1、1华师大版九年级上册数学知识点总结第 21 章 二次根式1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式2. 二次根式的性质：（1） （a0） ；（2） 0(a0)；（3）2)( a)0_(2aa3. 二次根式的乘除：计算公式：_(0,)abb乘 法 运 算 ：除 法 运 算 ：4. 概念： 1.2最 简 二 次 根 式 ： (1) (2) (3)同 类 二 次 根 式 ：5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移
2、”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母7. 二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍第 22 章 一元二次方程1. 一元二次方程：1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程2) 一元二次方程的一般形式： )0(2acbxa它的特征：等式左边是一个关
3、于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常2x数项2. 一元二次方程的解法：21) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程根据平方根的定义可知，bax2)(是 b 的平方根，当 时， ， ，当 b0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；2) 当=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根；3) 当0 时，一元二次方程没有实数根4. 韦达定理：如果方程 的两个实数根是 ，那么 ，)0(2acbxa 21x， abx21也就是说，对于任何一个有实数根
4、的一元二次方程，两根之和等于方程的一cx21次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商5. 一元二次方程的二次函数的关系：其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当 y=0 的时候就构成了一元二次方程了那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与 X 轴的交点 ，也就是该方程的解了第 23 章 图形的相似1 比例线段的有关概念b、d 叫后项，d 叫在 比 例 式 :中 ， 、 叫 外 项 ， 、 叫 内 项 ， 、 叫 前 项 ，ac(bd)abcac3第四比例项，如果 b=c，那么
5、b 叫做 a、d 的比例中项2 比例性质 基 本 性 质 ： ad更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()交 换 内 项交 换 外 项同 时 交 换 内 外 项同 时 交 换 比 的 前 项 和 后 项bcdaabbcda 合 比 性 质 ： babcd 等 比 性 质 ： cdmnnacmbdnab()03 黄金分割在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC BC），如果 ACB，即 AC2=ABBC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比其中 0.618 AB2154 平行线分线段成比例
6、定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l 2l 3 则 ， ， ， ABCDEFCAEFD 推 论 ： 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 截 其 他 两 边 （ 或 两 边 的 延 长 线 ）所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边5 相似三角形的判定两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似6 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例；相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
7、都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方7 六种相似基本模型：4CABDCABDEEDB ACDEBC BAED BACDADB CDOBACOD CBAX 型 母子型ACBD BC AD 是 RtABC 斜边上的高8 射影定理由_，得_，即_；由_，得_，即_；由_，得_，即_9 中 位 线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的 312) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一
8、半10 位 似如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比第 24 章 解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余可表示如下：C=90 A +B=902. 在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半 30192ABD3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ADB C59012ACBDABDD为 的 中 点4. 勾股定理直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 22cba5. 摄影定理在直角三
9、角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 290CDABAB6. 常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC考点二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 ，那么这个三角形是直角三角形22cba考点三、锐角三角函数的概念1. 如图，在ABC 中，C=90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA，即 asinc的 对 边斜 边锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A
10、的余弦，记为 cosA，即 Abcosc的 邻 边斜 边锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为 tanA，即 atan的 对 边的 邻 边锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记为 cotA，即 bcotA的 邻 边的 对 边2. 锐角三角函数的概念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数3. 各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90A) ，cosA=sin(90A )tanA=cot(90A)，cot A=tan(90A)（2）平方关系： 1cossin22（3）倒数关系：tanA cotA=1（4）弦切关系：tanA = ；cotA=si
11、csin4. 锐角三角函数的增减性：当角度在 090之间变化时，6（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）5. 一些特殊角的三角函数值三角函数 0 30 45 60 90sin 0 2131cos 1 0tan 0 31 3不存在cot 不存在 1 0考点四、解直角三角形1. 解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形2
12、. 解直角三角形的理论依据在 Rt ABC 中，C=90 ，A ，B，C 所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系： （勾股定理）22cba（2）锐角之间的关系：A+B =90（3）边角之间的关系： sin,cos,tan,cot,bAAabBB第 25 章 随机事件的概率1. 概率（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率P(所关注的事件 )=所关注的结果/所有等可能的结果2. 概率的预测（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果（2）要清楚所有机会的结果（1） 、 （2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率7方法：画树状图、列表法事件的分类 1、确定事件必然发生
13、的事件：当 A 是必然发生的事件时， P（A ）=1不可能发生的事件：当 A 是不可能发生的事件时， P（A）=02、随机事件：当 A 是可能发生的事件时， P（A ）概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 mn会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数p 就叫做事件 A 的概率。概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母 A，B，C，表示事件 A 的概率 p，可记为 P（A）=P概率的求解方法利用频率估算法：大量重复试验中，事件 A 发生的频率 mn会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率（有些时候用计算出发生的所有频率的平均值作为其概率） 狭
14、义定义法：如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，考察事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）= n列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标特别注意放回去与不放回去的列表法的不同如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字、，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字和或者和的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字和或者和的概率是多少？放回去 P（和）= 92 不放回去 P（和）= 62(3,)(3,2)(3,1)3 22
15、2 (1,3)(1,2)(1,)1第 一 次 结 果 321第 二 次第 一 次 结 果 第 二 次(3,2)(3,1)3(2,3)22 1(1,2)1第 一 次 结 果 321第 二 次第 一 次 结 果 第 二 次树状图法：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率8注意：求概率的一个重要技巧：求某一事件的概率较难时，可先求其余事件的概率或考虑其反面的概率再用减即正难则反易概率的实际意义 对随机事件发生的可能性的大小即计算其概率一方面要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是要看各事件发生概率另一方面通过对概率的学习让我们更加理智的对待一些买彩票抽奖活动
