1、0利用换元法解分式方程的四种常见类型一、直接换元例 1 解方程 015)(2)1(x.解：设 yx，则原方程可化为 2y.解得 5,321.当 y时， x，解得 43x；当 时， 1，解得 5.经检验， 4,32是原方程的根.二、配方换元例 2 解方程 1)()(2xx.解：原方程配方，得 053.设 ,1yx则 052y.解得 21.当 y时， ,1x即 2x.因为 0342，所以方程 无实数根.当 25y时， ,251x即 022x.解得 ,1.经检验， 2是原方程的根.三、倒数换元例 3 解方程 031)(22x.解：设 yx12，则原方程可化为 2y.1去分母，整理，得 0232y，解
2、得 2,1y.当 1y时， 1x，即 x.解得 ,021.当 y时， x，即 012x.解得 1,243.经检验， 01x21,43x都是原方程的根.四、变形换元例 4 解方程 22.解：原方程可变形为 052)( xx.设 yx2，则原方程可化为 y.去分母，整理，得 0252.解得 1,21y.当 时， x，即 2x.解得 2,01x.当 y时， 1x，即 0324x.因为 034)(2，所以方程 x无实数根.经检验， 21,01是原方程的根.例 1 解方程分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。2解 设 ，于是原方程变形为解得例 2 解方程分析 方程左边分式分母为 ，可将右
3、边 看成一个整体，然后用换元法求解。解 设 ，则原方程变形为例 3 解方程分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。解 原方程为3例 4 解方程解 设4练习：1. 解方程2. 解方程3. 解方程5提示：1. 设2. 3. 设 。二次根式一、知识要点概述1、二次根式：式子 叫做二次根式2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式4、二次根式的主要性质5、二次根式的运算(1)因式的
4、外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去(2)有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化(3)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式(4)二次根式的乘除法二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除) 所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式6(5)有理数的加法交换律、结合律；乘
5、法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算二、典例剖析分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手例 3、已知 xy0，化简二次根式 的正确结果是（ ）A B C D分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内7说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号( 外)内时必须考虑字母因式隐含的符号8例 6、已知 ，求 abc 的值分析：已知条件是一个含三个未知量的等式
6、，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试点评： 应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a 2n， 是三种重要的非负数表现形式判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简9二次根式21.1 二次根式：1. 使式子 有意义的条件是 。4x2. 当 时， 有意义。_21xx3. 若 有意义，则 的取值范围是 。1mm4. 当 时， 是二次根式。x2x5. 在实数范围内分解因式： 。429_,_x6. 若 ，则 的取值范围是 。24xx7. 已知 ，则 的取值范围是 。8. 化简： 的结果是 。21x9. 当 时， 。1525_x10. 把 的根号外的因式移到根号内等于 。a11. 使等式 成立的条件是 。11xxA12. 若 与 互为相反数，则 。ab24b205_ab13. 在式子 中，二230,1,1,xyxxy次根式有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D. 732m21aab15. 若 ，则 等于（ ）2a23A. B. C. D. 512a51a16. 若 ，则 （ ）42AA
