1、第 - 1 - 页 共 8 页华中师大一附中 20152016 学年度第一学期期中检测高二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1直线 为参数)的倾斜角为ttyx(70sinco3A B C D270101602双曲线 的焦点到渐近线的距离为142xA B2 C D633方程 表示的圆)0(2ayxyxA关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于直线 对称 D关于直线 对称0x4两圆 与 的位置关系是36)()4(22yx102yxA相离 B相交 C外切 D内切5当 时，曲线 与曲线 有相同的3k2
2、2k123yxA焦点 B准线 C焦距 D离心率6若过点 的直线与圆 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是),(P42yxA B C D),03,06,03,0(7若双曲线 与直线 无公共点，则离心率 的取值范围是21(,)xyabxyeA B C D,1( )2,( 2,1( )2,1(8若椭圆的中心在原点，一个焦点为 ，直线 与椭圆相交所得弦的中点的纵),0(F73xy坐标为 1，则这个椭圆的方程为A B C D206yx 162yx182yx128yx9与圆 和圆 都相切的圆的圆心轨迹是1yx078xyA椭圆 B椭圆和双曲线的一支 第 - 2 - 页 共 8 页C双曲线和一条直线（去掉几
3、个点） D双曲线的一支和一条直线（去掉几个点）10过抛物线 的焦点 F 作斜率为 1 的直线，交抛物线于 A、B 两点，若xy42，)1(FBA则 等于A B C D213153211若所有满足 的实数 x, y 均满足)0,(| baybxa212yx，则 的取值范围为A B C D),1 ),12,0(12 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB=2AD，设， ，以 A、B 为焦点且过点 D 的双曲DB)2,0(线的离心率为 ，以 C、D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心1e率为 ，则22A随着 角的增大而增大 B随着 角的增大而减小C为定值 1 D为定值 2二、填空题：本大题共
4、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13在极坐标系中，经过点 且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 )3,(14在平面直角坐标系中，已知ABC 顶点 和 ，顶点 B 在椭圆 上，)0,4(A),(C1925yx则BCAsin15直角ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 上，且斜边 AB 和 y 轴平行，则ABCxy42斜边上的高的长度为 16已知椭圆 的右焦点为 ，设 A，B 为椭圆上关于原点对称的两)0(12bayx )0,1(F点，AF 的中点为 M，BF 的中点为 N，原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上若直线 AB 的斜率k 满足 ，则椭圆离心率 e的取值范围为 30三、解答题：本大题
5、共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17求与直线 相切于点 (3, 4)，且在 y 轴上截得的弦长为 的圆的方程07yx 72第 - 3 - 页 共 8 页18已知在直角坐标系 中，曲线 为参数， ，在以 O 为极点，xOytyxC(,23,1:1)2tx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线 sin:2 cos:3C（）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（）若 C2 与 C1 相交于点 A，C 3 与 C1 相交于点 B，求 的值|A19 为捍卫 钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出海警 “2
6、102”、 “海警 2307”和“海警2308”海警船编队在钓鱼岛领海巡航。某日，正巡逻在 A 处的海警“2102”突然发现来自 P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“海警 2307”和“海警 2308”正分别位于如图所示的B、C 两处，其中 在 的正东方向相距 千米处， 在 的北偏西 30方向相距 千米处。AB6CB4由于 、 比 距 更远，因此，4 秒后 、 才同时发现这一信号（该信号的传播速度P为每秒 千米） ，试确定疑似敌舰相对于 A 的位置120已知动点 P 与两定点 、 连线的斜率之积为)0,2(A),(B41（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）若过点 的直线 l 交轨迹 C 于
7、 M、N 两点，且轨迹 C 上存在点 E 使得四边),3(F形 OMEN(O 为坐标原点 )为平行四边形，求直线 l 的方程21已知 M 为抛物线 上一动点， 为其对称轴上一点，直线 MA)0(2pxy )0(,aA与抛物线的另一个交点为 N当 A 为抛物线的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时，OMN 的面积为 29（）求抛物线的标准方程；（）记 ，若 t 的值与 M 点位置无关，|1|ANMt则称此时的点 A 为“稳定点” ，试求出所有“稳定点” ，若没有，请说明理由 CBA30第 - 4 - 页 共 8 页22已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 E、F，椭圆上的点)0(12bayx
8、2P 满足 ，且PEF 的面积为 1，抛物线 经过点(2, 2)FEpxy（）分别求椭圆与抛物线的方程；（）已知 为 轴上一点，倾斜角为 的直线 交椭圆于 A、B)1(0,tQx01:myl两点，线段 AB 的中点为 M，直线 QM 交抛物线于 C、D 两点，四边形 ACBD 的面积记为S，若对任意直线 l，都存在点 Q，使得 ，求实数 的取值范围|cosQFS第 - 5 - 页 共 8 页华中师大一附中 20152016 学年度第一学期期中检测高二年级数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1.
