1、-_第三章习题解答3.1 真空中半径为 a的一个球面,球的两极点处分别设置点电荷 q和 ,试计算球赤道平面上电通密度的通量 (如题 3.1 图所示)。解 由点电荷 q和 共同产生的电通密度为 34qRD223223()()rzrzaaee则球赤道平面上电通密度的通量 0ddzSSA23230()d4()aqarrr2100.9()aq3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ar的球体原子模型,其球体内均匀分布有总电荷量为 Ze的电子云,在球心有一正电荷 Ze( 是原子序数, e是质子电荷量) ,通过实验得到球体内的电通量密度表达式为0234rarD,试证明之。解 位于球心的正电荷 Z
2、e球体内产生的电通量密度为 124rZe原子内电子云的电荷体密度为 33aa电子云在原子内产生的电通量密度则为 322344rraZeDe故原子内总的电通量密度为 122314raZerD3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中,体密度为30Cm, 两圆柱面半径分别为a和 b,轴线相距为 c)(ab,如题 3.3 图 ()a所示。求空间各部分的电场。解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布,不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为 0的两种电荷分布,这样在半径为 b的整个圆柱体内具有体密度为 0的均匀电荷分布,而在半径为 的整个圆柱体内则具有体密度为 0的均匀电
3、荷分布,如题 3.3 图 ()b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在 br区域中,由高斯定律 0dSqEA,可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 2210rbre22010rarEeqa赤道平面题 3.1 图题 3. 3 图 ()abc0-_点 P处总的电场为 210()barE在 br且 a区域中,同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P产生的电场分别为 220re22200rarEe点 P处总的电场为 02()E在 ar的空腔区域中,大、小圆柱中的正、负电荷在点 P产生的电场分别为03rre2030rrEe点 P处总的电场为 03 0()2Ec3.4
4、半径为 a的球中充满密度 )r的体电荷,已知电位移分布为3254()rAraD其中 A为常数,试求电荷密度 ()r。解:由 A,有 21d()rrDr故在 ra区域 230 01d()54r在 区域 5422()aAr3.5 一个半径为 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为 Q为的体电荷,球壳上又另充有电荷量 Q。已知球内部的电场为4()raEe,设球内介质为真空。计算:(1) 球内的电荷分布;(2)球壳外表面的电荷面密度。解 (1) 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 2001d()rEA4320041d()6rra(2)球体内的总电量 Q为 3406a球内电荷不
5、仅在球壳内表面上感应电荷 ,而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q,所以球壳外表面上的总电荷为 2 ,故球壳外表面上的电荷面密度为 题 3. 3 图 abc0abc0abc0-_024Qa3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 ra和 b()a,圆柱表面分别带有密度为 1和 2的面电荷。 (1)计算各处的电位移 0D;(2)欲使 r区域内 0D,则和 应具有什么关系?解 (1)由高斯定理0dSqDA,当 ra时,有 01当 arb时,有 021r ,则 02rae当 时,有 32b ,则 1203rbD(2)令 1203rabDe,则得到 1ba3.7 计算在电场强度 xyEe的电场中把带电量为
6、2C的点电荷从点1(,)P移到点 2(8,)P时电场所做的功:(1)沿曲线 xy;(2)沿连接该两点的直线。解 (1)ddxyCCCWqFllA221()yx2 616d4280()qyqJ(2)连接点 1(,P到点 28,)直线方程为xy即 640xy故 W21dd()()dCqxyqy2 61(4)d1280()qyJ3.8 长度为 L的细导线带有均匀电荷,其电荷线密度为 0l。 (1)计算线电荷平分面上任意点的电位 ;(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E,并用E核对。解 (1)建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式,线电荷平分面上任意点 P的电位为 202
7、d(,0)4Llzrr20ln()L2L2LPzro0l题 3.8 图 -_ 220()ln4rL220()lr(2)根据对称性,可得两个对称线电荷元 zld0在点 P的电场为02dcoslrrEe 0232d()lrze故长为 L的线电荷在点 P的电场为202320()lrrzEe 2020()Llrzre024)lrL由 求 ,有 220()ln2lLrE0222 12()()lr rrLL e 0224()lrLe3.9 已知无限长均匀线电荷 l的电场 0lrE,试用定义式dPrElA求其电位函数。其中 Pr为电位参考点。解 000()ddlnln22P Pr rl Pr rElA由于是
8、无限长的线电荷,不能将 选为无穷远点。3.10 一点电荷 q位于 (,)a,另一点电荷 q位于 (,)a,求空间的零电位面。解 两个点电荷 和 2在空间产生的电位 222201(,) 4()()xyzxayzxayz令 (,)0z,则有 22220即 ()()xyzxyz故得 2225433aa由此可见,零电位面是一个以点(,0)为球心、 为半径的球面。-_3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2013()()4aZerr解 位于球心的正电荷 Ze在原子外产生的电通量密度为 124rZeD电子云在原子外产生的电通量密度则为 3224arrDe所以原子外的电场为零。故原子内电位为 2300
