1、第 1 页 共 16 页全等三角形类型一：全等三角形性质的应用 1、如图， ABD ACE， AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨: AB=AC， AB 和 AC 是对应边， A 是公共角， A 和 A 是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析： AB 和 AC 是对应边， AD 和 AE、 BD 和 CE 是对应边， A 和 A 是对应角， B 和 C， AEC 和 ADB 是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边
2、所对的角是对应角.举一反三：【变式 1】如图， ABC DBE.问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？【答案】证明：由 ABC DBE，得 AB=DB,BC=BE， 则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。【变式 2】如右图， ， 。求证：AECF【答案】第 2 页 共 16 页AECF2、如图，已知 ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE 的度数与 EC 的长。思路点拨: 由全等三角形性质可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB 的度数与 BF 的长即可。解析：在 ABC 中，ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因为
3、ABCDEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90.求证：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】(1）因为 ACDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的对应角相等）.因为ADC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以 CDAB.(2）因为 CEFBEF,所以CFE=BFE（全等三角形的对应角相等）.因为CFE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因为ACB=90,所以AC
4、B=BFE.所以 EFAC.第 3 页 共 16 页类型二：全等三角形的证明3、如图，ACBD，DFCE，ECBFDA，求证：ADFBCE 思路点拨: 欲证ADFBCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过 ACBD 而得解析：ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性质)即 ADBC在ADF 与BCE 中ADFBCE(SAS)总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三：【变式 1】如图，已知 ABDC
5、，ABDC，求证：ADBC【答案】ABCD34在ABD 和CDB 中ABDCDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)ADBC(内错角相等两直线平行)【变式 2】如图，已知 EBAD 于 B，FCAD 于 C，且 EBFC，ABCD求证 AFDE【答案】EBAD(已知)EBD90(垂直定义)同理可证FCA90EBDFCAABCD，BCBCACAB+BC第 4 页 共 16 页BC+CDBD在ACF 和DBE 中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，AD 为 ABC 的中线。求证：AB+AC2AD. 思路点拨: 要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+B
6、DAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由 2AD 想到构造一条线段等于 2AD，即倍长中线。解析：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE因为 AD 为 ABC 的中线，所以 BD=CD.在 ACD 和 EBD 中，所以 ACDEBD(SAS).所以 BE=CA.在 ABE 中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD 的延长线于 E，求证：BD=2CE.【答案】分别延长 CE、BA 交于 F. 因为
7、 BECF,所以BEF=BEC=90.在 BEF 和 BEC 中，第 5 页 共 16 页所以 BEFBEC(ASA).所以 CE=FE= CF.又因为BAC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在 ABD 和 ACF 中，所以 ABDACF(AAS)所以 BD=CF.所以 BD=2CE.5、如图，ABCD，BEDF，BD， 求证：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF思路点拨: (1)直接通过ABECDF 而得，(2)先证明AEBCFD，(3)由(1)(2)可证明AEFCFE 而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(
8、角)所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1)在ABE 与CDF 中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形对应边相等)(2)AEBCFD(全等三角形对应角相等)AECF(内错角相等，两直线平行)(3)在AEF 与CFE 中第 6 页 共 16 页AEFCFE(SAS)AFECEF(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式 1】如图，在ABC 中，延长 AC 边上的中线 BD 到 F，使 DFBD，延长 AB 边上的中线 CE 到 G，使 EGCE，求证 AFAG【答案】在AGE 与BCE 中AGEBCE(
9、SAS)AGBC(全等三角形对应边相等)在AFD 与CBD 中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形对应边相等)AFAG(等量代换)6、如图 ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD、CE 相交于 F 求证：AF 平分BAC思路点拨: 若能证得得 AD=AE，由于ADB、AEC 都是直角，可证得 RtADFRtAEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 RtABD 与 RtAEC，由题意已知AB=AC，BAC 是公共角，可证得 RtABDRtACE解析：在 RtABD 与 RtACE 中第 7 页 共 16 页RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形对应边相等)在 RtA
10、DF 与 RtAEF 中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形对应角相等)AF 平分BAC(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在ABC 与ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于 D，ADBC于 D且 AD=AD求证：ABCABC证明：在 RtABD 与 RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形对应角相等)在ABC 与ABC中第 8 页 共 16 页ABCABC(SAS)【变式
11、 2】已知，如图，AC、BD 相交于 O，AC=BD，CD90 求证：OC=OD【答案】C=D=90ABD、ACB 为直角三角形在 RtABD 和 RtABC 中RtABDRtABC(HL)AD=BC在AOD 和BOC 中AODBOC(AAS)OD=OC7、ABC 中，AB=AC，D 是底边 BC 上任意一点，DEAB，DFAC，CGAB垂足分别是 E、F、G. 试判断：猜测线段 DE、DF、CG 的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟）作 DMCG 于 MDEAB，CGAB，DMCG
12、第 9 页 共 16 页四边形 EDMG 是矩形DE=GMDM/ABMDC=BAB=ACB=FCDMDC=FCD而 DMCG，DFACDMC=CFD在MDC 和FCD 中MDCFCD（AAS）MC=DFDE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作 CMED 交 ED 的延长线于 M（证明过程略）总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化引申：如果将条件“D 是底边 BC 上任意一点”改为“D 是底边 BC 的延长线第 10 页 共 16 页图2QCAB EFP上任意一点”，此时图形如何？DE、DF 和 CG 会有怎样的关系？画出图形
13、，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法 轴对称考点一、关于 “轴对称图形 ”与 “轴对称 ”的认识典例 1下列几何图形中， 线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是轴对称图1 2 3 4形的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2正 n边形有_条对称轴，圆有_条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例：1、如图，RtABC，C=90,B=30,BC=8，D 为 AB中点，P为 BC上一动点，连接 AP、DP,则 AP+DP的最小值是 2、已知等边 ABC，E 在 BC的延长线上，CF 平分DCE，P 为射 线BC上一点，Q 为CF上一点，连接 AP、PQ.若 AP=PQ，求证APQ 是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_
