1、 第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式它们具有实数的属性，可以进行运算在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充基于同样的原因，还要补充“繁分
2、式”等有关内容一、乘法公式【公式 1】 cabcbacb2)(22证明： 2)()()(222c等式成立【例 1】计算： 22)31(x解：原式= x913282 )2(312)()()3422 xx xx说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式 2】 (立方和公式)322)(baba证明: 33223( babb 说明:请同学用文字语言表述公式 2.【例 2】计算： )(22ba解：原式= 333)( baba 我们得到：【公式 3】 (立方差公式)322)(ba请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3 均称为乘法公式【例 3】计算：2（1） （2）)4
3、16)(2m )410251)( 2nmnm（3） （4）162aa2 yxyx解：（1）原式= 33（2）原式= 38125)(51( nmn（3）原式= 64)(4422 aaa（4）原式= 222 )() yxyyxyx 6363说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构（2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例 4】已知 ，求 的值0x3x解： 2x原式= 18)3()1()1)( 2222 xx说明：本题若先从方程 中解出 的值后，再代入代数式求值，则计算03较烦琐本
4、题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例 5】已知 ，求 的值0cba11()()()abccab解： ,原式= bacbacca22)()( abcbab 3)(3)(223 ，把代入得原式=ca说明：注意字母的整体代换技巧的应用引申：同学可以探求并证明：)(3223 cabcbacabc 3二、根式式子 叫做二次根式，其性质如下：(0)a(1) (2) 22|a(3) (4) (0,)abab(0,)bb【例 6】化简下列各式：(1) (2) 22(3)(31)22(1)() (
5、1)xx解：(1) 原式= |3(2) 原式= (1)2)3 (2)|1|2| 1xxx 说明：请注意性质 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对|a字母的取值分类讨论【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数) ：(1) (2) (3) 321ab328xx解：(1) 原式= 2(23)()63(2) 原式=2abab(3) 原式= 22232xxxx说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式
6、开出来；分母中有根式(如 )或被开方32数有分母(如 )这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”2xab2x的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式) 323()234【例 8】计算：(1) (2) 2(1)()()ababab解：(1) 原式= 22()()21ab(2) 原式= 1()()abab2()()aba说明：有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【例 9】设 ，求 的值23,xy3xy解：2()74, 14,32 xy原式= 222(
7、)()3(3)70xyxyxy说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量三、分式当分式 的分子、分母中至少有一个是分式时， 就叫做繁分式，繁分式的化简常用ABAB以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质【例 10】化简 1x解法一：原式= 222 (1)1(1)1xxxxx 解法二：原式= 22()1(1)(1)1xxxx 说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方AmB
8、法5【例 11】化简2239617xx解：原式=22161(3)(3)2(3)(3)9)()xxxxx 1+2()3()x说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法 (立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一、公式法(立方和、立方差公式)在第
9、一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(立方和公式)223()abab(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 322()abab这就是说，两个数的立方和(差) ，等于这两个数的和(差) 乘以它们的平方和与它们积的差(和)运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 38x 30.1257b分析： (1)中， ，(2) 中 230.15,()解：(1) 332()4xx(2) 3 20.157.(.)0.53()bbb2(3)(02159说明：(1)
10、 在运用立方和(差) 公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如6，这里逆用了法则 ；(2) 在运用立方和(差) 公式分解因式时，338(2)ab()nab一定要看准因式中各项的符号【例 2】分解因式：(1) (2) 3481b76ab分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是 或 6ab32()a23()a解：(1) 4 22817()39)bbbab(2) 76633()2222)()(aabbab二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提ma
11、bn取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例 3】把 分解因式2105axybx分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 的降幂排列，x然后从两组分别提出公因式 与 ，这时另一个因式正好都是 ，这样可以继续提5y取公因式解： 21052(5)()()2axybxaybxab说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试【例 4】把 分解因式22()()cdcd分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把
12、括号打开后重新分组，然后再分解因式解： 2222()()abcabcabcdb)dd()()ccc说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用72分组后能直接运用公式【例 5】把 分解因式2xya分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是 ；把第三、四项作为另一组，在提出公因式 后，另一个因式a也是 .xy解： 2()()()axyxyaxy【例 6】把 分解因式248z分析：先将系数 2 提出后，得到 ，其中前三项作为
13、一组，它是一24xyz个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解： 222248()xyz()()(xyzz说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式三、十字相乘法1 型的因式分解2()xpqx这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和 22() ()()()xpqxpxqxpqxpxq因此， ()运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的
14、二次三项式分解因式【例 7】把下列各式因式分解：(1) (2) 26x236x解：(1) (1),()67271()1)(xxx(2) 3649,321(4)9xx说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次8项系数的符号相同【例 8】把下列各式因式分解：(1) (2) 254x215x解：(1) (3)8,52()8(3)8xxx(2) 15(),22(5)(5)xxx说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同【例 9】把下列各式因式分解：(1) (2) 226xy22()8()1xx分析：(1) 把
15、看成 的二次三项式，这时常数项是 ，一次项系数xy 26y是 ，把 分解成 与 的积，而 ，正好是一次项系数y2323(2)y(2) 由换元思想，只要把 整体看作一个字母 ，可不必写出，只当作分解xa二次三项式 281a解：(1) 2266(3)2xyxyxy(2) 2()()1)x32()xx2一般二次三项式 型的因式分解abc大家知道， 21211212()()()xcaxcaxc反过来，就得到： 2 ()我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成1c1212,ac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于12ac12a的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中
16、xbb2xbc12()()xc位于上一行， 位于下一行1,ac2,ac这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘9法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解【例 10】把下列各式因式分解：(1) (2) 215x22568xy解：(1) 2(32)41x34 1(2) 22568()5)xyy25y说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，
17、先” 凑”绝对值，然后调整，添加正、负号四、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式 261x解： 2 2261316(3)5x x(35)()(8)xx说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验2拆、添项法【例 12】分解因式 324x分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0 了，可考虑通过添项或拆项解决解： 32324(1)(3)xx2(1) (1)3(1)xxx2 2)(xx说明
18、：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将 拆成 ，将多项式分23x24y成两组 和 32()x2x一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；10(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法( 如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元
19、二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程 ，用配方法将其变形为：20 ()axbca24bacx(1) 当 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根 ：240bac24bacx(2) 当 时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：240bac 1,2bxa(3) 当 时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把2c叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为：24bac20 ()axbca【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 2310x2491y25(3)60x解：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根2()0(2) 原方程可化为： 2y， 原方程有两个相等的实数根(1)49(3) 原方程可化为： 25610x， 原方程没有实数根()4说明：在求判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式
