1、1STF E CA BDA1C1B1D1 QPRCA1 D BAC1B1D1 QPRMIC1B1D1CA1DBA PQR几何体中的的截面问题1定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与几何体表面的交集(交线) 叫做截线此平面与几何体的棱的交集( 交点)叫做截点2作多面体的截面方法(交线法) ：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面题型一、截面的形状1P、Q 、R 三点分别在直四棱柱 AC1 的棱 BB1、CC 1 和 DD1 上，试画出过 P、Q、R三点的截面1 解答：(1)连接 QP、QR 并延长，分
2、别交 CB、CD 的延长线于 E、F . (2)连接 EF 交 AB 于 ，交 AD 于 S(3)连接 RS、TP 。则多边形 PQRST 即为所求截面。2已知 P、Q、R 分别是四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的棱 CD、DD 1 和 AA1 上的点，且QR 与 AD 不平行，求作过这三点的截面C1B1D1 CABDA1PQR2 解答： (1)连接 QP 并延长交 DA 延长线于点 I。(2)在平面 ABCD 内连接 PI 交 AB 于点 M。(3)连接 QP、RM 。则四边形 PQRM 即为所求。注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。若面上只
3、有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。3一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是A CB D23 答案：D解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选 D。题型二、截面面积、长度等计算4过正方体 的对角线 的截面面积为 S，S max 和 Smin 分别为 S 的最1CBA1BD大值和最小值，则 的值为 ( )minaxSA B C D2326323624 答案： C解析：设 M、N 分别为 AA1、CC 1 的中点.易证截面 BMD1N
4、 是边长为 的菱形(正方体棱52长设为 1),其面积 S(min)= . 而截面 BB1D1D 是矩形,其面积 S(max)= 625. 如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的内切球，则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 5 答案： 解析：平面 ACD1 是边长为 的正三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD1 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，ACD 1 内切圆的半径是 tan30= ，则所求的截面圆的面积是 = 6已知球的半径为 ，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长2为 ，则两圆的
5、圆心距等于（ ）2A B C D1326 答案：C解析： 与 的公共弦为 AB，球心为，AB 中点为 C，O2则四边形 为矩形，112|,O|,A所以 2|, 3A7已知正四棱锥 PABCD 的棱长都等于 ,侧棱 PB、 PD 的中点分别为 M、 N，则截面a 23AMN 与底面 ABCD 所成二面角大小的正切值为 7 答案： 12解析：过 A 在平面 ABCD 内作直线 ，连接 AC,BDlBD交于 O，连接 PO，MN记 PO、MN 交于 O因为PB、PD 的中点分别为 M、N ，所以 MN/BD，因为，所以 ， ，所以 平面 AMN ， lBDlll平面 AMN平面 ABCD易知 即为面
6、 AMNOA与底面 ABCD 所成二面角的平面角 221tan42AOPa8如图，正方体 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 上的动点，1ABCD 1C过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_当 时，S 为四边形02Q当 时，S 为等腰梯形1当 时，S 与 的交点 R 满足34C1D13C当 时，S 为六边形Q当 时，S 的面积为1628答案： 解析： .CQDTPAQTD22/1 且， 则相 交 于设 截 面 与对， ,则 所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.时当 20.CQ10对, ，截面S为四边形 截面 =时当 重 合与 .,11AP所
7、 以S为等腰梯形. 所以为真.对, 所时当 43 .3.21,3,41 1RCTD利 用 三 角 形 相 似 解 得以为真.对, .截面S与线段 相交，所以四边形S为五边2 ,时当 CQ11,A形.所以为假.对, .对AGPCD1111, 即 为 菱 形相 交 于 中 点与 线 段截 面重 合与时 ，当 4角线长度分别为 所以为真.2632的 面 积 为，和 S9如图， 为正方体。任作平面 与对角1DCBA线垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得CA到的截面多边形的面积为 S，周长为 .则（ ）lAS 为定值， 不为定值 BS 不为定值， 为定值l lCS 与 均为定值 DS 与 均
8、不为定值9 答案:B解析:将正方体切去两个正三棱锥 与 后，得到一个以平行平面ABDC与 为上、下底面的几何体 V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边ABDC形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱 剪开，展平在一AB张平面上，得到一个平行四边形 ，而多边形 W 的周界展开后便成为一条与1平行的线段（如图中 ） ，显然 ，故 为定值。1 1E1AEl当 位于 中点时，多边形 W 为正六边形，而当 移至 处时，W 为正三角形，EAB A易知周长为定值 的正六边形与正三角形面积分别为 与 ，故 S 不为定值。l 234l26l题型三、截面图形的计数10设四棱锥
9、 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得截面四PABCD边形是平行四边形, 则这样的平面 ( )A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个10 答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n ，直线 m、n 确定了平面 ，作与 平行的平面 与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面 有无数多个11过正四面体 的顶点 做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面ABC成 角，问这样的截面可作几个？BD75511 答案：6 个解析：可以证明正四面体的棱、侧面与底面成角均小于 75 度，这样过顶点与底面成 75 度角，且平行与底面一条边
10、的 截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是 6 个。题型四、截面图形的性质12如图 4，在透明的塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1 容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： 水的部分始终呈棱柱状； 水面 EFGH 的面积不改变； 棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行； 当容器倾斜到如图 4（2）时，BE BF 是定值；其中正确的命题序号是_12 答案：解析 当长方体容器绕 BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故正确；在转动过程中 EH/FG，但 EH 与 FG的距离 EF 在变，所以水面 EFGH
11、的面积在改变，故错误；在转动过程中，始终有 BC/FG/A1D1，所以 A1D1/面 EFGH，正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图 5（2） ，因为 是定值，又 BC 是定值，所以BCFEV2水BEBF 是定值，即 正确。13有一容积为 1 立方单位的正方体容器 ABCD-A1B1C1D1，在棱 AB、BB 1 及对角线 B1C 的中点各有一小孔 E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是A B C D287248713 答案：C解析：本题很容易认为当水面是过 E、F、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图 6（1） ，最大值为 立方8712V单位,这是一种错误的解法，
12、错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图 6（2）EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为 1314(08 年江西)如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 升a水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒置，水面也恰好过点 （图 2） 。有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半AB CHA1B1 C1D1EF GDAB CDA1B1 C1D1E F GH图 4（2）图 4（1）C1A BCDA1D1B1E GF图（2）C1A BCDA1D1B1EGF图（1）PP图 12图6B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 PC任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D若往容器内再注入 升水，则容器恰好能装满a其中真命题是： 14 答案：BD解析： 升水对应的体积为 ，则正四棱锥的体积 ，正四棱柱的体积为aV2V52V容器的盛水量为 易知所盛水的容积为容器容量的一半，故 D 正确，于是 A 错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点 P，故 B 正确；C 的错误可由图 1 中容器位置向右边倾斜一些可推知点 P 将露出水面。
