 x 轴） ；3)柱面，只含两个坐标的平面方程，在空间直角坐标系里表示母线平行于另一个坐标轴。4）二次曲面（三元二次方程） ，有 9 种。椭圆锥面 x2/a2+y2/b2=z2；椭球面 x2/a2+y2/b2+z2/c2=1；单叶双曲面 x2/a2+y2/b2-z2/c2=1；双叶双曲面 x2/
31、a2-y2/b2-z2/c2=1；椭圆抛物面 x2/a2+y2/b2=z；双曲抛物面 x2/a2-y2/b2=z；椭圆柱面 x2/a2+y2/b2=1；双曲柱面 x2/a2-y2/b2=1；抛物柱面 x2=ay。4、空间曲线（两个曲面的交线）1）一般方程是两个曲面的方程组；参数方程；特例螺旋线。2）空间曲线在坐标面上的投影，消去方程组中某变量，再使该坐标为 0，联立。5、平面1）点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，原理是数量积；法向量 n=(A，B ，C)，平面点 M0(x0，y 0，z 0)。三点如何确定一个平面？2）一般方程(三元一次)Ax+By+Cz+D=0，
32、有诸多特例：过原点、平行于坐标轴和坐标平面。3）截距式方程 x/a+y/b+z/c=1，a 、b、c 依次在坐标轴上的截距。4）两平面的夹角 cos= (A 1A2+ B1B2+C1C2)/(A 12+ B12+C12).(A 22+ B22+ C22)；两平面垂直：A 1A2+ B1B2+C1C2=0；两平面平行或重合：A 1/A2=B1/B2=C1/C2。6、空间直线1）一般方程是两个平面的方程组；2）参数方程 (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p=t，方向向量 s=(m，n，p)，直线上一点(x0，y 0，z 0)。3）两直线的夹角 cos= (m 1m2+ n1n2+p
33、1p2)/(m 12+ n12+p12).(m 22+ n22+ p22)；两直线垂直：m 1m2+ n1n2+p1p2=0；两平面平行或重合：m 1/m2=n1/n2=p1/p2。4）直线与平面的夹角，直线方向向量(m，n，p)，平面法向量 n=(A，B，C)，sin=Am+Bn+Cp/ (A2+ B2+C2).(m 2+ n2+ p2)；直线与平面垂直：A/m=B/n=C/p；直线与平面平行或重合： Am+Bn+Cp=0；1.6 无穷级数101、常数项无穷级数，表达式 =u1+u2+un+，nU1）常数项级数的部分和数列s n，s 1=u1，s 2=u1+u2，s n=u1+u2+un，若
34、s n极限存在为和 s，则无穷级数Un 收敛；若s n没有极限，则无穷级数Un 发散。等差数列 1+2+3+n=n(n+1)/2，发散；等比数列 a+aq+aq2+aq3+aqn-1=a(1-qn)/(1-q)，q1，收敛；q1，发散。2）收敛级数的性质若级数Un 收敛于和 s，则级数kUn 收敛于和 ks。若级数Un、Vn 分别收敛于 s、，则级数(UnVn)收敛于 s。增减级数的有限项，不改变级数的收敛性。对级数的项任意加括号，不改变级数的敛散性。但是收敛级数去掉括号则可能改变性状。若级数Un 收敛 它的一般项(通式)极限 limn un=0；lim n un0 级数Un发散。特例：调和级
35、数 1+1/2+1/3+1/n+，lim n un=0，但发散。级数 n1 1/n2 收敛。2、常数项级数审敛法1）正项级数(各项均是正数或零)及其审敛法正项级数Un 收敛 部分和数列s n有界。对照常数项级数的定义，定理也成立。比较法，正项级数Un、Vn，UnVn，Vn 收敛 Un 收敛，Un 发散Vn 发散。P 级数 1+1/2p+1/3p +1/np +， p1，收敛；p1，发散。比较极限法，正项级数Un、Vn，若 limn (un/vn)=a0，Vn 收敛 Un 收敛，Vn 发散 Un 发散。比值法，正项级数Un，若 limn (un+1/un)=a，a1，收敛；a 1 或,发散；a=1,不定。根植法，正项级数Un，lim n (un)1/n=a，a 1 ，收敛；a1 或，发散；a=1，不定。极限法,正项级数Un,若 limn (nun)=a0 或,发散；若 p1，lim n (npun)=a0,收敛。2）交错级数及其审敛法若交错级数(-1) n-1Un 满足条件：u nu n+1，lim n un=0，则级数收敛。3）绝对收敛与条件收敛
