1、- 1 -加试模拟训练题（14）1、非等腰 ABC的内切圆圆心为 I，其与 ,BCA分别相切于点 1,ABC，,分别交圆于 2,， 1中 11的角平分线分别交 1,于点 3，证明（1） 3是 2A的角平分线；（2 ）如果 ,PQ是 123和2B的两个外接圆的交点，则点 I在直线 P上。2、对任意实数 zyx,，试证： ).9(6132)9(61 2222 zyxyzxz - 2 -3、设 n是正整数，我们说集合1，2，2 n的一个排列（ nx21, ）具有性质P，是指在1，2，2 1当中至少有一个 i，使得 .|xii求证，对于任何 ，具有性质 P的排列比不具有性质 P的排列的个数多.4、求方
2、程 |1rspq的整数解，其中 qp,是质数， sr,是大于 1的正整数，并证明你所得到的解是全部解. - 3 -加试模拟训练题（14）1、非等腰 ABC的内切圆圆心为 I，其与 ,BCA分别相切于点 1,ABC，,分别交圆于 2,， 1中 11的角平分线分别交 1,于点 3，证明（1） 3是 2A的角平分线；（2 ）如果 ,PQ是 123和2B的两个外接圆的交点，则点 I在直线 P上。证明 （1）因为 12C 1A， 12B 1A，所以有12211CABA，从而有 3211B，即 23是 12C的角平分线。（2）设 123A的外心为 O，连 21,IAO，则 12IA。由于 132A1131
3、290CCCBC，所以 2232128090OI IO，于是有90A，即 与 A相切于 。同理 I与 23的外接圆相切于 B，从而I在 与 123B的外接圆的根轴上，即 ,PQ三点共线。2、对任意实数 zyx,，试证： ).9(6132)9(6 2222 zyxyzxz 证明：当 yx时，所证不等式显然成立.当 z,不全为零时， ,022z 将所证不等式可变形为.619361922zyx- 4 -令 kzyx2293 式中的 ,均可取一切实数（ zyx,不同时为零即可）.不妨取变量 作为考查对象.（1）当 0z时， 2xk，由 |22xy，得 ,21|2y即.2k（2）当 0z时，将式整理，得
4、 ,03)9()2(22 yzykxzykx可以为 0，当 k时，不等式显然成立；当 k时，因 Rx， 0，即 或 .0由 得 )39(4)2(2yzkyzy.11)41(2 zk当 k时，不等式显然成立； 当 2时， .0,Ry.0)9(4)()2( 2 kzkz即 ,3113162kz ,162z)()4()(2k即 .06931k解得： ，k369或.690k同理，由 0，得 0)91(4)124()1( 222 kzykzyk ，对任意实数 y都满足的充要条件是： .)()()(,0222 解得 .031k综合以上，可得 k的取值范围是： .691691k由此可得 .326192zyx
5、 即所证不等式成立.3、设 n是正整数，我们说集合1，2，2 n的一个排列（ nx21, ）具有- 5 -性质 P，是指在1，2，2 n1当中至少有一个 i，使得 .|1nxii求证，对于任何n，具有性质 P的排列比不具有性质 P的排列的个数多.（1989，第 30届 IMO试题 6）【证明】设 A为不具有性质 P的排列的集合，B 为具有性质 P的排列的集合，显然)!.2(|nB为了证明 |，只要得到 )!2(1|n就够了.使作容斥原理.设( x1, )中, k与 n相邻的排列的集合为 .,kA则!|Ak 1,)!2(|2jxAjk 由容斥原理得)!2(4|1 nCBnjkjnk= )!2()
6、!2( n )!2(1)!(1n4、 （普特南竞赛题）求方程 |1rspq的整数解，其中 qp,是质数， sr,是大于 1的正整数，并证明你所得到的解是全部解. 解析：容易看到两个质数中肯定有一个为 2，不妨假设 2， |rs，即21rsq。若 21rsq，从余数去讨论， 3(mod4)q， 为奇数。2()rss，所以122rrs，1111()2srsrsrr，提取公因数，有 1111()(2)22rrsrsrs ，从奇偶性可以看出这种情形方程无解。 rsq为偶数，注意到 12(1)rs sqq 。122rrsq， 11111() 22srsrsrrrs ，令 uv， 11111() 2()srsrsrrurvv ，观察最后两项，只能 1r， 3q， ，从而 3综上，考察到对称性，原方程恰有两组解：3,2,23, ,. .ppqqorrss- 6 -
