1、第 - 1 - 页 共 8 页华中师大一附中 20152016 学年度第一学期期中检测高二年级数学(理科)试题一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的1直线 为参数)的倾斜角为ttyx(70sinco3A B C D270101602双曲线 的焦点到渐近线的距离为142xA B2 C D633方程 表示的圆)0(2ayxyxA关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于直线 对称 D关于直线 对称0x4两圆 与 的位置关系是36)()4(22yx102yxA相离 B相交 C外切 D内切5当 时,曲线 与曲线 有相同的3k2
2、2k123yxA焦点 B准线 C焦距 D离心率6若过点 的直线与圆 有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是),(P42yxA B C D),03,06,03,0(7若双曲线 与直线 无公共点,则离心率 的取值范围是21(,)xyabxyeA B C D,1( )2,( 2,1( )2,1(8若椭圆的中心在原点,一个焦点为 ,直线 与椭圆相交所得弦的中点的纵),0(F73xy坐标为 1,则这个椭圆的方程为A B C D206yx 162yx182yx128yx9与圆 和圆 都相切的圆的圆心轨迹是1yx078xyA椭圆 B椭圆和双曲线的一支 第 - 2 - 页 共 8 页C双曲线和一条直线(去掉几
3、个点) D双曲线的一支和一条直线(去掉几个点)10过抛物线 的焦点 F 作斜率为 1 的直线,交抛物线于 A、B 两点,若xy42,)1(FBA则 等于A B C D213153211若所有满足 的实数 x, y 均满足)0,(| baybxa212yx,则 的取值范围为A B C D),1 ),12,0(12 如图,在等腰梯形 ABCD 中,ABCD,且 AB=2AD,设, ,以 A、B 为焦点且过点 D 的双曲DB)2,0(线的离心率为 ,以 C、D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心1e率为 ,则22A随着 角的增大而增大 B随着 角的增大而减小C为定值 1 D为定值 2二、填空题:本大题共
4、 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13在极坐标系中,经过点 且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 )3,(14在平面直角坐标系中,已知ABC 顶点 和 ,顶点 B 在椭圆 上,)0,4(A),(C1925yx则BCAsin15直角ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 上,且斜边 AB 和 y 轴平行,则ABCxy42斜边上的高的长度为 16已知椭圆 的右焦点为 ,设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两)0(12bayx )0,1(F点,AF 的中点为 M,BF 的中点为 N,原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上若直线 AB 的斜率k 满足 ,则椭圆离心率 e的取值范围为 30三、解答题:本大题
5、共 6 小题,共 70 分,其中第 17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17求与直线 相切于点 (3, 4),且在 y 轴上截得的弦长为 的圆的方程07yx 72第 - 3 - 页 共 8 页18已知在直角坐标系 中,曲线 为参数, ,在以 O 为极点,xOytyxC(,23,1:1)2tx 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ,曲线 sin:2 cos:3C()求 C2 与 C3 交点的直角坐标;()若 C2 与 C1 相交于点 A,C 3 与 C1 相交于点 B,求 的值|A19 为捍卫 钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权,中国派出海警 “2
6、102”、 “海警 2307”和“海警2308”海警船编队在钓鱼岛领海巡航。某日,正巡逻在 A 处的海警“2102”突然发现来自 P处的疑似敌舰的某信号,发现信号时“海警 2307”和“海警 2308”正分别位于如图所示的B、C 两处,其中 在 的正东方向相距 千米处, 在 的北偏西 30方向相距 千米处。AB6CB4由于 、 比 距 更远,因此,4 秒后 、 才同时发现这一信号(该信号的传播速度P为每秒 千米) ,试确定疑似敌舰相对于 A 的位置120已知动点 P 与两定点 、 连线的斜率之积为)0,2(A),(B41()求动点 P 的轨迹 C 的方程;()若过点 的直线 l 交轨迹 C 于
7、 M、N 两点,且轨迹 C 上存在点 E 使得四边),3(F形 OMEN(O 为坐标原点 )为平行四边形,求直线 l 的方程21已知 M 为抛物线 上一动点, 为其对称轴上一点,直线 MA)0(2pxy )0(,aA与抛物线的另一个交点为 N当 A 为抛物线的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时,OMN 的面积为 29()求抛物线的标准方程;()记 ,若 t 的值与 M 点位置无关,|1|ANMt则称此时的点 A 为“稳定点” ,试求出所有“稳定点” ,若没有,请说明理由 CBA30第 - 4 - 页 共 8 页22已知椭圆 的离心率为 ,左、右焦点分别为 E、F,椭圆上的点)0(12bayx
8、2P 满足 ,且PEF 的面积为 1,抛物线 经过点(2, 2)FEpxy()分别求椭圆与抛物线的方程;()已知 为 轴上一点,倾斜角为 的直线 交椭圆于 A、B)1(0,tQx01:myl两点,线段 AB 的中点为 M,直线 QM 交抛物线于 C、D 两点,四边形 ACBD 的面积记为S,若对任意直线 l,都存在点 Q,使得 ,求实数 的取值范围|cosQFS第 - 5 - 页 共 8 页华中师大一附中 20152016 学年度第一学期期中检测高二年级数学(理科)试题参考答案一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的1.
