1、函数方程思想的应用举例函数方程思想是中学数学中最基本、最重要的数学思想，也是历年高考的重点。函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学问题。具体来说，即先构造函数，把给定问题转化为研究辅助函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、图象的交点个数、最值、极值等）问题，研究后得出所需要的结论。函数方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题。通过解方程（或方程组）或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决。函数与方程思想是密切相关的，函数，当 时，就转化为方程 或看作方程 ；而方程 的解是函数 图象与 x 轴交点的横坐标。函数与不等式也可以相互转化，对函数 ，当 时，就是不等式 ，而求 的
2、解则可比较 函数图象位置而得到。一. 构造函数思想例 1. 证明不等式分析：由所证不等式很容易想到比商法，但 a、b 的正负无法确定，即使分类后，当 a、b 都为正数时，其商 也无法与 1 比大小，思路受阻。再观察不等式两边形式类似，稍加变形即为 ，即可联想到函数 ，就只需证 了，利用函数单调性，问题得以巧妙解决。解：令在 上，则 在 上为增函数则 ，即所以 。点评：应用函数性质证明不等式，关键在于构造一个适当的函数，且能方便地判断函数的有关性质。例 2. 已知 ，对于 值域内的所有实数 m，不等式恒成立，求 x 的范围。分析：我们习惯上把 x 当作自变量，构造函数 ，于是问题转化为：当时，
3、恒成立，求 x 范围，但要解决这个问题要用到二次函数以及二次方程的区间根原理。相当复杂。而如果把 m 看作自变量，x 视为参数，原不等式化为 ，构造函数为 m 的一次函数，在 上恒大于 0，这样就非常简单。解：因为 ，所以 ，即原不等式可化为 恒成立，又所以 ，令 为 m 的一次函数，问题转化为 在 上恒大于0 的问题。则只需解得 或即 。点评：注意到本题有两个变量 x、m，且 x 本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为 m 的一次函数，大大简化了运算。在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，重新构造函数。二. 构造方程思想例 3. 已知 ，则有（ ）A. B. C
4、. D. 分析：原式变为 ，则 是实系数一元二次方程 的一个实根，故，故选 C。点评：通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程思想使问题迎刃而解。例 4. 已知 ，且 ，则 a 的范围为_。解：由 平方得又 ，则 ，由此得到启示 与 都可用 a 表示，故 b、c 是关于 x 的一元二次方程 的两根。故解得 。点评：当问题出现两数积与这两数和时，是构造一元二次方程的明显信号，构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决。三. 函数方程统一思想例 5. 已知三次方程 恰有三个相异实根，求实数 m 的范围方程 的根，即函数 图象与 x 轴交点横坐标，由题意函数 应与 x 轴有三个不同产点，因三次曲线连续且光滑，故只需函数极大值与极小值异号即可。解：令则令 ，得为使 与 x 轴交于不同的三个点。只须即 。点评：方程函数互相转化，为得到方程根的情况，用函数图象特点，特别用导数法求得极值点，用限制极值的方法使图象穿 x 轴三次，问题解决。利用函数图象交点个数及交点位置，使方程满足其根的某限制条件，是最常见的方程与函数统一的思想，借助图象特点，能直观又准确地看到方程根的情况.
