1、第七讲 工程问题第 1 页 共 6 页 1第七讲 工程问题一、知识要点在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作总量=工作效率工作时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子：一件工作，甲做 10 天可完成，乙做 15 天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体，因此可以把工作量算作 1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天” ，1 天就是一个单位，因此甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，我们想求两1
2、015人合作所需时间，就要先求两人合作的工作效率 ，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作510量工作效率=6（天）.两人合作需要 6 天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算） ，可把工作量多设份额.如上题，10 与 15 的最小公倍数是30.设全部工作量为 30 份.那么甲每天完成 3 份，乙每天完成 2 份.两人合作所需天数是30（3+ 2）= 6（天）实际上我们把 这个算式，先用 30 乘了一下，都变成整数计算，就方便些.1()0510 天与 15 天，体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系 .或者说“工作量固定
3、，工作1:3:205效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是 1510=32.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也是非常实用的.根据 ，两人合作时，甲应完成全部工作的 ，所需时间是3:2（天）.31065因此，在下面例题的讲述中，我们可以采用 “把工作量设为整体 1”的做法，也可以“整数化”或“从比例角度出发” 、 “列方程”等，这样会使我们的解题思路更灵活一些.二、典型例题例 1. 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成.现在甲先做了 3 天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解析： 甲的工效：191/9 乙的工效：161/6 甲三天做了的：
4、1/9 31/3 余下的工作：1 1/3 2/3 乙需做的天数：2/3 1/64（天）例 2. 有一工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成，甲、乙两队合做 8 天后，余下的由丙队做，又做了 6 天才完成。这个工程由丙队单独做需几天完成？解析：1-（1/24+1/30 ）8=2/5 62/5=15 天例 3. 某工程先由甲单独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成，若由甲乙两人合作，需 48 天完成，现在甲先单独做 42 天，然后由乙来单独完成，那么还需要多少天？解析：某工程先由甲单独做 63 天，再由乙 单独做 28 天可以完成 ,可看成甲乙合作 28 天，甲再另外做了
5、 35第七讲 工程问题第 2 页 共 6 页 2天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84，乙的工效 为 1/48-1/84=1/112 甲先单独做 42 天，然后由乙接着做，还需(1-42*1/84)/(1/112)=56 天另一个方法：令甲每天做工程的百分比为 x，乙每天做工程的百分比为 y 则 63x+28y=1 48(x+y)=1 求得x=1/84 y=1/112 若甲独做 42 天，则完成工程的 42/84，即 1/2，剩下 1/2 由乙完成，需要 1/21/112=56 天例 4. 一项工程，甲乙两人合作 4 天后，再由乙单独做 5 天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的
6、，130甲乙单独做这项工程各需要多少天？甲单独做需 X 天，乙单独做需 y 天 4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15 甲单独做需 10 天，乙单独做需 15 天设甲单独做需 X 天，那么甲平均每天完成工程的 1/X；因为甲比乙每天多完成这项工程的 30 分之一，就是 说，乙平均每天完成 1/X-1/30；按照已知条件，甲乙合作 4 天，4/X+4*(1/x-1/30)，随后，乙单独做了 5 天，5*(1/x-1/30)，加在一起，完成了这项工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成 1/10
7、-1/30=1/15，即，乙 单独做需 15 天例 5. 一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了 3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16 天.问乙队休息了多少天？16 天中甲实际休息了 16-3=13 天甲完成了 13/20乙完成了 1-13/20=7/20需要时间：7/201/30=10.5 天所以乙休息了 16-10.5=5.5 天例 6. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要 10 天，单独完成乙工作要 15 天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要 20 天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少
8、需要多少天？解析 1：先让张某单独完成乙，李某 单独完成甲。乙 还剩 1-8/15=7/15两人合作时间为：7/15/（1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12 （天）解析 2：小李做甲工效高小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙至少需要:(1-8/15)(1/15+1/20)+8=12 天例 7. 甲、乙合做一件工作要 15 天才能完成，现在甲、乙合做 10 天后，再由乙独做 6 天，还剩下这件工作的 1/10，甲单独完成这件工作要多少天？解析： 甲乙合作 10 天，完成了： 101/152/3 乙独做 6 天完成了：12/31/107/30 乙每天完成：7/3
9、067/180 甲独做需要：1（1/15 7/180）36（天）例 8. 一项工程甲队单独做 15 天可以完成，乙队独坐 10 天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了 9 天，乙队比甲队少工作了多少天？解析：甲独做一天的工效为 1/15，乙独做一天的工效 为 1/10。合做分想：这项工程甲做了 9 天，剩下的都是由乙 队完成的。第七讲 工程问题第 3 页 共 6 页 3可以用工作总量减去甲队 9 天的工作量，求出乙 队工作量，再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间：（11/159 ）1/104（天）。所以乙队比甲队少工作天数为：945例 9.
