1、1第五篇 平面向量(必修 4)第 1 节 平面向量的概念及线性运算【选题明细表】知识点、方法 题号平面向量的基本概念 1,10平面向量的线性运算 4,6,9共线向量问题 2,8三点共线问题 3,11综合问题 5,7,12,13,14基础对点练(时间:30 分钟)1.给出下列命题:向量 与向量 的长度相等,方向相反; + =0;两个相等向量的起点相同,则其终点必相同; 与 是共线向量,则 A、B、C、D 四点共线.其中不正确的命题的个数是( A )(A)2 (B)3 (C)4 (D)1解析:正确;中 + =0,而不等于 0;正确;中 与 所在直线还可能平行,综上可 知不正确.故选 A.2.“存在
2、实数 ,使得 a=b”,是“a 与 b 共线”的 ( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当 a0,b=0,a=b 不成立.3.已知 =a+2b, =-5a+6b, =7a-2b,则下列三点一定共线的是 ( B ) (A)A,B,C (B)A,B,D(C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为 = + =-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2 ,所以 A,B,D 三点共线. 4.(2016 安徽模拟)若点 M 在ABC 的边 AB 上,且 = ,则 等于( D )12 (A) + (B)2 -21212 (C) + (D) +1323
3、23132解析:如图,由 = ,12知 = ,13所以 = += +13= +( - )= + .23135.如图,在ABC 中, = ,P 是 BN 上的一点,若 =m + ,则实数 m 的值为( C )12 29(A)3 (B)1 (C) (D)解析:法一 设 = (R), 则 = += + = +( - ) = +( - ) 13=(1-) + , 则 解得 m=,故选 C.1=,13=29, 法二 =m + =m + ,2923因为 B,P,N 三点共线,所以 m+=1,所以 m=.故选 C.6.(2016 兰州一中期中)在ABC 中,AB=2,BC=3,ABC=60,AD 为 BC
4、边上的高,O 为 AD 的中点,若 = + ,则 + 等于( D ) (A)1 (B) (C) (D)解析:在 RtABD 中,BD=ABcos60=1,3所以 =,所以 = .13因为 = + = + ,13所以 2 = + ,13即 = + ,1216所以 =,=,所以 +=+=.故选 D.7.(2015 新乡期末)在ABC 中,AB=3,AC=2, = + ,则直线 AD 通过ABC 的( C )1234(A)垂心 (B)外心 (C)内心 (D)重心解析:因为 AB=3,AC=2,所以| |=,| |=.12 34即| |=| |=,1234设 = , = ,1234则| |=| |,
5、所以 = + = + .1234由向量加法的平行四边形法则可知,四边形 AEDF 为菱形,所以 AD 为菱形的对角线,所以 AD 平分EAF,所以直线 AD 通过ABC 的内心.8.(2015 杨浦区二模)已知 e1,e2是不平行的向量,设 a=e1+ke2,b=ke1+e2,则 a 与 b 共线的充要条件是实数 k 等于 . 解析:a 与 b 共线的充要条件是存在实数 使得 a=b,所以 e1+ke2=(ke 1+e2)=ke 1+e 2,因为 e1,e2是不平行的向量,所以 解得 k=1.1=,=,答案:149.已知 D,E,F 分别为ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 =a, =
6、b,给出下列命题: =a- b; =a+b; =-a+b; + + =0. 其中正确命题的序号为 . 解析: =a, =b, = + =-a-b, 12= + =a+b,12=( + )=(-a+b)=-a+b,所以 + + =-b-a+a+b+b-a=0.所以正确命题为.答案:10.给出下列命题:向量 的长度与向量 的长度相等; 向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反;两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是 . 解析: 与 是相反向量,模相等,正确;由 0 方向是任意的且与任意向量平行 ,不正确;相等向量大小相等、方向
7、相同,又起点相同,则终点相同;零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.答案:能力提升练(时间:15 分钟)11.(2015 湖北黄冈中学期中)已知向量 i 与 j 不共线,且 =i+mj, =n i+j.若 A,B,D 三点 共线,则实数 m,n 应满足的条件是( C )(A)m+n=1 (B)m+n=-1(C)mn=1 (D)mn=-1解析:由 A,B,D 三点共线可设 = (R),于是有 i+mj=(ni+j)=ni+j,又 i,j 不 共线,因此 =1,=,所以 mn=1.12.在ABC 中,P 是 BC 边的中点,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c +a +b =0,则A
8、BC 的形状为( C )(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形5(D)等腰三角形但不是等边三角形解析:由题意知 c -a( + )+b( - )=0, 所以(c- ) - =0,+2 2 所以(c- ) = ,+2 2 又 , 不共线,所以2 =0,+2 =0,所以 a=b=c.13.(2016 武侯区校级模拟)已知点 O 为ABC 内一点,且 +2 +3 =0,则AOB,AOC,BOC 的面积之比等于 . 解析:如图所示,延长 OB 到点 E,使得 =2 ,分别以 , 为邻边作平行四边形 OAFE, 则 +2 = + = ,因为 +2 +3 =0,所以- =3 ,又因为 = =2
9、,所以 =2 ,所以 = ,所以 SABC =2SAOB ;同理 SABC =3SAOC ,SABC =6SBOC ,所以AOB,AOC,BOC 的面积比=321,答案:32114.(2015 晋江市校级期中)如图,已知OCB 中,B,C 关于点 A 对称,D 是将 OB 分成 21 的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设 =a, =b. 6(1)用 a,b 表示向量 , ;(2)若 = ,求实数 的值 . 解:(1)由题意知 A 是 BC 的中点,且 = ,23由平行四边形法则得 + =2 ,则 =2 - =2a-b,则 = - =2a-b-b=2a-b.(2)由题图知 ,因为 = -
10、 =2a-b-a=(2-)a-b,=2a-b,所以 =,22解得 =.精彩 5 分钟【教师备用】 (2015 辽宁五校联考)在ABC 中,点 M,N 分别在 AB,AC 上,且 =2 , =,线段 CM 与 BN 相交于点 P,且 =a, =b,则 用 a 和 b 表示为( A )35 (A) =a+b (B) =a+b (C) =a+b (D) =a+b 解题关键:注意方程思想的应用.解析:由题意知 =a, =, =b, = b, 则 = - =b-a, = - =b-a. 设 = =(b-a), = =(b-a), 7由 - = ,得 (b-a)-(b-a)=a,得=35,23+=13,解得=13,=59,因此 = + =a+(b-a)=a+b.(2015 河南实验中学期中)已知三个不同的点 A,B,C 在同一条直线 l 上,O 为直线 l 外一点,若 p +q +r =0.其中 p,q,rR,则 p+q+r= . 解题关键:注意分类讨论解题.解析:因为三个不同的点 A,B,C 在同一条直线 l 上,所以存在实数 (0)使 = . 所以 - =( - ), 即(-1) + - =0. 因为 p +q +r =0,所以当 r=0 时,由 与 不共线知 p=q=0,此时 p+q+r=0;当 r0 时,可知 p,q0,且 =.1此时 p+q+r=0.答案:0
