1、分式方程应用题分类讲解与训练一、 【行程中的应用性问题】例 1 甲、乙两个车站相距 96 千米，快 车和慢车同时从甲站开出， 1 小时后快车在慢车前12 千米，快车比慢车早 40 分钟到达乙站，快 车和慢 车的速度各是多少？分析：所行距离 速度 时间快车 96 千米 x 千米/小时慢车 96 千米 （x-12）千米 /小时等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）例 2 甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的 1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早 4h到达乙地，求两车的平均速度分析：这是一道实际生活中的行程
2、应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程 = 速度 时间 ，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等解：设普通快车车的平均速度为 xkmh，则直达快 车的平均速度为 1.5 xkmh，依题意，得 x682= 5.18，解得 46，经检验， 4是方程的根，且符合题意 6， .9，96x12406即普通快车车的平均速度为 46kmh，直达快 车的平均速度 为 69kmh评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要 检验其是否为所列方程的解
3、，要要检验是否符合题意，即 满足实际意义例 3 A、B 两地相距 87 千米，甲骑自行车从 A 地出发向 B 地驶去，经过 30 分钟后，乙骑自行车由 B 地出 发，用每小 时比甲快 4 千米的速度向 A 地驶来，两人在距离 B 地 45 千米 C 处相遇，求甲乙的速度。分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）例 4 一队学生去校外参观他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍若 骑车 的速度是队伍行进速度的 2 倍， 这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为 x
4、千米时，骑车速度为 2x 千米时，依题意，得： 方程两边都乘以 2x，去分母，得 所行距离 速度 时间甲 （87-45）千米 x 千米/小时乙 45 千米 （x+4）千米 /小 时3068745x430-15x， 所以，x15 检验：当 x15 时， 2x2150 ，所以 x15 是原分式方程的根，并且符合 题意 ，骑车追上队伍所用的时间为 30 分钟例 5 农机厂职工到距工厂 15 千米的生产队检 修农机，一部分人骑自行车先走，40 分钟后，其余的人乘汽车出发， 结果他们同时到达，已知汽 车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度解： 设自行车的速度为 x 千米/小时，那么汽 车的速度为 3x
5、 千米/小时，依题意，得：解得 x15经检验 x15 是这个方程的解当 x15 时， 3x 45即自行车的速度是 15 千米/小时，汽 车的速度为 45 千米/ 小时例 6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1 小时后分别到达各自的终点 A 与 B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B，求甲与乙的速度之比。分析：等量关系：甲走 OB 的时间-乙走 OA 的时间=35 分钟1. 、电力维修工要到 30 千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15 分钟后， 抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的 1.5 倍，求这两
6、种车的速度.2. 乙两辆汽车同时分别从 A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城.已知 A、C 两城的距离为 450千米，B 、C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/时，结果两辆车同时到达C 城.求两车的速度.3某人往返于 A、B 两地，去时先步行 2 千米，再乘汽车行 10 千米，回来时骑自行车，来回所用 时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走 16 千米，步行又比 骑车每小 时少走 8 千米. 若来回完全乘汽车能节约多少时间？4注意：为了使同学们更好地解答本 题，我 们提供了一种解 题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程如果你选 用其他的
7、解题方案，此 时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求， 进行解答即可天津市奥林匹克中心体育场“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年 级学生由距“水滴”10 千米的学校出发前往参观，一部分同学 骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车 同学速度的 2 倍，求 骑车同学的速度（）设骑车同学的速度为 x 千米/ 时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米时） 所用时间（时） 所走的路程（千米）骑自行车 x 10乘汽车 10（）列出方程（组），并求出问题 的解5.2008年初我国南方发生雪灾
8、，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。6甲、乙两同学玩“ 托球赛跑 ”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线 l起跑， 绕过 P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”根据图文信息， 请问哪位同学获胜？7、某客车从甲地到乙地走全
