1、1函数的概念一：定义：设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应， 那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)，xA. 其中，x 叫做自变量，与 x 值相对应的 y 值叫做函数值.例题：1、下列各曲线中，不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）A、 B、 C、 D、二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf解：设 ，则ba0baxxfxf 2)()(342ba31b 或 2)(1)(
2、xfxf 或 的 解 析 式 。） ， 求，） 和 （） ， （，过 点 （： 已 知 二 次 函 数例 )(1-20,2 xfx)3(1)( 34)(4124039),()( 22xaxf xfcbacbcxf法 二 ： 设 解 得由 题 得 ：解 ： 设二、配方法：例 2 已知 ，求 的解析式2)(f )0()fx解： ， 1xx212)(x2三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，要注意所()fgx()fx换元的定义域的变化。例 3 已知 ，求xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2txxf)(,1)(212ttt)(xfx)22)0(四、代入
3、法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例 4 已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式)(2gyxy与 )3,2()(xg解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点),(xM)(,yxMx3,2则 ，解得： ，32yyx64点 在 上 ),(x)(gy2把 代入得：x64)()(2xy整理得 76)(2xxg五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例 5 设 求,)1(2)(xfxff 满 足 )(f解 x显然 将 换成 ，得：,0x3 xfxf1)(21解 联立的方程组，得：f3)(例
4、6 设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式x)(xg,1)(xgxf )(xgf和解 为偶函数， 为奇函数，)(f )(,(又 ，1xgx用 替换 得： 1)(xgf即 )(xf解 联立的方程组，得， 1)(2xf xg2)(六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例 7 已知： ，对于任意实数 x、y，等式 恒成立，求)0(f )12()(yxfyxf )(xf解 对于任意实数 x、y，等式 恒成立，12)(ff不妨令 ，则有 )(0) 2yyyy再令 得函数解析式为：xy)(2xf七、递推法
5、：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例 8 设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有 ，)(xfN1)(f ba, abfbf )()(求解 ，bafbaf ,)()(，不妨令 ，得： ，1,x xfxf)1()(又 1)()1(ff故分别令式中的 得：,2xn4(2)1,3(),ffnn 将上述各式相加得： ， nf32)1(321)(f Nxx,复合函数的定义一般地：若 ，又 ，且 值域与 定义域的交集不空，则函数 叫 x的复)(ufy)(xg)()(uf )(gfy合函数，其中 叫外层函数， 叫内层函数，
6、简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换u成另一个函数所得的新函数.例如: ； 复合函数 即把 里面的 换成 ，2()35,()1fxgx()fgx()fx()g2()3518fgx例 1. 已知 的定义域为 ，求函数 的定义域；()f,(3)fx解：由题意得35x2173x所以函数 的定义域为 .(2)f 1,3练 1.已知 的定义域为 ，求 )2(xf定义域。x0(，解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 1302320 xx， 或即 或x10故 )(2f的定义域为 ,0,例 2. 若函数 f3的定义域为 ，求函数 xf的定义域2解:由题意得3x6954231x
7、所以函数 的定义域为：()fx,例 3. 已知 的定义域为 ，求 的定义域。1)， 2xf解 由 的定义域为 得 ，故)(f 32，341即得 x定义域为 ，从而得到 ，所以)4， 16x故得函数 的定义域为f6,例 4. 已知函数 定义域为是 ，且 ,求函数 的定义域ba0mxffh0解: ，mxbmxa a,，又b要使函数 的定义域为非空集合，必须且只需 ，即 ，这时函数 的定义域h mba20abxh为 ,a函数的值域的求法 常用求值域方法直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通
8、过观察直接得到。例 1、求函数1,2yx的值域。例 2、 求函数 3的值域。答案：值域是： ,例 3、函数 的值域. 21xy解： 0配方法：二次函数或可转化为形如 类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况cxbffaxF)()()(2要注意 的范围 ；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。)(xf例 1、求函数25,yxR的值域。例 2、求函数 2,1,2的值域。6解：将函数配方得： 4)1x(y2 2,1x由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ymin，当 时， 8ymax故函数的值域是：4，8换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代
9、替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域例 1、求 的值域 ()1fxx解：令 ，则 ，0t2(0)t，225()1)4fxttt所以函数值域为 5，4例 2、求函数 的值域。xy21解：由 ，得 。令01x0t得 ，于是 ，因为 ，所以 。故所求函数值域为-， 。2t1212tty 0t21y12例 3、求函数 的值域. x数形结合法。例 1、 求函数 23(0)()xxf， 的值域分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函 数值的整体变
10、化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域解：作图象如图所示， ， ，(1)4ff (2)3f()0f ，(0)3f函数的最大值、最小值分别为 和 ，即函数 4 的值域为 4例 2、 求函数 22)8x()(y的值域.7解：原函数可化简得： |8x|2|y上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ， )(B间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 10|A|8x|y当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， |B|2|故所求函数的值域为： ,101、求函数 的值域. 3yx2、求函数 的值域. 31yx均值不等式法：例 1、求函数 的值域)1(22xy解：原函数
11、可化为 )1(22 xx当且仅当 时取等号，故值域为0x,例 3、 求函数 32y的值域。解：令 )0t(xt，则 1tx2（1）当 t时， t1ty2，当且仅当 t=1，即 1x时取等号，所以 21y0（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为： 2,0注：先换元，后用不等式法8根判别式法：对于形如 （ ， 不同时为 ）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于2112axbcya20的一元二次方程（二次项系数不为 时） ，通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值x0域对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简例
12、 1、求函数 的值域 21xy解：原函数化为关于 的一元二次方程 2(1)10yxy（1）当 时， ， ，解得 ；yxR24 32y （2）当 时， ，而 031，故函数的值域为 32，1、求函数 的值域 . 581xy分离常数法：例 1、求函数 的值域21xy解： 2()xxxy， ， ， ，0x 1x 12x 021x2x函数的值域为 ()，求 的值域 .1xy解：（利用部分分式法）由 ，可得值域1232xxy 1y9小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为)0(cdxbay；cay如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 ，
13、用复合)(bcadcxby函数法来求值域。倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 1、求函数23xy的值域.20111220时 ，时 ， =0xyxyyxy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。【例题综合分析】例 1、求下列函数的值域：（1） ； （2） ； （3） ；23yx265yx12xy（4） ； （5） ； （6） ；1|4|（7） ； （8） ； （9）21xy2()xy1sin2coxy解：（1）法一：公式
14、法（略）法二：（配方法） ，22133()6yxx10 的值域为 23yx23,)1【拓展】求函数 ， 的值域yx,x解：（利用函数的单调性）函数 在 上单调增，23y1,3x当 时，原函数有最小值为 ；当 时，原函数有最大值为 1x426函数 ， 的值域为 23y1,x,6（2）求复合函数的值域：设 （ ） ，则原函数可化为 25x0y又 ， ，故 ，265(3)4xx40,2 的值域为 y0,2（3） （法一）反函数法： 的反函数为 ，其定义域为 ，31xy213xy|3xR原函数 的值域为 12xy|R（法二）分离变量法： ，31(2)732xyx ， ，702x72函数 的值域为 31y|yR（4）换元法（代数换元法）：设 ，则 ，10tx21t原函数可化为 ， ，2214()5()ytt5y原函数值域为 (,5说明：总结 型值域，变形： 或yaxbcd22yaxbcd2yaxbcd（5）三角换元法： ，设 ，2101xos,0,则 cosinsi()4y ， ， ，0,5,2sin(),1 ，2sin()1,24原函数的值域为 ,
