1、1选修 4-5 不等式选讲一、课程目标解读选修系列 4-5 专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。二、教材内容分析作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的 5 个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点
2、，在内容的呈现上保持了相对的完整性整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式 6 个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到 n 个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问
3、题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修 2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些
4、特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本 P41 页，习题 3.2 第四题。排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究猜想证明应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。第四讲是“数学归纳法证明不等式”数学归纳法在选修 2-2 中也学过，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。三、教学目标要求1不等式的基本性质掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。2含有绝
5、对值的不等式理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式。3不等式的证明通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法教学札记24几个著名的不等式(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值。(2)理解掌握两个或三个正数的算术几何平均不等式并应用。(3)了解 n 个正数的均值不等式，n 维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式5利用不等式求最大（小）值会用两个或三个正数的算术几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。6数学归纳法与不等式了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用
6、数学归纳法证明简单的不等式。会用数学归纳法证明贝努利不等式。四、教学重点难点1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。五、教学总体建议1、回顾并重视学生已学知识学习本专题，学生已掌握的知识有：第一、初中课标要求的不等式与不等式组(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。(2)解简单的一元一次不等式，
7、并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题第二、高中必修 5 不等式内容：(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。(2)一元二次不等式。(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。(4)基本不等式及其应用（求最值）。第三、高中选修 2-2 推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式
8、，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。2、控制难度不拓展在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，
9、对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。教学札记33、重视不等式的应用不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过 3 个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。4、重视展现著名不等式的背景几个重要不等式大都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。特别是对于 n 元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背
10、景知识。第一讲 不等式和绝对值不等式课 题： 第 01 课时 不等式的基本性质教学目标：1 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。2 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 列子汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“
11、自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、 “电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？” 、 “用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的
12、，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(ab0) ，若再加 m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为 ，加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ，只要证 abmaa即可。怎么证呢? ab二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：教学札记40ba得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果 ab，那么 bb。(对称性)、如果 ab，且
13、 bc，那么 ac，即 ab，bc ac。、如果 ab，那么 a+cb+c，即 ab a+cb+c。推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab， cd a+cb+d、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 cb 0，那么 (n N，且 n1)nba、如果 ab 0，那么 (n N，且 n1)。三、典型例题：例 1、比较 和 的大小。)7(3x)6(4x分析：通过考察它们的差与 0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例 2、已知 ，求证： dcba, dbca例 3、已知 ab0，cd0，求证： 。四、课堂练习：1：已知 ，比较 与 的大小。xx13622：已知
14、ab0，cd0,求证： 。dbac五、课后作业：课本 第 1、2、3、4 题9P六、教学后记：课 题： 第 02 课时 基本不等式教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程： 一、知识学习：定理 1：如果 a、 bR，那么 a 2 b 2 2 ab（当且仅当 a b 时取“”号）教学札记5证明： a 2 b 22 ab（ a b） 2当 a b 时， （ a b） 20，当 a b 时， （ a b） 20所以， （ a b） 20 即 a 2 b