9、长 480Km 的高速公路，从乙地到甲地走全长 600Km 的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的 时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客 车由高速公路从甲地到乙地所需要的 时间。P30 米l8、从甲地到乙地的路程是 15 千米， A 骑自行车从甲地到乙地先走，40 分钟后，B 骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知 B 的速度是 A 的速度的 3 倍，求两 车的速度。9、我军某部由驻地到距离 30 千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的 1.5倍，才能按要求提前 2 小时到达，求急行军的速度。
10、10、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头 24 千米，我部队离桥头 30 千米，我部队急行军速度是敌人的 1.5 倍，结果比敌人提前 48 分钟到达，求我部 队的速度。二、 【工程类应用性问题】例 1 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作 2 天后，由乙队单独做 1 天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？分析：等量 关系：甲单独做所需时间一天的工作量 实际做时间 工作量甲x 天 2 天乙（2+1）天1132x天 1x32队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1例 2 甲、乙两个学生分别向计算机输入 1500 个汉字，乙的速度是甲的
11、3 倍，因此比甲少用 20 分钟完成任务，他 们平均每分钟输入汉字多少个？分析：输入汉字数 每分钟输入个数 所需时间甲 1500 个 x 个/分乙 1500 个 3x 个/分等量关系：甲用时间=乙用时间+20 （分钟）例 3 某农场原计划在若干天内收割小麦 960 公顷，但实际每天多收割 40 公顷，结果提前 4 天完成任务，试求原计 划一天的工作量及原计划的天数。分析 1：工作总量 一天的工作量 所需天数原计划情况960 公顷 x 公顷实际情况 960 公顷 （x+40）公 顷等量关系：原计划天数=实际天数+4 （天）150x3960x9604x分析 2： 工作总量 所需天数 一天的工作量原
12、计划情况960 公顷实际情况 960 公顷 4960x等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）例 4 某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两 队共 8700 元，乙、丙两队合做10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 9500 元，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的 32，厂家需付甲、丙两队共 5500 元求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量对于工期，一般情况下把整个工作量看成 1，设出甲、乙、丙各队完成 这项工
13、程所需时间分别为 x天， y天， z天，可列出分式方程组解：设甲队单独做需 x天完成，乙队单独做需 y天完成，丙队单独做需 z天完成，依 题意可得： 16()0125()3xyzx， ， x天(4)x天 960x 61 0 51，得 x y z1= 5 ，得 z= 3，即 z = 30， 10，得 x= ，即 x = 10， 5，得 y= ，即 y = 15经检验，x = 10，y = 15，z = 30 是原方程组的解设甲队做一天厂家需付 a元，乙队做一天厂家需付 b元，丙队做一天厂家需付 c元，根据题意，得 6()870195abc， ， 80653bc，由可知完成此工程不超过工期只有两个
14、队：甲队和乙队此工程由甲队单独完成需花钱 108a元；此工程由乙队单独完成需花钱 15970b元所以，由甲队单独完成此工程花钱最少评析：在求解时，把 x， y， z分别看成一个整体，就可把分式方程 组转化为整式方程组来解例 5 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？ 解： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为 x 天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x 3)天.设工程总量为 1，甲的工作效率就是 ，乙的工作效率是 ，依题意，得，解得 即规定日期是 6
15、 天例 6 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解： 设教师乙每分钟能输入 x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入 2x 名学生的成绩，依题意，得：， 解得 x11 经检验，x11 是原方程的解，且当 x11 时，2x22，符合题意即教师甲每分钟能输入 22 名学生的成绩 ，教师乙每分钟能输入 11 名学生的成绩例 7 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小 时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？分析：甲每小时做 x 个零件，做 90 个零件所用的时间是(90 x) 小时， 还可用式子 小90x时来表示。乙每小时做(x-6)个零件，做 60 个零件所用的时间是 60(x-6) 小时，还可用式子小时来表示。 60x等量关系：甲所用时间=乙所用时间 1、一台甲型拖拉机 4 天耕完一 块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1 天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？
