1、1巧添辅助线 解证几何题引出问题 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。例题解析一、倍角问题 例 1：如图 1，在ABC 中，AB=AC,BDAC 于 D。求证：DBC= BAC. 2分析：DBC、BAC 所在的两个三角形有公共角C，可利用三角形内角和来沟通DBC、BAC 和C 的关系。证法
2、一：在ABC 中，AB=AC，ABC=C= （180 -BAC）=90 - BAC。1212BDAC 于 D BDC=90 DBC=90 -C=90 -(90- BAC)= BAC即DBC= BAC12分析二：DBC、BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“DBC= BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把A 放在直角三角形中求解；也可以把DBC 沿 BD 翻折构造 2DBC 求解。 证法二：如图 2，作 AEBC 于 E，则EAC+C=90 AB=AC EAG= BAC1BDAC 于 D DBC+C=90 EAC=DBC（同角的余
3、角相等）即DBC= BAC。12证法三：如图 3，在 AD 上取一点 E，使 DE=CD 连接 BEBDACBD 是线段 CE 的垂直平分线BC=BE BEC=CEBC=2DBC=180 -2CAB=ACABC=CBAC=180 -2CEBC=BACDBC= BAC12说明：例 1 也可以取 BC 中点为 E，连接 DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。CABDECABDECABD2例 2、如图 4，在ABC 中，A=2B 求证：BC 2=AC2+ACAB分析：由 BC2=AC2+ACAB= AC（AC+AB） ，启发我们构建两个相似的三角形，且
4、含有边 BC、AC、AC+AB.又由已知A=2B 知，构建以 AB 为腰的等腰三角形。证明：延长 CA 到 D,使 AD=AB,则D=DBABAC 是ABD 的一个外角BAC=DBA+D=2DBAC=2ABCD=ABC又C=C ABCBDC ACBDBC 2=ACCD AD=ABBC 2= AC（AC+AB）=AC 2+ACAB二、中点问题例 3已知：如图，ABC 中，AB=AC,在 AB 上取一点 D，在AC 的延长线上取一点 E,连接 DE 交 BC 于点 F,若 F 是 DE 的中点。求证：BD=CE分析：由于 BD、CE 的形成与 D、E 两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三
5、角形，所以关系不明显，由于条件 F 是 DE 的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。由已知 AB=AC,联系到当过 D 点或 E 点作平行线，就可以形成新的图形关系构成等腰三角形，也就是相当于先把 BD 或 CE移动一下位置，从而使问题得解。证明：证法一：过点 D 作 DGAC,交 BC 于点 G（如上图）DGB=ACB, DGF=FCEAB=AC B=ACBB=DGB BD=DGF 是 DE 的中点 DF=EF在DFG 和DEFC 中，DF= EC DFGEFCDG=CE BD=CEABACBAEGDF CAB3证法二：如图，在 AC 上取一点 H,使 C
6、H=CE,连接 DHF 是 DE 的中点CF 是EDH 的中位线 DHBC ADH=B, AHD=BCAAB=AC B=BCAADH=AHD AD=AHAB-AD=AC-AH BD=HCBD=CE说明：本题信息特征是“线段中点” 。也可以过 E 作 EMBC,交 AB 延长线于点 G，仿照证法二求解。例 4如图，已知 ABCD，AE 平分BAD，且 E 是 BC 的中点求证：AD=AB+CD证法一：延长 AE 交 DC 延长线于 F ABCD BAE=F, B=ECFE 是 BC 的中点 BE=CE在ABE 和CEF 中BAE= CFABECEFAB=CFAE 平分ABDBAE=DAEDAE=
7、FAD=DFDF=DC+CFCF=ABAD=AB+DC证法二：取 AD 中点 F，连接 EF ABCD，E 是 BC 的中点EF 是梯形 ABCD 的中位线EFAB , EF= （AB+CD）12BAE=AEFAE 平分BADBAE=FAEAEF=FAEAF=EFAF=DFEF=AF=FD= AD12 (AB+CD)= ADAD=AB+CDAB CD HEFA BCEFDA BCEF4三角平分线问题例 5如图（1） ，OP 是MON 的平分线，请你利用图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。（1） 如图（2） ，在ABC 中，ACB 是直角
8、，B=60,AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F,请你判断并写出 EF 与 FD 之间的数量关系。（2） 如图（3） ，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。分析：本题属于学习性题型。这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定的方法解题。指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。解：（1）EF=FD（2）答：（1）结论 EF=FD 仍然成立理由：如图（3） ，在 AC 上截取 AG=AE,连接 FG在AEF 和AGF 中，AE=G F AEFAGFEF=G
9、F, EFA=GFA 由B=60，AD、CE 分别是BACBCA 的平分线NOFOPOAOMOEOO( 1 )DCBAEBAFBABACBAA( 2 )FEDCBAEDCBADCBABACBAA( 3 )5可得FAG+FCA=60EFA=GFA=DFC=60GFC=60在CFG 和CFD 中GFC= DE ACFGCFDFG=FD 又因为 EF=GFEF=FD说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。解法二：（2）答（1）中的结论 EF=FD 仍然成立