9、C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.D 11.A 12.C二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13. 14. 15. 4 16. cos25613e三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,其中第 17 题 10 分,18 至 22 题每题 12 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 解:由题意圆心在 上,设圆心为 ,则10xy(,1)a,解得 或 11,所以 或 ,所以圆222(7)(3)+(4)aa 27r82的方程为 或 -18xy22(1)()18xy-10 分(少一个方程扣 2 分)18. 解:(1)曲线
10、的普通方程为: ,曲线 的普通方程为:2C2303C。联立解得交点坐标为(0,0)和 -420xy(,)2分(2)将 的方程代入 解得 ,将 的方程代入 解1C230xy15t1C20xy得 ,所以 -3t12ABt12 分19. 解:以线段 的中点为原点,正东方向为 轴的正方向建立直角坐标系,则xCBPA30yxO第 - 6 - 页 共 8 页依题意得 )32,5()0,3(),(CBA, 4|PAB所以 在以 为焦点的双曲线的右支上 P、这里 ,其方程为 -4 分22bca, 1542yx)(x又 所以 又在线段 的垂直平分线上 -8 分|BB073y由方程组 解得: 即 ,由于 ,204
11、5732yx58yx( 负 值 舍 去 ) (8,53)P3APk可知 在 A 的北偏东 30方向相距 10 千米处。 -12 分P20. 解:(1) -3 分21()(2 )易知直线 的斜率不为 0,故可设直线 设 因为四l :3,lxmy12(,)(,)MxyN、边形 OMEN 为平行四边形,所以 1212( ,OENExyurr联立 ,所以223(4)3040xmyy 1234my,因为点 在椭圆上,所以121228()xym12(,)Px,解得2222113()4()()4() 4230m故直线 的方程为 或 -12 分,ml 0xyxy21. 解:()由题意2119|2MONpSA,
12、抛物线 C 的方程为 -3 分3pxy6()设 ,直线 MN 的方程为12(,)()xy, xmya联立 得 ,26ma06a02436, -5 分y2121因为 时, , 异号,又0a0a21y,第 - 7 - 页 共 8 页2221211|tAMNymyym-8 分212212 )(4)(-yt )13(364222aa所以,仅当 ,即 时,t 与 m 无关,此时 A 即抛物线 C 的焦点,即抛物线 C 对称轴03a3上仅有焦点 这一个“稳定点” -()212 分22. 解:(1)因为 , ,224PEFc22()4PEFPc, , ,又 ,解得 ,2PEFb211Sb ea2a所以椭圆方
13、程为 。抛物线方程为 。 -2xy2yx-3 分(2)1若 或 0 显然不合题意;22若 则 , ,故只考虑 时的情况 -cosScs024 分3若 ,则 ,将 代入 消 有:020m1xy2xyx,设 ,则 ,2()1my12(,)B(,)A1212,my易得 AB 中点 M 的坐标为 M ,2,将直线 QM:221212 8(1)4()()mxy m 的方程代入抛物线 有:tmt2yx第 - 8 - 页 共 8 页,设 则22()0tmyyt34(,)(,)CxyD234(),tmy,设 C、D 到直线 AB 的距离分别为 ,因为 C、D 在直线 AB 两侧,所以34t12,d2343434343412222 2234342 ()1()()11()8()()m) ymyxyxyxmdt ty ,所以2 22()()()11tt t222121212()(4)1cos()cos()tmttSABdxd等价于 ,因为对任意的 存在 使得该t24tmtt式成立,所以只需求不等式左边的最小值。令 22222222(38)(38)()(4)()()mmftt t故只需 对任意 恒成立,即 对任意238()m02()恒成立,令 则 ,因为 ,所以02u2 2238139()()48u0m,易得 的值域为(0,2) ,所以 -121u238()m分