9、C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.D 11.A 12.C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 14. 15. 4 16. cos25613e三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 解：由题意圆心在 上，设圆心为 ，则10xy(,1)a，解得 或 11，所以 或 ，所以圆222(7)(3)+(4)aa 27r82的方程为 或 -18xy22(1)()18xy-10 分（少一个方程扣 2 分）18. 解：（1）曲线
10、的普通方程为： ，曲线 的普通方程为：2C2303C。联立解得交点坐标为（0,0）和 -420xy(,)2分（2）将 的方程代入 解得 ，将 的方程代入 解1C230xy15t1C20xy得 ，所以 -3t12ABt12 分19. 解：以线段 的中点为原点，正东方向为 轴的正方向建立直角坐标系，则xCBPA30yxO第 - 6 - 页 共 8 页依题意得 )32,5()0,3(),(CBA， 4|PAB所以 在以 为焦点的双曲线的右支上 P、这里 ，其方程为 -4 分22bca， 1542yx)(x又 所以 又在线段 的垂直平分线上 -8 分|BB073y由方程组 解得： 即 ，由于 ，204
11、5732yx58yx（ 负 值 舍 去 ） (8,53)P3APk可知 在 A 的北偏东 30方向相距 10 千米处。 -12 分P20. 解：（1） -3 分21()（2 ）易知直线 的斜率不为 0,故可设直线 设 因为四l :3,lxmy12(,)(,)MxyN、边形 OMEN 为平行四边形，所以 1212( ,OENExyurr联立 ，所以223(4)3040xmyy 1234my，因为点 在椭圆上，所以121228()xym12(,)Px，解得2222113()4()()4() 4230m故直线 的方程为 或 -12 分,ml 0xyxy21. 解：（）由题意2119|2MONpSA，
12、抛物线 C 的方程为 -3 分3pxy6（）设 ,直线 MN 的方程为12(,)()xy， xmya联立 得 ，26ma06a02436, -5 分y2121因为 时, , 异号,又0a0a21y，第 - 7 - 页 共 8 页2221211|tAMNymyym-8 分212212 )(4)(-yt )13(364222aa所以,仅当 ,即 时,t 与 m 无关,此时 A 即抛物线 C 的焦点,即抛物线 C 对称轴03a3上仅有焦点 这一个“稳定点” -()212 分22. 解：（1）因为 ， ，224PEFc22()4PEFPc， ， ，又 ，解得 ，2PEFb211Sb ea2a所以椭圆方
13、程为 。抛物线方程为 。 -2xy2yx-3 分（2）1若 或 0 显然不合题意；22若 则 ， ，故只考虑 时的情况 -cosScs024 分3若 ，则 ，将 代入 消 有：020m1xy2xyx，设 ，则 ，2()1my12(,)B(,)A1212,my易得 AB 中点 M 的坐标为 M ，2，将直线 QM：221212 8(1)4()()mxy m 的方程代入抛物线 有：tmt2yx第 - 8 - 页 共 8 页，设 则22()0tmyyt34(,)(,)CxyD234(),tmy，设 C、D 到直线 AB 的距离分别为 ，因为 C、D 在直线 AB 两侧，所以34t12,d2343434343412222 2234342 ()1()()11()8()()m) ymyxyxyxmdt ty ，所以2 22()()()11tt t222121212()(4)1cos()cos()tmttSABdxd等价于 ，因为对任意的 存在 使得该t24tmtt式成立，所以只需求不等式左边的最小值。令 22222222(38)(38)()(4)()()mmftt t故只需 对任意 恒成立，即 对任意238()m02()恒成立，令 则 ，因为 ，所以02u2 2238139()()48u0m，易得 的值域为（0,2） ，所以 -121u238()m分