10、甲、乙合做一件工作，合作 8 天后，乙又独做 5 天，还剩下这件工作的 1/6。已知乙单独完成这件工作要 30 天，那么甲单独完成这件工作要多少天？解析：1-1/30（8+5）-1/6=12/30=2/5 2/58=1/20 所以需要 20 天例 10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的 1/12，甲单独做 6 天，乙又单独做 10 天后，还剩下全部工作的 11/30 没有完成，甲单独完成全部工作要多少天？解析：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例 11.一项工程，甲单独完成需 12 天，乙单独
11、完成需 9 天。若甲先做若干天后乙接着做，共用 10 天完成，问甲做了几天？解析 1：当做鸡兔同笼问题处理，如果 10 天都是乙做，能完成：1/910=10/9 ，超出了：10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了：1/91/36=4 天解析 2：设甲做了 X 天 X1/12(10-X)1/91，得出 X4甲做了 4 天例 12. 一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解
12、析：设甲做了 x 天，则乙做了 3x 天，丙做了 6x 天，所以 x/12+3x/18+6x/24=1，x/2=1x=2，所以总共用了 2+3*2+6*2=20 天例 13. 一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是 20 小时、24 小时、30 小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用 12 小时完成，甲只打了多少小时？解析 1：甲、乙、丙每小时单独打出稿件的 1/20,1/24,1/30，打了 12 小时，则乙和丙分别打了全部稿件的 12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，则甲打了稿件的十分之一，(1/10)除以（1/20)=2甲打了 2 小时解析
13、2：方程法：设甲打 x 小时。则：x/20+12* （1/24+1/30）=1，可解出 X=2例 14. 一项工程甲单独完成要 30 天，乙单独完成要 45 天，丙单独完成要 90 天。现在由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作过程中甲休息了 2 天，乙休息了 3 天，丙没有休息，最后把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天？解析 1：方程法设是第 x 天完成的， (x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1 整理，得 x=17解析 2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)解释：假若甲、乙没休息，那么应该完成总工程的 1+2/30 +3/45例 1
14、5. 一项工程，甲、乙两人合做 4 天后，再由甲单独做 6 天才完成全部任务。已知甲比乙每天多完成这项工程的 1/80,则甲、乙单独完成各需多少天？解析 1：思路同第四题，设乙每天完成的工作占整个工作的 x，4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16，x+1/80=3/40，所以甲 40/3 天完成，乙 16 天完成解析 2：甲比乙多完成全部任务的：1/80* （46）1/8 （46 表示甲一共做了 10 天）1-1/8 7/8 （相当于两人均以乙的工效完成的工作量）44614（天）乙每天完成：7/8141/16，甲每天完成： 1/161/803/40 ，单独完成甲要：13/4
15、013 又 1/3（天）第七讲 工程问题第 4 页 共 6 页 4例 16. 一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60 天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解析：甲乙合作的效率=136=1/36，乙丙合作的效率=145=1/45，甲丙合作的效率=160=1/60，甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)2=1/30甲工作的效率=1/30-1/45=1/90三、练习题1. 某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？解： 天3)150(22. 某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需
16、36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？4. 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效5. 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18
17、天才完成任务。问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。第七讲 工程问题第 5 页 共 6 页 5答：甲队干了 12 天。6. 制作一批零件，甲车间要 10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要 6 天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要 8 天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件 2400 个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为 1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了 4200 个零件.解二：10 与 6 最小公倍数是
18、30.设制作零件全部工作量为 30 份.甲每天完成 3 份，甲、乙一起每天完成 5份，由此得出乙每天完成 2 份.乙、丙一起，8 天完成.乙完成 82=16（份） ，丙完成 30-16=14（份） ，就知乙、丙工作效率之比是 1614=87.已知甲、乙工作效率之比是 32= 128.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400（12- 8） 7= 4200（个）. 7. 搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同样的仓库 A 和 B，甲在A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又
19、转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是 1.现在相当于三人共同完成工作量 2，所需时间是第七讲 工程问题第 6 页 共 6 页 6答：丙帮助甲搬运 3 小时，帮助乙搬运 5 小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运 4.三人共同搬完，需要60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6 8） 4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5 8）4= 5（小时）.8.一件工作，甲独做 12
20、天完成，乙独做 18 天完成，丙独做 24 天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的 2 倍，终于做完了这件工作，求这件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程解答。设甲先做了 X 天，则乙接着做了 3 X 天，丙做了（23） X 天，由题意可得：X1/123X1/18（23）X 1/241解得：X2所以这件工作做完共用时间：2（1323）20（天） 。解法二：把甲的工效（一天的工作量） 、乙工效的 3 倍、丙工效的 6 倍合起来的工作量看作一份，总工作量里有这样的几份，甲就工作了几天，可以求出甲工作的天数为：1（1/1231/18231/24）2（天）所以这件工作做完共用时间：2（1323）20（天） 。
