1、172xB(0,4)A(6,0)EF xyO二次函数与四边形综合专题一二次函数与四边形的形状例 1. 如图，抛物线 与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线 与抛物线交于 A、C 两23yx l点，其中 C 点的横坐标为 2（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由解：（
2、1）令 y=0，解得 或 A（-1 ，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入12得 y=-3，C（2，-3）直线 AC 的函数解析式23yx是 y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（- 1x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），E（ (,)P 点在 E 点的上方，PE= 221(3)xx当 时， PE 的最大值=12x94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是 1234(,0),)(70),(,)FF，练习 1.如图，对称轴为直线 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）72x（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（ ， ）是抛物线上一动点，且位于第
3、四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四xy边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；x当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由A272xB(0,4)A(6,0)EF xyO练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 把 A、B 两点坐标代入72x27()yaxk上式，得解之，得27(6)0,4.ak5,.36ak故抛物线解析式为 ，顶点为27()yx72(,).（2）点 在抛物线上
4、，位于第四象限，且坐标适合(,)E，y0,y 表示点 E 到 OA 的距离2536yxOA 是 的对角线，OAF 21764()5ES因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的取值范围是 1 6x xx根据题意，当 S = 24 时，即 化简，得 解之，得 故2()x271().423,4.所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E 2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以 是菱形；OAF点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以 不是菱形 当 OAEF，且 OA = EF 时， 是正方形，此时点 E 的坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）
5、的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使 为正方形OAF练习 2.如图，已知与 轴交于点 和 的抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 关于 轴x(10)A， (5)B， 1l(4)C， 2l1x对称，顶点为 C（1）求抛物线 的函数关系式；2l（2）已知原点 ，定点 ， 上的点 与 上的点 始终关于 轴对称，则当点 运动到何处时，O(04)D， 2lP1lxP以点 为顶点的四边形是平行四边形？P， ， ，（3）在 上是否存在点 ，使 是以 为斜边且一个角为 的直角三角形？若存，求出点2lMAB 30的坐标；若不存在，说明理由M543211234554321AEBCO2l1lxy 543211234
6、554321AEBCO2l1lxy3练习 3. 如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， 1C(40)A(2)B(08)E（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；2C（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为1MxD，C，四边形 的面积为 若点 ，点 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左NDASA运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点N与点 重合为止求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范ADSt t围；（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最
7、大值，并求出此最大值；t（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由t4二二次函数与四边形的面积例 1.如图 10，已知抛物线 P：y=ax 2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y -52-4 -50 (1) 求 A、B、C 三点的坐标；(2) 若点 D 的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系
8、，并指出 m 的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M，使FM=kDF，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围.练习 1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形 OMNH，点 H的坐标为（8，0），点 N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形 OMNH绕点 O旋转 180的图形 OABC，并写出顶点 A， B， C的坐标（点 M的对应点为A， 点 N的对应点为 B， 点 H的对应点为 C）；（2）求出过 A， B， C三点的抛物线的表达式； （3）截取 CE=OF=AG=m，且 E， F， G分别在线段 CO， OA， AB上，求四边形 BE
9、FG的面积 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；面积 S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形 BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时 m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由图 105练习 2.如图，正方形 的边长为 ，在对称中心 处有一钉子动点 ， 同时从点 出发，ABCD2cmOPQA点 沿 方向以每秒 的速度运动，到点 停止，点 沿 方PCAD向以每秒 的速度运动，到点 停止 ， 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，1cmPQ设 秒后橡皮筋扫过的面积为 x2cy（1）当 时，求 与 之间的函数关系
10、式；0 x（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求 值；（3）当 时，求 与 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运2x y动停止时 的变化范围；POQ（4）当 时，请在给出的直角坐标系中画出 与 之间的函数图象0x yx练习 3. 如图，已知抛物线 l1：y=x 2-4 的图象与 x 轴相交于 A、C 两点，B 是抛物线 l1 上的动点( B 不与A、C 重合)，抛物线 l2 与 l1 关于 x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D.(1) 求 l2 的解析式；(2) 求证：点 D 一定在 l2 上；(3) ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的
11、面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三二次函数与四边形的动态探究例 1.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0) ，C (0，3)，点 P 是OA 边上的动点(与点 O、A 不重合) 现将PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在 OC 边上选取适当的点B CPODQAB P CODQA y321O2x6E，将POE 沿 PE 翻折，得到 PFE ，并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x，0) ， E(0，y) ，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 y 的最大值；(2)如图
12、2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、 E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标图 1FEPDyxBACO图 2OCABxy DPE F例 2. 已知抛物线 yax2 bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB0,y 表示点 E 到 OA 的距离OA 是 的对角线，EAF 21764()5OAESy因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，
13、0），所以，自变量 的取值范围是 1 6x xx 根据题意，当 S = 24 时，即 化简，得 解之，得2()x27().423,4.故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E 2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以 是菱形；OAF点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以 不是菱形 当 OAEF，且 OA = EF 时， 是正方形，此时点 E 的 坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使 为正方形OAF练习 2.解：（1）由题意知点 的坐标为 设 的函数关系式为 C(34)， 2l 2(3)4yax又 点 在抛物线 上，
14、，解得 (0)A， 2()yax10a1抛物线 的函数关系式为 （或 ）2l 265yx（2） 与 始终关于 轴对称， 与 轴平行P P 52112345 54321AEBCO2l1lxy1054321123D5 54321ACEMBCO2l1lxy设点 的横坐标为 ，则其纵坐标为 ， ， ，Pm265m4OD2654m即 当 时，解得 当 时，解265236得 当点 运动到 或 或 或3P(362)， ()， (2)，时，()， ，以点 为顶点的四边形是平行四边形POD ， ， ，（3）满足条件的点 不存在理由如下：若存在满足条件的点 在MM上，则2l， （或 ），90AB30A30B142
15、过点 作 于点 ，可得 EEA， ， 2M34O点 的坐标为 (4)，但是，当 时， x2651243y不存在这样的点 构成满足条件的直角三角形练习 3. 解（1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ，(0)A，()B，(08)E， (40)D(2) 设抛物线 的解析式是(08)F，2C，则 解得2(0)yaxbc6408abc，168ab，所以所求抛物线的解析式是 2yx（2）由（1）可计算得点 (31)(MN，过点 作 ，垂足为 NHAD当运动到时刻 时， ， t28Ot2Ht根据中心对称的性质 ，所以四边形 是平MDNA行四边形所以 所以，四边形 的面积ADNS 因为运动至点 与点 重合为止，2(82)1418Stt据题意可知 所以，所求关系式是 ， 的取值范围是 0 2418Stt04t