9、11()d()d4aarreD201()aZrr3.12 电场中有一半径为 的圆柱体,已知柱内外的电位函数分别为 2)()cosraArr(1)求圆柱内、外的电场强度;(2)这个圆柱是什么材料制成的?表面有电荷分布吗?试求之。解 (1)由 E,可得到 时, 0Era时, 2 2()cos()cosraaAArree22(1)cs1inr(2)该圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布,电荷面密度为 000cosrraanEeA3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20(1) si()hzkxly其中 22kl;(2) cosi()nr圆柱坐标;(3)圆柱坐标;(4) s
10、 球坐标;(5)2r球坐标。解 (1)在直角坐标系中 22xyz而 2 2sin()sin()hz hzkxlyeklex2 z zlxyy2sin()sin()hz hzkxlyeklez故 222i()0hzxly(2)在圆柱坐标系中 221r-_而 11()cos()in()nrrA2cos)innrA22s()i()nrr2coin0Az故 20(3) 211()cos()cos()nnrrr22()n2cos0rz故 2(4)在球坐标系中 2222 2111()(sin)isinr r而 2(cosr2 211(sin)i(co)i sinrrr2(ss222 co)0sinsirr
11、r故 0(5) 22211()(s)csrrrr2 2sinin(o)i i241(scssrrr2221co)0sininr故 203.14 已知 0y的空间中没有电荷,下列几个函数中哪些是可能的电位的解?(1) coshex;(2) y;(3) 2in-_(4) zyxsini。解 (1)222(coh)(cosh)(cosh)yyexexexz2cosh0yex所以函数 ys不是 0空间中的电位的解;(2) 222()(s)(s)yyyxzssyy所以函数 eycos是 空间中可能的电位的解;(3) 222(sin)(cosin)(coin)y y yxexexz224cosi 0ye所
12、以函数 eyico2不是 0空间中的电位的解;(4) 22(sn)(insi)(sini)xzxyzxyzy3is所以函数 yii不是 0空间中的电位的解。3.15 中心位于原点,边长为 L的电介质立方体的极化强度矢量为0()xyzPe。 (1 )计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度;(2)证明总的束缚电荷为零。解 (1) 03PA220()xLxLxPneAP x同理 0()()()()222PPLyyzz(2) 3200d6PS LqA3.16 一半径为 0R的介质球,介电常数为 r,其内均匀分布自由电荷 ,证明中心点的电位为 2021()3rR解 由dSqDA,可得到0rR时, 3214r
13、即 , 1003rrDE0r时, 3204Rr-_即 302RDr, 30122RDEr故中心点的电位为 0 00 0312 2()dd3RrRErr2 20 01()633rr R3.17 一个半径为 的介质球,介电常数为 ,球内的极化强度 rKPe,其中K为一常数。 (1) 计算束缚电荷体密度和面密度;( 2) 计算自由电荷密度;(3)计算球内、外的电场和电位分布。解 (1) 介质球内的束缚电荷体密度为 221d()prA在 rR的球面上,束缚电荷面密度为 rrRRnPe(2)由于 0DEP,所以 00DEDPAAA即 (1)A由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2000()pKrA总的
14、自由电荷量 014ddRRq (3)介质球内、外的电场强度分别为 100()rKPEe()r2224rrqRR介质球内、外的电位分别为 112ddRrrElA200()()rRKKrlnr()rR2 20dd()rrEr0()R3.18 (1)证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度;(2)导出束缚电荷密度 P的表达式。解 (1)由 0D,得束缚电荷体密度为 0PDEAA在介质内没有自由电荷密度时, 0A,则有 0E由于 E,有 ()EA-_所以 EA由此可见,当电介质不均匀时, 可能不为零,故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。(2)束缚电荷密度 P的表达式为 00PE
15、A3.19 两种电介质的相对介电常数分别为 1r=2 和 2r=3,其分界面为 z=0 平面。如果已知介质 1 中的电场的 123(5)xyzEee那么对于介质 2 中的 和 D,我们可得到什么结果?能否求出介质 2 中任意点的 2E和2D?解 设在介质 2 中 222(,0)(,0)(,0)(,0)xyzyExxyeee23rE在 0z处,由 12ze和 12zDA,可得02(,)(,)50xyxyz xee于是得到 2(,)xE3yx2,1z故得到介质 2 中的 和 2D在 0z处的表达式分别为 20(,)()(69xyzyxeeD不能求出介质 2 中任意点的 2E和 。由于是非均匀场,介
16、质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。3.20 电场中一半径为 a、介电常数为 的介质球,已知球内、外的电位函数分别为 3010 2coscosrara203Er验证球表面的边界条件,并计算球表面的束缚电荷密度。解 在球表面上0010 3(,)coscoscos22aaEa203,E1000()3coscoscos22ra 203r-_故有 12(,)(,)a, 120rara可见 和 2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为 202()prarnPeEAA020 03()()cosraE3.21 平行板电容器的长、宽分别为 和 b,极板间距离为 d。电容器的一半厚度(0d)用介
17、电常数为 的电介质填充,如题 3.21 图所示。(1)(1) 板上外加电压 0U,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷;(2)(2) 若已知板上的自由电荷总量为 Q,求此时极板间电压和束缚电荷;(3)(3) 求电容器的电容量。解 (1) 设介质中的电场为 zEe,空气中的电场为 0Eze。由 D0,有E又由于 002Ud由以上两式解得02()E,002()Ud故下极板的自由电荷面密度为 0上上极板的自由电荷面密度为 02()Ed上电介质中的极化强度 00()zUPe故下表面上的束缚电荷面密度为 02()pzdPA上上表面上的束缚电荷面密度为 ()ze上(2)由 02UQabd得到 0()故 pab上0()Q上题 3.21 图0U2dz题 3.22 图 0E0E102