1、第 1 页 共 12 页常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（ab）（ab）a 2b 22. 完全平方公式：（ab) 2a 22abb 2 3. 完全立方公式：（ab) 3=（ab）(a 2 ab+b2)4. 立方和差公式：a 3+b3=(a b)(a2+ ab+b2)5. amana mn amana mn (am)n=amn (ab)n=anbn二、等差数列（1）s n na 1+ n(n-1)d；2)(1n2（2）a na 1（n1）d；（3）项数 n 1；（4）若 a,A,b 成等差数列，则：2Aa+b；（5）若 m+n=k+i，则：a m+an=ak+ai ；（6）前
2、n 个奇数：1，3，5，7，9，（2n1）之和为 n2（其中：n 为项数，a 1为首项，a n为末项，d 为公差，s n为等差数列前 n 项的和）三、等比数列（1）a na 1qn1 ；（2）s n （q 1）（ （3）若 a,G,b 成等比数列，则：G 2ab；（4）若 m+n=k+i，则：a man=akai ；（5）a m-an=(m-n)d（6） q (m-n)n（其中：n 为项数，a 1为首项，a n为末项，q 为公比，s n为等比数列前 n 项的和）第 2 页 共 12 页四、不等式（1）一元二次方程求根公式：ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中：x 1= ；x 2=
3、 （b 2-4ac 0）acb42acb4根与系数的关系：x 1+x2=- ，x 1x2=（2） bab)( b2abc3)(（3） ac32 ac3推广： nnxxx.2121（4）一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。（5）两项分母列项公式： =( )(ambab三项分母裂项公式： = )2()(1)2(1amb五、基础几何公式1.勾股定理：a 2+b2=c2(其中：a、b 为直角边，c 为斜边)直角边 3 6 9 12 15 5 10 7 8直角边 4 8 12 16 20 12 24 24 15常用勾股数 斜边 5 10 15 20 25 13 26 2
4、5 172.面积公式：正方形 长方形 2aba三角形 梯形chsin1hba)(21圆形 R2 平行四边形 扇形 R2036n3.表面积：正方体6 长方体 2a)(acb第 3 页 共 12 页圆柱体2r 22rh 球的表面积4 R24.体积公式正方体 长方体 圆柱体Shr 2h 3aabc圆锥 r 2h 球134R5.若圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则它的侧面积：S 侧 r l；6.图形等比缩放型： 一个几何图形，若其尺度变为原来的 m 倍，则：1.所有对应角度不发生变化；2.所有对应长度变为原来的 m 倍；3.所有对应面积变为原来的 m2倍；4.所有对应体积变为原来的 m3倍。7.几
5、何最值型：1.平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。2.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。3.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。4.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。六、工程问题工作量工作效率工作时间； 工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率； 总工作量各分工作量之和；注：在解决实际问题时，常设总工作量为 1 或最小公倍数七、几何边端问题（1）方阵问题：1.实心方阵：方阵总人数（最外层每边人数） 2=（外圈人数4+1） 2=N2最外层人数（最外层每边人数1）4第 4 页 共 12 页2.空心方阵：方阵总人数（最外层每边人数） 2-（最外层
6、每边人数-2层数） 2（最外层每边人数-层数）层数4=中空方阵的人数。无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多 8 人。3.N 边行每边有 a 人，则一共有 N(a-1)人。4.实心长方阵：总人数=MN 外圈人数=2M+2N-45.方阵：总人数=N 2 外圈人数=4N-4例：有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？ 解：（103）3484（人）(2)排队型：假设队伍有 N 人，A 排在第 M 位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人(3)爬楼型：从地面爬到第 N 层楼要爬（N-1）楼，从第 N 层爬到第 M 层要怕 层。N八、利润问题（1）利润销售价
7、（卖出价）成本；利润率 1；成 本利 润 成 本销 售 价 成 本 成 本销 售 价销售价成本（1利润率） ；成本 。 利 润 率销 售 价（2）利息本金利率时期； 本金本利和（1+利率时期） 。本利和本金利息本金（1+利率时期）= ； 期 限利 率 ）（本 金 1月利率=年利率12； 月利率12=年利率。例：某人存款 2400 元，存期 3 年，月利率为 102（即月利 1 分零 2 毫） ，三年到期后，本利和共是多少元？”2400（1+10236） =240013672 =328128（元） 九、排列组合（1）排列公式：P mnn（n1） （n2）（nm1） ， （mn） 。 5673A（
8、2）组合公式：C P P （规定 0C1） 。 12345c（3）错位排列（装错信封）问题：D 10，D 21，D 32，D 49，D 544，D 6265，第 5 页 共 12 页（4）N 人排成一圈有 /N 种； N 枚珍珠串成一串有 /2 种。NANA十、年龄问题关键是年龄差不变；几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差十一、植树问题（1）单边线形植树：棵数总长 间隔1；总长=（棵数-1）间隔（2）单边环形植树：棵数总长 间隔； 总长=棵数间隔（3）单边楼间植树：棵数总长 间隔1；总长=（棵数+1）间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的 2 倍。（5）剪绳
9、问题：对折 N 次，从中剪 M 刀，则被剪成了（2 NM1）段十二、行程问题（1）平均速度型：平均速度 21v（2）相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间追及问题：追击距离=（大速度小速度） 追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）背离时间（3）流水行船型：顺水速度船速水速； 逆水速度船速水速。顺流行程=顺流速度顺流时间=（船速+水速） 顺流时间逆流行程=逆流速度逆流时间= （船速水速） 逆流时间（4）火车过桥型：列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度列车速度=（桥长+车长）过桥时间（5）环形运动型：反向运动：环形周
