1、第 1 页（共 40 页）初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压轴题(含解析) 一选择题（共 10 小题）1设 y=|x1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ）Ay 没有最小值 B只有一个 x 使 y 取最小值C有限个 x（不止一个）y 取最小值 D有无穷多个 x 使 y 取最小值2下列说法错误的是（ ）A2 是 8 的立方根 B 4 是 64 的立方根C 是 的平方根 D4 是 的算术平方根3用同样多的钱，买一等毛线，可以买 3 千克；买二等毛线，可以买 4 千克，如果用买 a 千克一等毛线的钱去买二等毛线，可以买（ ）A a 千克 B a 千克 C a 千克 D a 千克4如图
2、，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（ ）A B C D5已知 a，b，c 分别是ABC 的三边长，且满足 2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则ABC 是（ ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形6现有一列式子：55 2452；555 24452；5555 244452则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为（ ）A1.111111110 16 B1.111111110 27C 1.1111111056 D1.111111110 17第 2 页（共 40 页）7如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高 a 厘米的墨水，将瓶盖盖
3、好后倒置，墨水水面高为 h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A B C D8如果 m 为整数，那么使分式 的值为整数的 m 的值有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个9若 4 与 可以合并，则 m 的值不可以是（ ）A B C D10设 a 为 的小数部分，b 为 的小数部分则 的值为（ ）A + 1 B +1 C 1 D + +1二填空题（共 12 小题）11与 最接近的整数是 12规定用符号m表示一个实数 m 的整数部分，例如： =0，3.14 =3按此规定 的值为 13若 ，则 = 14如图，边长为 m+4 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分可剪
4、拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为 4，则另一边长为 15已知 A=2x+1，B 是多项式，在计算 B+A 时，某同学把 B+A 看成了 BA，第 3 页（共 40 页）结果得 x23，则 B+A= 16若 m 为正实数，且 m =3，则 m2 = 17因式分解：x 2y2+6y9= 18已知：x 2x1=0，则x 3+2x2+2002 的值为 19若 = + ，对任意自然数 n 都成立，则 a= ，b= ；计算：m= + + + = 20已知三个数 x，y，z 满足 =3， = ， = 则 的值为 21无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，则 m 的取值范围为 22化简二次根式 的正确结果
5、是 三解答题（共 18 小题）23对于任何实数，我们规定符号 的意义是： =adbc按照这个规定请你计算：当 x23x+1=0 时， 的值24分解因式：a 2+4b2+c44ab2ac2+4bc2125 （1）计算： （2）先化简，再求值： ，其中 26若实数 x，y 满足（x ） （y ）=2016（1）求 x，y 之间的数量关系；（2）求 3x22y2+3x3y2017 的值27已知 x，y 都是有理数，并且满足 ，求 的值28已知 + =0，求 的值第 4 页（共 40 页）29已知 a2+b24a2b+5=0，求 的值30老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部
6、分，形式如下：（ ） =（1）求所捂部分化简后的结果：（2）原代数式的值能等于1 吗？为什么？31阅读下列材料，解决后面两个问题：我们可以将任意三位数 （其中 a、b、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且 a0） ，显然 =100a+10b+c；我们形如 和 的两个三位数称为一对“ 姊妹数” （其中 x、y、z 是三个连续的自然数）如：123 和321 是一对姊妹数，678 和 876 是一对“姊妹数”（1）写出任意两对“姊妹数”，并判断 2331 是否是一对“姊妹数”的和；（2）如果用 x 表示百位数字，求证：任意一对 “姊妹数” 的和能被 37 整除32若我们规定三角“
7、 ”表示为：abc；方框“ ”表示为：（x m+yn） 例如： =1193（2 4+31）=3请根据这个规定解答下列问题：（1）计算： = ；（2）代数式 为完全平方式，则 k= ；（3）解方程： =6x2+733阅读与计算：对于任意实数 a，b，规定运算 的运算过程为：ab=a2+ab根据运算符号的意义，解答下列问题第 5 页（共 40 页）（1）计算（x1） （x +1） ；（2）当 m（m+2）=（m+2）m 时，求 m 的值34我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为：（其中 a、b、c 为三角形的三边长，s 为面积） 而
8、另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为 5，7，8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式推导出公式？请试试35斐波那契（约 11701250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第 n（n 为正整数）个数 an 可表示为 （ ） n（ ） n（1）计算第一个数 a1；（2）计算第二个数 a2；（3）证明连续三个数之间 an1，a n，a n+1 存在以下关系：a n+1an=an1（n2） ；（4）写出斐波那契数列中的前 8 个数36问题提出