10、。理由：作 FGAB 于 G,FHAC 于 H,FMBC 于 MEAD=DAC FG=FHACE=BCE FH=FG B=60 DAC+ACE=60EFD=AFC=180- 60=120在四边形 BEFD 中BEF+BDF=180BDF+FDC=180 FDC =BEF在EFG 和DFM 中0FDC =BEGM9EFGDFMEF=DF四、线段的和差问题例 6 如图，在ABC 中，AB=AC,点 P 是边 BC 上一点，PDAB 于 D,PEAC 于 E,CMAB 于 M,试探究线段 PD、PE、CM 的数量关系，并说明理由。分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，
11、通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在 CM 上截取 MQ=PD，得PQMD,再证明 CQ=PE答：PD+PE=CM证法一：在 CM 上截取 MQ=PD，连接 PQ. CMAB 于 M, PDAB 于 DCMB=PDB=90CMDP四边形 PQMD 为平行四边形PQABHDCBAGDCBAMCBAFEDCBAEDCBADCBABACBAA( 3 )QAMA EADAPACABAA6CQP=CMB=90QPC=BAB=ACB=ECPQPC=ECPPEAC 于 EPEC=90在PQC 和PEC 中PQC= PQCPEC QC=PEMQ=PD MQ+QC=PD+PEPD+PE=CM分析 2：延长 D
12、F 到 N 使 DN=CM,连接 CN,得平行四边形 DNCM,再证明 PN=PE证法 2：延长 DF 到 N，使 DN=CM，连接 CN 同证法一得平行四边形 DNCM，及PNCPECPN=PEPD+PE=CM分析 3：本题中含有 AB=AC 及三条垂线段 PD、DE、CM，且 ，所以可以用面积法求解。PABCS证法三：连接 AP,PDAB 于 D,PEAC 于 E,CMAB 于 MPQC=PEC QPC=ECP PC=PC 12APBCDEAB=AC 且 ABCS120M说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。NQAMA EADAPACABAAMA EADAPACABAA7
13、FE DCBA五、垂线段问题例 7 在平行四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上一点，且 垂足分别是 E、F ,ABPC求证： ABFCE分析：将比例式 转化为等积式 ，联想到 ，P12即PAB 与PBC 的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。证明：连接 AC 与 BD 交于点 O,连接 PA、PC在平行四边形 ABCD 中，AO=COAOBCS同理， PAOBCPSA ,EF12PBSAA例 8 求证：三角形三条边上的中线相交于一点。分析：这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题，需要根据题意画出图形，再根据题意、结合图形写出已知、求证。已知：ABC 中，AF、BD、CE 是其中线。求
14、证：AF、BD、CG 相交于一点。分析：要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。证明：设 BD、CE 相交于点 G，连接 AG，并延长交 BC 于点 F,.FECBAECBADCBACBABAAPECBA8,ABDCGDGSA。作 BMAF ,于 M,CNAF ,于 N则12ABACM在BMF ,和CNF ,中FBMFCNF BFCAF ,是 BC 边上的中线又AF 时 BC 边上的中线AF 与 AF,重合即 AF 经过点 DAF、BD、CE 三线相交于点 G因此三角形三边上的中线相交于一点。六、梯形问题例 9以线段 a=16,b=13 为梯形的两底，以 c=10 为一腰，则
15、另一腰长 d 的取值范围是 分析：如图，梯形 ABCD 中，上底 b=13，下底 a=16，腰 AD= c=10，过 B 作 BEAD,得到平行四边形 ABED，从而得 AD=BE=10,AB=DE=13所以 EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰 d 的取值范围是10-3d10+3答案：7d13例 10如图，已知梯形 ABCD 中，ABDC,高 AE=12,BD=15,AC=20,求梯形 ABCD 的面积。分析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线位置交错，条件一时用不上。另外，求梯形面积只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的长，所以考虑平移腰。解：解法一：如图，过 A 作
16、 AFBD,交 CD 延长线于 FDBACBAEBABAA9/,ABFCDE1590。在直角三角形 AEF 中，AE=12,AF=1522在直角三角形 AEC 中，AE=12,AF=15()615ABCDFS。解法二：如图，过 B 作 BFDC 于 FBFC=90AEDC 于 E /,AC=9012。在直角三角形 ABC 中， 2016EA在直角三角形 BDF 中， ,()550ABCDFS。FEBADBACBAEBABAAFEBADBACBAEBABAA10例 11.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,B+C=90,M、N 分别是 AD、BC 的中点，试说明： ()12MBCAD分析 1：B+C=90，考虑延长两腰，使它们相交于一点，构成直角三角形。解法 1：延长 BA、CD 交于点 G,连接 GM、GN90GNBACBN。B、A、G 共线 G、M、N 共线,()12D分析 2：考虑 M、N 分别为 AD、BC 中点，可以过 M 分别作 AB、DC 的平行线，梯形 ABCD 内部构成直角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形。解法 2：作 MEAB 交 BC 于 E,作 MFDC 交 BC 于 FADBC 四边形 ABEM、DCFM 都是平行四边形BE=AM,FC=DM,ABECF90。EMF=90,又EN=FN1()2MNEFBCADAB CDMNGAB CDMNE F
