1、1初三数学圆知识点一.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧简单记成：一条直线：过圆心垂直弦 平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧 以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 中任意 2ABCDE BC BD AC AD个条件推出其他 3 个结论。例 1如图，在O 中，弦
2、 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若 BAD=30，且 BE=2，则 CD= _例 2 已知O 的直径 ， 是O 的弦， ，且 ，垂足为 ，则 的长为（ C ）10CDcm8ABcmMA B C 或 D 或5c4525423c4m例 3、如 图 是 一 个 古 代 车 轮 的 碎 片 ， 小 明 为 求 其 外 圆 半 径 ， 连 结 外 圆 上 的 两 点 A、 B， 并 使AB 与 车 轮 内 圆 相 切 于 点 D， 做 CDAB 交 外 圆 于 点 C 测 得 CD=10cm， AB=60cm， 则这 个 车 轮 的 外 圆 半 径 为 例 4、如图，在 55 的正方形网格中，一条圆
3、弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是A点 P B点 Q C点 R D点 M二、圆周角定理1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：和 是 所对的圆心角和圆周角 AOB AB 2AOBC2、圆周角定理的推论：推论 1：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角所对的弦直径90推论 2：圆内接四边形的对角互补；由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；简记
4、：在同圆或等圆中，弦圆心角弧中只要一个相等，其它两个也相等。例 1、如图，已知 A、B、C 三点在O 上，ACBO 于 D，B=55，则BOC 的度数是 70 例 2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）OE DCBAD CBAO2A B C D例 3、如图， ABCD 的顶点 A、B、D 在0 上，顶点 C 在0 的直径 BE 上，连接AE，E=36 0，则ADC=( ) A,44 0 B54 0 C72 0 D53 0学生练习：3三、与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系：设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点在圆内 _；点在圆上 _； 点在圆外_2直线与圆的
5、位置关系：如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，那么：（1）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r；（2）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的_，公共点叫做_，此时 d_r（3）直线和圆有_个公共点时，叫做直线与圆相离，此时 d_r3.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端 是 的切线MNOAAMNO（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2
6、：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线 平分PABPABOPA例 1.已知O 的半径为 3,A 为线段 PO 的中点,则当 OP=6 时,点 A 与O 的位置关系为( )A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定2.O 的半径为 6,O 的一条弦 AB 长为 3 ,以 3 为半径的同心圆与直线 AB 的位置关系是( )A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定3.
7、如图所示,O 的外形梯形 ABCD 中,如果 ADBC,那么DOC 的度数为( )A.70 B.90 C.60 D.454.如图所示,PA 与 PB 分别切O 于 A、B 两点,C 是 上任意一点,过 C 作O 的切线,交 PA 及APB 于 D、E 两点,若 PA=PB=5cm,则PDE 的周长是_cm.5、如图 ，在平面直角坐标系 中，半径为 的 的圆心 的坐标为 ，将 沿 轴2xOy2P(3,0)Px正方向平移，使 与 轴相切，则平移的距离为PA1 B1 或 5 C3 D5 6、如图，RtABC 中，ABC=90，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连
8、接DE（1）求证：DE 是半圆O 的切线（2）若BAC=30 ，DE=2 ，求 AD 的长NM AOPBAODC(第 6题 )BAO47如图，在ABO 中，OA=OB ， C 是边 AB 的中点，以 O 为圆心的圆过点 C（1）求证：AB 与O 相切；（2）若AOB=120，AB=4 ，求O 的面积8.如图所示,点 I 是ABC 的内心,AI 的延长线交边 BC 于点 D,交ABC 外接圆于点 E.(1)求证:IE=BE;(2)若 IE=4,AE=8,求 DE 的长.9、已知点 M， N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点 P 是抛物线 214yx上的一个动点（1）求证：以点 P 为
9、圆心， PM 为半径的圆与直线 1y的相切；（2）设直线 PM 与抛物线 24yx的另一个交点为点 Q，连接 NP， NQ，求证： NMQICAEDB5练习：8、如图，直线 l 与半径为 4 的O 相切于点 A，P 是O 上的一个动点（不与点 A 重合） ，过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接PA设 PA=x，PB=y，则（xy）的最大值是 2 9、已知ABC 内接于 O，过点 A 作直线 EF（1）如图所示，若 AB 为O 的直径，要使 EF 成为O 的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： BAE=90 或者 EAC=ABC （2）如图所示，如果 AB 是不过圆心 O 的弦，且C
10、AE=B，那么 EF 是O 的切线吗？试证明你的判断四.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式周周周周周周周周 C1D1DCBA61、扇形：（1）弧长公式： ；（2）扇形面积公式： 180nRl21360nRSl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRl2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图： =2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： 2Vrh3、圆锥侧面展开图（1） = （2）圆锥的体积：侧表 底 Rr213Vrh4、正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是
11、对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似。5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆) 的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正 n 边形的有关计算公式； nn0036182)1( ）（每 个 内 角 n036每 个 外 角（2） ， ，Rasi边 形 边 长正 Rr18cos内 切 圆 半 径 an边 形 周 长正(3) rS002iP2边 形 面 积正注意：同一个圆的内接正 n 边形和外切正 n 边形是相似形，相似比是圆的内接正 n 边形边心距与它的半径之比 。n018cos
12、这样，同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相似比 018cos例 1、一个圆锥的侧面展开图是半径为 8cm、圆心角为 120的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（ ） A cm B cm C cm D cm83163343例 2、已知圆的半径是 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）2（A） （B） （C） （D）91864、如图，O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a，半径为 R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）A R2r2=a2 Ba=2Rsin36 Ca=2rtan36 Dr=Rcos365、如图,O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 5，ACB 的平分
13、线交O 于点 D.（1）求弧 BC 的长；（2）求弦 BD 的长.B1RrC BAO76.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，通常用 G 表示(4)垂心：是三角形三边高线的
14、交点例 1、 ABC 中，AB=AC=10，BC=12 ，则 ABC 的外接圆半径是 .外 切 圆 半 径 为 7.辅助线总结圆中常见的辅助线1） 作半径，利用同圆或等圆的半径相等2） 作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3） 作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4） 作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线
