1、比较二次根式大小的巧妙方法一、移动因式法 将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例 1：比较 的大小。解： 二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例 2：比较 与 的大小。 解： ， 0， 0 三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。例 3：比较 与 的大小。 解： 四、分子有理化法 此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。例 4：比较 与 的大小解： 五、求差或求商法求差法的基本思路是：设 为任意两个实数，先求出 与 的差，再根据“当0 时， ；当
2、时， ；当 0 时， ”来比较 与的大小。求商法的基本思路是：设 为任意两个实数，先求出 与 的商，再根据“同号：当 1 时， ； 1 时， ； 1 时， 。 异号：正数大于负数” 来比较 与 的大小。例 5：比较 的大小。解： 例 6：比较 的大小。 解： 1 六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。例 7：比较 的大小。 解： 七、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。例 9：比较 与 的大小。 解：设 ，则： 1， 1， 九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的
3、取值范围，从而达到比较大小的目的。 例 10：比较 的大小。解：设 ， ，7 8，即 7 8，8 9，即 8 9 ，即 例 11：比较 与 的大小。解： 十、“结论”推理 通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“ （ 0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例 12：比较 1 与 的大小。解： ，由 （ 0）可知：即 又 ，即 1总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。附：“ （ 0）”的证明。 证明： ， ， （ 0）