10、长=（大速度+小速度）相遇时间同向运动：环形周长=（大速度小速度） 相遇时间第 6 页 共 12 页（6）扶梯上下型：扶梯总长=人走的阶数（1 ） ， （顺行用加、逆行用减）人梯u（7）队伍行进型：对头 队尾：队伍长度=（u 人 +u 队 ） 时间队尾 对头：队伍长度=（u 人 u 队 ） 时间 （8）典型行程模型：等距离平均速度： （ U1、U 2 分别代表往、返速度）21u等发车前后过车：核心公式： ，21tT12tu人车等间距同向反向： 21ut反同不间歇多次相遇：单岸型： 两岸型： （s 表31s213s示两岸距离）无动力顺水漂流：漂流所需时间= （其中 t 顺 和 t 逆 分别代表船
11、顺溜所需顺逆 顺逆 t2时间和逆流所需时间）十三、钟表问题基本常识：钟面上按“分针”分为 60 小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及1212时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180o22 次。钟表一圈分成 12 格，时针每小时转一格（30 0） ，分针每小时转 12 格（360 0）时针一昼夜转两圈（720 0） ，1 小时转 圈（30 0） ；分针一昼夜转 24 圈，1 小时转21 圈。钟面上每两格之间为 300，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。追及公式： ；T 为追及时间，T 0为静态时间（假设时针不动，分针和时01第 7 页 共 12 页针达到条件要
12、求的虚拟时间） 。十四、容斥原理两集合标准型：满足条件 I 的个数+满足条件 II 的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数 三集合标准型： =CBACBABA 三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答1.特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形3.标数时，注意由中间向外标记三集和整体重复型：假设满足三个条件的元素分别为 ABC，而至少满足三个条件之一的元素的总量为 W。其中：满足一个条件的元素数量为 x，满足两个条件的元素数量为 y，满足三个条件的元素数量为 z，可以得以下等式：W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z十五、牛吃草问题核
13、心公式：y=(Nx)T 原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为 X注意：如果草场面积有区别，如“M 头牛吃 W 亩草时” ，N 用 代入，此时 N 代表单M位面积上的牛数。十六、弃九推断在整数范围内的+三种运算中，可以使用此法1.计算时，将计算过程中数字全部除以 9，留其余数进行相同的计算。2.计算时如有数字不再 08 之间，通过加上或减去 9 或 9 的倍数达到 08 之间。3.将选项除以 9 留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。例：1133825593 的值为（）290173434 以 9 余 6。选项中只有 B 除以 9 余 6.十七、乘方尾数第 8 页 共 12
14、页1.底数留个位2.指数末两位除以 4 留余数（余数为 0 则看作 4）例题：3724 4998 的末尾数字（）A.2 B.4 C.6 D.8解析3724 49982 24十八、除以“7”乘方余数核心口诀注：只对除数为 7 的求余数有效1.底数除以 7 留余数2.指数除以 6 留余数（余数为 0 则看作 6）例：2007 2009 除以 7 余数是多少？（）解析2007 20095 531253（31257=446。 。 。3）十九、指数增长 如果有一个量，每个周期后变为原来的 A 倍，那么 N 个周期后就是最开始的 AN 倍，一个周期前应该是当时的 。A1二十、溶液问题溶液=溶质 +溶剂 浓
15、度= 溶质溶液 溶质=溶液浓度 溶液=溶质浓度浓度分别为 a%、b%的溶液，质量分别为 M、N ，交换质量 L 后浓度都变成 c%，则 NMbac%L混合稀释型溶液倒出比例为 a 的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为 原 浓 度次 数 )1(a溶液加入比例为 a 的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为 原 浓 度次 数第 9 页 共 12 页二十一、调和平均数调和平均数公式： 21a等价钱平均价格核心公式： （P 1、P 2 分别代表之前两种东西的价格 21p）等溶质增减溶质核心公式： （其中 r1、r 2、r 3 分别代表连续变化的浓312r度）二十二、减半调和平均数核心公式： 21a二十三、余数
16、同余问题核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”注意：n 的取值范围为整数，既可以是负值，也可以取零值。二十四、星期日期问题平年与闰年判断方法 年共有天数 2 月天数平年 不能被 4 整除 365 天 28 天闰年 可以被 4 整除 366 天 29 天星期推断：一年加 1 天；闰年再加 1 天。大月与小月包括月份 月共有天数大月 1、3、5、7、8、10、12 31 天小月 2、4、6、9、11 30 天注意：星期每 7 天一循环；“隔 N 天”指的是“每（N+1)天” 。第 10 页 共 12 页二十五、循环周期问题核心提示：若一串事物以 T 为周期，且 AT=Na，那么第 A 项等同于第 a 项。二十六、典型数列前 N 项和4.2 4.3 4.7 底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121底数 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22平方 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484底数 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33平方数平方 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089立方 底数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