9、我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 M、N 的大小，只要作出它们的差 MN，若 MN0，则 MN；若MN=0，则 M=N；若 MN0，则 MN问题解决如图 1，把边长为 a+b（ab ）的大正方形分割成两个边长分别是 a、b 的小正第 6 页（共 40 页）方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和 M 与两个矩形面积之和 N 的大小解：由图可知：M=a 2+b2，N=2abMN=a 2+b22ab=（ab） 2a b
10、 ，（ab） 20 MN0M N类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为 元/千克和 元/千克（a、b 是正数，且 ab ） ，试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低（2）试比较图 2 和图 3 中两个矩形周长 M1、N 1 的大小（bc） 联系拓广小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图 4 所示（其中 bac0） ，售货员分别可按图 5、图 6、图 7 三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由37附加题：若 a= ，b= ，试不用将分数化小数的方法比较 a、b 的大小观察 a、b 的特征，以及你比较大小的过程，
11、直接写出你发现的一个一般结第 7 页（共 40 页）论38解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向” 问题例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3 和 4，求矩形的周长”，求出周长等于 14 后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为 14，且一边长为 3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等（1）设 A= ，B= ，求 A 与 B 的积；（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题39能被 3 整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被 3 整除的三位数 的“F” 运算：把 的每一个数位上
12、的数字都立方，再相加，得到一个新数例如 =213 时，则：213 36（2 3+13+33=36） 243（3 3+63=243） 数字 111 经过三次“F”运算得 ，经过四次“F”运算得 ，经过五次“F” 运算得 ，经过 2016 次“F”运算得 （2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被 3 整除，那么这个数就一定能够被 3 整除，例如，一个四位数，千位上的数字是 a，百位上的数字是 b，十位上的数字为 c，个为上的数字为 d，如果 a+b+c+d 可以被 3 整除，那么这个四位数就可以被 3 整除你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可） 40观察并验证下列
13、等式：13+23=（1+2） 2=9，13+23+33=（1+2+3） 2=36，13+23+33+43=（1+2+3+4 ） 2=100，（1）续写等式：1 3+23+33+43+53= ；（写出最后结果）（2）我们已经知道 1+2+3+n= n（n+1） ，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：1 3+23+33+（n 1） 3+n3= ；（结果用因式乘积表示）（3）利用（2）中得到的结论计算：第 8 页（共 40 页）3 3+63+93+573+6031 3+33+53+（2n1） 3（4）试对（2）中得到的结论进行证明第 9 页（共 40 页）初中数学数与式提高练习与难题和培优综合题压
14、轴题(含解析) 参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2009 秋和平区校级期中）设 y=|x1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ）Ay 没有最小值 B只有一个 x 使 y 取最小值C有限个 x（不止一个）y 取最小值 D有无穷多个 x 使 y 取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论 x 的取值范围，再判断 y 的最值问题【解答】解：方法一：由题意得：当 x1 时，y=x+11x= 2x；当1 x1 时，y=x+1+1+ x=2；当 x1 时，y=x1 +1+x=2x；故由上得当1x1 时，y 有最小值为 2；故选 D方法二：由题意，y 表示数轴上一点 x，到 1，1
15、 的距离和，这个距离和的最小值为 2，此时 x 的范围为 1x1，故选 D【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论2 （2016 秋郑州月考）下列说法错误的是（ ）A2 是 8 的立方根 B 4 是 64 的立方根C 是 的平方根 D4 是 的算术平方根【分析】正数平方根有两个，算术平方根有一个，立方根有一个【解答】解：A、2 是 8 的立方根是正确的，不符合题意；第 10 页（共 40 页）B、4 是 64 的立方根，原来的说法错误，符合题意；C、 是 的平方根是正确的，不符合题意；D、4 是 的算术平方根是正确的，不符合题意故选：B【点评】本题考
16、查立方根，平方根和算术平方根的概念3 （2016 秋全椒县期中）用同样多的钱，买一等毛线，可以买 3 千克；买二等毛线，可以买 4 千克，如果用买 a 千克一等毛线的钱去买二等毛线，可以买（ ）A a 千克 B a 千克 C a 千克 D a 千克【分析】先设出买 1 千克的一等毛线花的钱数和买 1 千克的二等毛线花的钱数，列出一等毛线和二等毛线的关系，再乘以 a 千克即可求出答案【解答】解：设买 1 千克的一等毛线花 x 元钱，买 1 千克的二等毛线花 y 元钱，根据题意得：3x=4y，则 = ，故买 a 千克一等毛线的钱可以买二等毛线 a故选 A【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是认真读题，找出等量关系，列出代数式，是一道基础题4 （2009江干区模拟）如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（ ）A B C D
