1、-_上海大学 20132015 学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：概率论与随机过程课程编号：07275061报告题目：大数定理与中心极限定理的实际应用学生姓名：陈璐学 号：12122577任课教师：任艳丽成 绩： 评阅日期： -_大数定理与中心极限定理的实际应用摘 要： 概率论是研究随机现象统计规律性的学科。而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性，而这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景。在数学的应用中，一般都是利用大数定律和中心极限定理一起来应用。本文根据在不同的条件下存在的大数定律和中心极限定理做了具体的分析，给出了一些相关应用，并进一步地阐明了大
2、数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。一、自学小结1.7 随机变量的特征函数（1）随机变量的特征函数定义为 。由定义式可见，C(u)和 f(x)是一对傅立叶变换对，同理 C*(u)和 f*(x)也是一对傅立叶变换对。（2）特征函数的性质：两两独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。随机变量的 N 阶原点矩可由特征函数的 N 次倒数求得。将特征函数在原点用台劳级数展开，该级数说明随机变量的密度函数可由它的各阶矩唯一地确定。1.8 大数定理与中心极限定理（1）大数定理：随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐趋于其概率；大量测量值的算术平均值随着测量次数的增加也
3、具有稳定性，这就是大数定律。数学表达式如下： ；其中 X1Xn 是相互独立的随机变量，且具有相同的 E(Xk)=u，D(Xk)= 。（2）中心极限定理：对于 ， 两个随机变量，它们的分布函数 Fn(x)满足， 。其中，X1Xn 是相互独立的随机变量，且具有相同的 E(Xk)=u，D(Xk)= 。由式子可以看出当 n 很大的时候，Y(n)和 Z(n)近似服从正态分布 N(0，1)。由以上又可以推出对于任意区间（a，b有 ，其中 是具有参数为 n，p 的二项分布。-_2.3 随机序列及其统计特性（1）定义：将连续随机过程 X（t）以 ts 为间隔进行等间隔抽样（记录），即可获得随机序列。对于固定的
4、 j，Xj 为一个随机变量，一个 N 点的随机序列可以看成是 N 维的随机向量，即TNX0101 （2）对 Xj 的统计特征描述：定义均值向量：01011,NNXTXmEM；自相关矩阵010,11,0,1,TNNrrXR；协方差矩阵0,11,01,TNNcEXCX-M自相关阵与协方差阵之间的关系：Cx=Rx-MxMxT（3）自相关阵的性质：对称性；半正定性，即对任意的 N 维随机向量 F，该式成立：FT Rx F=0。3.3 平稳随机序列的自相关阵与协方阵（1）定义：平稳随机序列的自相关阵与协方阵是 Toeplitz 矩阵，所谓 Toeplitz 矩阵，就是每一对角线上的元素都是相同的矩阵，其
5、满足对称性。（2）结论：只需要一行或一列元素就可以唯一确定自相关阵与协方阵。（3）自相关阵的正定形式：当自相关矩阵的维数过大时，我们求解问题就会变得复杂，这时可以将矩阵进行特征分解，将它表示成正则形式的对角化方法。其正则形式：R=Q Q（-1）5.5 随机序列通过离散线性系统 (1)对于一个离散系统而言，输出 y(n)=x(n)*h(n)，其中 x(n)是输入，h(n)是系统传输函数。由 z 变换可得其模型传递函数为： ，这就是自回归滑动平均模型（ARMA）。-_当 ai=0 时，有滑动平均模型（MA）： ，当 b0=1 且 bl=0 时，有自回归模型（AR）：其实滑动平均模型（MA）和自回归
6、模型（AR）是自回归滑动平均模型（ARMA）的两个特例。(2)时域分析：当输入是随机序列 X(n)，则三种系统模型的输出分别为：ARMA 模型: ，MA 模型: ，其自相关函数 ，当输入 X(n)为白序列时， 。AR 模型: ，其自相关函数， ，该方程组称为 Yule-Walker 方程。(3)频域分析：由离散傅里叶变换可得MA 模型: ，功率谱密度AR 模型: 对于随机序列通过离散线性系统的分析,先求其 H(z)，再转换成 H(w)。根据功率谱密度的公式可以求出 Gy(w)，知道了功率谱密度函数也就可以求出其自相关函数。二、大数定理与中心极限定理的实际应用2.1 大数定理与中心极限定理大数定
7、律表明大量样本的统计值的平均数稳定于某一值。如频率稳定于概率，样本的均值接近总体均值，最常用的例子就是掷硬币，抛一万次正面出现的频率不断向 0.5 逼近，并稳定于 0.5，使得频率稳定于概率。在看似偶然的事件中显示出规律。中心极限定理表明样本足够大时，样本服从正态分布。例如对一千居民收入随机调查，发现无论低收入还是高收入都是少数，而中等收入占多数，即为正态分布。在相当一般的条件下，当独立随机变量的个数增加时，其和的分布趋于正态分布。因此，只要和式中加项的个数充分大，就可以-_不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似，这在应用上是十分有效、重要的。大数定律指用于单一特征值，中
8、心极限定理则表明变量在分布上的特征 1。无论大数定律还是中心极限定理都表明了在偶然性中可以发现必然性。2.2 在实际中的应用1利用中心极限定理求概率问题：在社会生活中的应用。由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种各样的措施进行预防. 在这之前，对新生婴幼儿的性别进行判断和统计是很有必要，而中心极限定理在这方面就能体现出它独特的作用。例题： 设男孩的出生率为 0515，求在 10000 个新生的婴儿中女孩数目不少于男孩数目的概率是多少? 设 X 为 10000 个新生婴儿中男孩的数目，则 XB(100000.515) ，要求女孩数目不少于男孩数目的概率，即求
9、PX=5000. 由棣莫佛拉普拉斯定理可得即在 10000 个新生婴儿中,女孩数目不少于男孩数目的概率大约为 0.00135.2中心极限定理在商业营销中的应用 商业营销也是一个需要用到概率统计知识的领域. 对大量的数据进行统计分析,判断市场形势,进而做出最优的决策. 这就是中心极限定理在商业营销中的重要作用. 例题：设有某一汽车销售点, 其每天售出的汽车数目服从参数为 =2 的泊松分布，若其每天的销量之间是相互独立的，这样按照一年 365 天,每天都经营汽车销售的话，求其能以多大的概率一年售出至少 700 辆汽车。解：设第 i 天出售的汽车的数量为 i，则一年的总销量为 ： -_由此例,我们可
10、以看到,中心极限定理揭示了连续随机变量与离散随机变量的内在关系, 即离散随机变量的极限分布是正态分布. 参考文献1 于进伟 赵舜仁 大数定律与中心极限定理之关系 J 高等数学研究 2001 年 01 期 2 拉穷 论独立随机序列的大数定律与中心极限定理及其应用 D 西南交通大学 2007 年3 罗中德 中心极限定理教学方法研究 J 现代商贸工业 2012 年 第 8 期4 王丙参 魏艳华 林朱 大数定律及中心极限定理在保险中的应用 J 通化师范学院学报 2011 年 第 12期5 张鑫大数定理发展边程初探 J 科技信息 2011 年 第 22 期 6 吴丽雯 大数定律与中心极限定理的若干应用 J 湖北大学 2008
