1、1遂宁市安居区西眉中学高 2017 级数学资料（高中数学必修 4 第一章三角函数知识点及典型例题）2014 年 11 月例 1 若 A、B、C 是 的三个内角，且 )2(CBA，则下列结论中正确的个数是（ ）. sini . cott . tant . CAcosA1 B.2 C.3 D.4错解： C CAsini， tta故选 B错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误正解：法 1 在 B中，在大角对大边， ACacsini,法 2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除 B、C、D，所以选 A .例 2已知 ,角的终边关于 y轴对称，则 与 的关系为 .
2、错解： 角的终边关于 轴对称， 2+ k，（ )z错因：把关于 y轴对称片认为关于 轴的正半轴对称.正解： ,角的终边关于 y轴对称 )(,2Zk即 )(,2zk说明：（1）若 角的终边关于 x轴对称，则 与 的关系为)(,k（2）若 ,角的终边关于原点轴对称，则 与 的关系为)()1(Zk（3）若 ,角的终边在同一条直线上，则 与 的关系为 )(,Zk例 3 已知 542cos,3sin ，试确定 的象限.错解： 0052， 2是第二象限角，即.,zkk从而 42故 是第三象限角或第四象限角或是终边在 y轴负半轴上的角.错因：导出 2是第二象限角是正确的，由 0542cos,0532sin即
3、可确定，而题中 54cos,3sin不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定 2的大小，即可进一步缩小 2所在区间.正解： 0cs,0si ， 是第二象限角，又由 43in253in知 zkk,2zkk,4，故 是第四象限角.例 4已知角 的终边经过 )0(3,aP，求 cot,tancs,i 的值.错解： yxrayx5,3,4234ct,43tan,45cos5sin a错因：在求得 r的过程中误认为 0正解：若 0a，则 a，且角 在第二象限 34cot,43tan,54cos,53sin a若 ，则 r，且角 在第四象限 t,t,ia说明：（1）给出角的终边上一点的
4、坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母 的符号不确定，故要对 a的正负进行讨论.例 5 （1）已知 为第三象限角，则 2是第 象限角， 2是第 象限角；（2）若 4，则 是第 象限角.解：（1） 是第三象限角，即 Zkk,23Zkk,3， 424当 为偶数时， 2为第二象限角当 k为奇数时， 为第四象限角3而 2的终边落在第一、二象限或 y轴的非负半轴上.（2）因为 43，所以 为第二象限角.点评： 为第一、二象限角时， 2为第一、三象限角， 为第三、四象限角时，2为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.例 6一扇形的周长为 20cm，当扇形的圆心角
5、等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为 r，则扇形的弧长 cmrl)20(扇形的面积 5)()20(12rS所以当 cmr5时，即 ,lcl时 2maxcS.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.例 7已知 是第三象限角，化简 sin1si。解：原式 22in1)(sin1)( cosin2co又 是第三象限角， 0co所以，原式 tasi。点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关
6、系式脱去根式，进行化简.例 8 若角 满足条件 0sinco,02sin，则 在第（ ）象限A.一 B.二 C.三 D.四解： csisicisico02in 角在第二象限.故选B.例 9 已知 o，且 0tan.（1）试判断 )cs(in的符号；（2）试判断 olg的符号.4解：（1）由题意， 0cos1， 0sin1)(in,0)sin(co，所以 )c(io.（2）由题意知 为第二象限角， 1si，所以 0)coslg(in.四、典型习题导练1已知钝角 的终边经过点 4in,2sP，且 5.0co，则 的值为 ）A 21arctnB 1arct C 21art D 432角 的终边与角
7、的终边关于 y 轴对称，则 为（ ）A.- B.- C.（2k +1）-(k Z) D.k- （kZ）3.若 sintg0,kZ，则角 的集合为（ ）A2k 2，2k + B.( 2k 2,2k + )C.( 2k ，2k + ) k2 D.以上都不对4当 0x 时, 则方程 cos ( cosx)=0 的解集为( )A. 65 B. 3, C.3 D.325下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是( )A.cos3tg3ctg3sine B.sin3cos3tg3 ctg3C.cot3tan3 cos3 sin3 D.sin3tan3cos3cot36已知 x(0, 2
8、),则下面四式: 中正确命题的序号是 .sinx x tgx sin(cosx) cosx cos(sinx)sin 3x+cos3x 1 cos(sinx) sin(cosx) cosx7有以下四组角：(1)k + ；(2)k - ；(3)2k ；(4)-k + (kz)其中终边相 2 2 2 2同的是（ ）A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3) C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)8 若 角 的 终 边 过 点 (sin30， -cos30),则 sin 等 于 （ ）A. B. C. D.12 1259函数 y= 1)3cos(2x 的定义域是_,值域是
