初中几何最值问题.doc

1、初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例 1】在锐角 中，AB=4，BC =5，ACB=45，将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到ABCA1BC1点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值 P1 C1A1 PE CBA【巩固】以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB 和COD，其中ABO=DCO=30 如图，若 BO= 3，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将AOB 绕点 O 旋转

2、的过程中，线段 PN 长度的最小值为_，最大值为_ OPNDC BA OC DN备用图【例 2】如图， ，矩形 ABCD 的顶点 AB 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，90MONA 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为_【巩固】已知： AOB 中， 2， COD 中， 3C, ABODC .连接 A、C，点 M、 N、 P分别为 A、 、 B的中点.若 、 、 三点在同一直线 上，且2，固定 ，将 绕点 旋转，则 PM的最大值为_ PNMDCBAO【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中

3、，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 为线段 的中ABxyMAB点点 、 分别在 轴、 轴的负半轴上，且 以 为边在第三象限内作正DExy10DEABDE方形 ，请求出线段 长度的最大值，并直接写出此时直线 所对应的函数的解析式GFMGGGFEDxyOABM图 2【例 3】如图，已知 ， 为反比例函数 图像上的两点，动点 在 正半轴上1(,)2Ay2(,)B1yx(,0)Px运动，当线段 与线段 之差达到最大时，点 的坐标是_PP2、轴对称【例 1】求 的最小值22341xx【例 2】 是半径为 5 的 的两条弦， ， ， 为直径， 于点 ,ABCDOA8B6CDMNABNE于点 ， 为

4、上任意一点，则 的最小值为_MNFPE+PA PO NM FE DCBA【巩固】设半径为 1 的半圆的圆心为 ，直径为 , 是半圆上两点，若弧 的度数为 96，弧OABCD、 AC的度数为 36，动点 在直径 上，则 的最小值是_BDP+P【巩固】设正三角形 的边长是 2， 是 边上的中点， 是边 上任意一点，则 的最ACMB+PM大值为_,最小值为_yxOABP【例 3】如图，已知等边ABC 的边长为 1，D 、E 、F 分别是 AB、BC、AC 边上的点（均不与点 A、B、C 重合） ，记DEF 的周长为 .若 D、E、F 分别是 AB、BC 、AC 边上任意点，则 的取值范围是 .p p

5、 FEDCBA【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于 A B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标；（2）请在直线 AC 上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标图 1【例 5】如图，直线 分别交 x 轴、y 轴于 C、A 两点，将射线 AM 绕点 A 顺时针旋转 45得到32yx射线 AN，D 为 AM 上的动点， B 为 AN 上的动点，点 C 在MAN 的内部（1）当 AMx 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求 的面积；BD（2）求BCD 周长的最小值；（3）当BCD

6、 的周长取得最小值，且 时，求 的面积523CAxy1OD212MNB3 4CAxy1O 2123 4C备用图Axy1O 2123 4C备用图【例 6】在直角坐标系中， ， ， ， 为四边形的 4 个顶点，当四边形1,2A4,1B,0Cm,Dn的周长最短时， _ABCDmnOy xA BCD【巩固】如图 1，抛物线 yax 2bx c（a0）的顶点为 C（1，4），交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点D，其中点 B 的坐标为（3， 0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中点 E 的横坐标为 2，若直线PQ 为抛物线的对称轴

7、，点 G 为直线 PQ 上的一动点，则 x 轴上师范存在一点 H，使D、G、H、F 四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由。图 13A BxyODC图 2A BxyODCPQEF A BxyODC【例 7】已知，如图 1，二次函数 的图像的顶点为 ，与 轴交于 两点230yaxaHxAB、（ 在 的右侧），点 关于直线 ： 对称BAHB、l3yx（1）求 两点的坐标，并证明点 在直线 上；、 Al（2）求二次函数的解析式；（3）过点 作 交直线 于点 ， 分别为直线 和直线 上的两个动点，连结BKA lKMN、AHl求 的最小值HNM、HN

8、 图1yxlH KBOA【巩固】如图，在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 的图象与 轴交于 （-1,0 ）、23yxbcxA（3,0）两点, 顶点为 .BC(1) 求此二次函数解析式；(2) 点 为点 关于 x 轴的对称点，过点 作直线 ： 交 BD 于点 E，过点 作直DAl3yxB线 交直线 于 点.问：在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P，使得它到四边形 ABKDBKAlK四边的距离都相等，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若 、 分 别为直线 和直线 上的两个动点，连结 、MNDl DN、 ，求 和的最小值.NMN【例 8】在平面直角

9、坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 轴、ACBx轴的正半轴上， ， ，D 为边 OB 的中点.y3O4（）若 为边 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；EEE（）若 、 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 、 的坐标.EFOA2EFCDEFEF【巩固】已知点 A（3，4），点 B 的坐标为（ 1，1）时，在 x 轴上另取两点 E，F，且 EF=1线段 EF 在x 轴上平移，线段 EF 平移至何处时，四边形 ABEF 的周长最小？求出此时点 E 的坐标yBODCA xEyBODCA x温馨提示：如图，可以作点 D 关于 x轴的 对 称 点

10、，连 接 与 轴 交C于 点 E，此时 的周长是最小的.这样，你只需求出 的长，就可以确定点O的坐标了.【例 9】已知直线 与 轴交于点 A，与 轴交于点 D，抛物线 与直线交于12yxyx21yxbcA、E 两点，与 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 的值最大，求出点 M 的坐标。|C【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将364yOBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C.（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、

11、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出 的取值QO范围.3、旋转【例 1】如图，已知在ABC 中，BC =a，AC=b，以 AB 为边作等边三角形 ABD.当ACB 变化,且点 D 与点C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.【例 2】如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上， ，xOyB(0,2)Dx30ODB为 的中线，过 、 两点的抛物线 与 轴相交于 、 两点（ 在OEBDE36yaxcAF的左侧）F（1）求抛物线的解析式；（2）点 为三角形 内的一个动

12、点，设 ，请直接写出 的最小值,以及PAOmPABOm取得最小值时，线段 的长.mP EO GFAyxDB【巩固】已知矩形 ， ， ，在矩形 内有一点 ，在 边上有一点 ,分别确定点ABCD=106ABCDPBCH和 的位置，使得 最小PHPHHPDCBAA BCD【巩固】直角梯形 中， ，在梯形内求作一点 使 于 且ABCD90OQBC的值最小+OQQODCBA二、垂线段最短【例 1】已知 , 是线段 上任意一点，在 的同侧分别以 和 为边作两个等边三角形10ABPABABAP和 ，则线段 长度的最小值是_PCDC PDCBA【例 2】如图，在锐角 中， ，ABC4245BAC， 的平分线交 于点 分别是 和 上DMN， 、 D的动点，则 的最小值是_ 【巩固】矩形 中， ， .在 、 上各取一点 、 ，使 的值最ABCD201BCABMN+B小，求这个最小值A BCDNM