15、 2 2 ab由上面的结论，我们又可得到定理 2（基本不等式）：如果 a， b 是正数，那么 （当且仅当 a b 时取a b2 ab“”号）证明：（ ） 2（ ） 22a b ab a b2 ，即 aba b2 ab显然，当且仅当 a b 时， a b2 ab说明：1）我们称 为 a， b 的算术平均数，称 为 a， b 的几何平均数，因而，此a b2 ab定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2） a 2 b 22 ab 和 成立的条件是不同的：前者只要求 a， b 都是实数，而a b2 ab后者要求 a， b 都是正数.3） “当且仅当”的含义是充要条件.4）几何意义
16、.二、例题讲解：例 1 已知 x， y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x y 时，和 x y 有最小值 2 ； P（2）如果和 x y 是定值 S，那么当 x y 时，积 xy 有最大值 S214证明：因为 x， y 都是正数，所以 x y2 xy（1）积 xy 为定值 P 时，有 x y2x y2 P P上式当 x y 时，取“”号，因此，当 x y 时，和 x y 有最小值 2 .P（2）和 x y 为定值 S 时，有 xy S 2xyS2 14上式当 x=y 时取“”号，因此，当 x=y 时，积 xy 有最大值 S 2.14说明：此例题反映的是利用均值定理求最值
17、的方法，但应注意三个条件：）函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；）等号成立条件必须存在。例 2 ：已知 a、 b、 c、 d 都是正数，求证：（ ab cd） （ ac bd）4 abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由 a、 b、 c、 d 都是正数，得教学札记6 0， 0，ab cd2 abcd ac bd2 acbd abcd（ ab cd） （ ac bd）4即（ ab cd） （ ac bd）4 abcd例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3
18、，深为 3m，如果池底每1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得l240000720（ x ）24000072021600x240000720240297600当 x ，即 x40 时， l 有最小值 2976001600x因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元.评述：此题既是不等式性质在实际
19、中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.三、课堂练习：课本 P91练习 1，2，3，4.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业课本 P10习题 1.1 第 5，6，7 题六、教学后记：课 题： 第 03 课时 三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：1能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；2了解基本不等式的推广形式。教学重点：三个正数的算术-几何平均
20、不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理 3：如果 ，那么 。当且仅当 时，等号成立。Rcba, 3abccba教学札记7推广： 。当且仅当 时，等号成立。naa21nna21 naa21语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思考：类比基本不等式，是否存在：如果 ，那么 （当且仅Rcb, bc33当 时，等号成立）呢？试证明。cba二、例题分析：例 1：求函数 的最小值。)0(32xy解一： 3322 411xx 3min4y解二： 当 即 时xy63222213 633min 416上述两种做法哪种是错
21、的？错误的原因是什么？变式训练 1 的最小值。babRa)(1, 求且若由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_例 2 ：如下图，把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练 2 已知：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值由例题，我们应该更牢记 一 _ 二 _ 三 _，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定_，和定_.三、巩固练习1.函数 的最小值是 ( )0(123xyA.6 B. C.9 D.126
22、2.函数 的最小值是_22)1(4xy教学札记83函数 的最大值是（ ）)20)(24xxyA.0 B.1 C. D. 7162734.(2009 浙江自选)已知正数 满足 ，求 的最小值。zyx,zy4zyx5（2008，江苏，21）设 为正实数，求证：cba 3133abca四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业P10习题 1.1 第 11，12，13 题六、教学后记：课 题： 第 04 课时 绝对值三角不等式教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含
23、义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简单的应用。2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。1请同学们回忆一下绝对值的意义。00xx， 如 果， 如 果， 如 果几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。2证明一个含有绝对值的不等
24、式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） ，当且仅当 时等号成立， 当且仅当 时等号成立。a0.a0教学札记9ab b（2） ， （3） ， （4）2aba )0(ba那么 ?b?二、讲解新课：结论： （当且仅当 时，等号成立.）ab 0ab已知 是实数，试证明： （当且仅当 时，等号成立.）, 0ab方法一：证明:1 0 .当 ab0 时, 2 0. 当 ab0 时, 综合 10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理 1 如果 是实数，则 （当且仅当 时，等号成立.）,abab 0ab（1）若把 换为向量 情形又怎样呢？
25、,根据定理 1，有 ，就是， 。 所以，babaab。ba定理（绝对值三角形不等式）如果 是实数，则,abab 教学札记探 究 : , 之 间 的 什 么 关 系 ? |,|()|(|)2222ababab|,|()|(|)22222ababa10注：当 为复数或向量时结论也成立.ba,推论 1： 212nnaa 推论 2：如果 是实数,那么 ,当且仅当 时,c、 、 cbc ()0abc等号成立.思考：如何利用数轴给出推论 2 的几何解释？（设 A，B，C 为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，则线段 当且.CBA仅当 C 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例 3。特别的，取
26、 c0（即 C 为原点） ，就得到例 2 的后半部分。 ）三、典型例题：例 1、已知 ，求证 2,cbyax.)()(bayx证明 （1）)()()( axy，,2cyx （2）ba由（1） ， （2）得： cbayx)()(例 2、已知 求证： 。.6,4x32证明 ， ，ya,yx由例 1 及上式， 。a2注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第 10 公里和第 20 公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为 S(x)km那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)10x20四、课堂练习：1.(课本 习题 1.2 第 1 题)求证:20P ;aba 2bab教学札记