9、_.三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学三、典型例题导讲例 1已知 cot051cosin） ， 则，（， _错解：两边同时平方，由 ，与 51sin251cosin 得57cosin25494)s(i c42ics2 .cot3si ， 进 而 可 求， 解得： 43ct或 54cosn， 进 而 可 求， 解得： o错因：没有注意到条件 ),0(时，由于 0csin所以 si的值为正而导致错误.正解： ） ，（，51con两边同时平方，有 联 立 ，与 51cosin0251cosin 求出 ， 34si 43t例 2若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B 为锐角且 a
10、1,0b1，求 tanA 的值错解：由 bAacosini得 tan A= tan B错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由 Bcsisi 2+ 2 得 a2sin2B+b2cos2B=1cos 2B= 21ba sin 2B= 21b tan 2B= 12ab6B 为锐角 tan B= 12ab 得 tan A= batan B= 2例 3若函数 )2cos(in)sin(4co1)( xaxxf 的最大值为 2，试确定常数 a的值. .15,41sin),sin(1i2cocoss4)(:2 22a axaxf解 之 得由 已 知 有 满 足其 中 角解 点评
11、：本试题将三角函数“ ,2”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.例 4已知 tan=2，求 （1） t()4的值； （2） 6sinco32的值解：（1） tan 2=2, 2ta4tn1;所以tata4tan()4n1nt= 3471；（2）由(I), tan= 3, 所以 6sico2= 6ta32=()136.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. 例 5化简： )()41cos()41sin( znn7错解：原式 )4(cos)4(sin nco)4si(c
12、os2i0)s(c错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.正解：原式 )4(cos)4(in n（1）当 12zk，时原式 )(si+ )(2csk)4n(4cos)4o(4os=0（2）当 (zk，时原式 )si+ )(2csk)4n(+ 4o(=0例 6若 316si，则 2cs=（ ）A 97 B C 31 D 97错解： 23cos= )23(cos= )2cos(=12 )6(sin=错因：诱导公式应用符号错.正解： cs= )(cs= )23o(=1+2 6in= 97.故选 A.例 7已知 51cos,0xx.（1）求 sinxcosx 的值；（2）求 xcott
13、an22sii32的值.解法一：（1）由 ,251cossini,51i xx平 方 得8即 .2549cosin21)cos(in.254cosin2 xxx又 ,0,0s,i,0 故 .7（2） xxsincoi2cottansi322 12508)(251)sinsix解法二：（1）联立方程 .cosin,2x由得 ,51sinx将其代入，整理得 ,012cos52x.54cs,3in,0.4cos3c xx或故 .57inx（2）xcotta2s2si32xsinci1212508)342(5)3(sioi 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基
14、本知识，以及推理和运算能力.例 8 (1)化 简 ： 1cso2+cos2 csc2sin2sec21(2)设 sin( + )= ,且 sin2 02 149求 sin ,tan解 ： 原 式 = +cos2 csc2sin2tan2 cos2cot2=cos2 +sin2 +cos2 csc2=1+cot2=csc2(2)解 ： 由 sin( + )=- cos =- sin2 0 2k 2 2k +2 14 14k k + (k z) 为 第 一 象 限 或 第 二 象 限 的 角2 cos =- 0 为 第 三 角 限 角14sin=- tan = = 1cos2sincos 15点
15、评 ： 本 题 要 求 同 学 们 熟 练 掌 握 同 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 ， 在 求 值 过 程 中 特 别 注 意三 角 函 数 值 的 符 号 的 探 讨 .点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数.例 9 已知 )3tan(si,257cos,107)4sin( 及求 .解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cs(in2)si(1027即 57coin 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 )sin(co57)sin)(cosin(cosin2s5722 故 51inco 10由式和式得 54cos,3sin.因此， 43tan，由两角和的正切公式 .12583431ta1)4ta( 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 2sin2cos57解得 5sin,259si即由 7coi,107)4in(可 得由于 05sin,cos5si 且 ，故 在第二象限，于是 53in.从而 47sic（以下同解法一）.点评： on， cosi， cosin三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式 1i22），在求值过程中要注意符号的讨论.
