1、1平面向量一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如：2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；AB|AB4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作： ，规定零abab向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不
2、同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 A、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。如aa下列命题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）ab若 ，则 是平行四边形。 （4）若 是平行四边形，则 。 （5）若 ，D BCDABDC,abc则 。 （6）若 ，则 。其中正确的是_（答：（4） （5） ）ac/,c/二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；A2符号表示法：用一个
3、小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，则平面内xyij的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， 叫做向量 的坐标a,xiyj,a,xya表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如12（1）若 ，则 _（答： ） ；(,)ab(,)(,)cc132ab（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 120,e12,(
4、5,7)eC. D. (35)(6) 13()4（答：B ） ；（3）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量 表示,ADBECBA,DaBEbC,ab为_（答： ） ；243（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是_ 2 AsrCsr（答：0）四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：aa当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0 时， 的方向与 的方向相反，1,2a a当 0 时， ，注意： 0。2五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ，ab,OAaBbAO称为向量 ， 的夹角，当 0 时， ， 同向，当 时，
5、 ， 反向，当 时，0abab2， 垂直。ab2平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与ab|cosa的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即 。规定：零向量与任一向量的数量积是cos0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_1(,)(0,),2abcakbdd4k（答：1） ；（2）已知 ，则 等于_,53A（答： ） ；23（3）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_,abab与ab（答： ）03 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于 0。如|cos已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为_（
6、答： ）|5125124 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投影的积。abab|ab5向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则： ；0当 ， 同向时， ，特别地， ；当 与 反向时，222,ab ；非零向量 ， 夹角 的计算公式： ； 。如ababcosb|a（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是_)2,()2,3(ab（答： 或 且 ） ；43013六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫做 与 的和，即,ABaCbAab；
7、abABC向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由减向量的终,BCA那 么点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简： _； _； _DD()()DB（答： ； ； ） ；0（2）若正方形 的边长为 1， ，则 _AB,ABaCbc|abc（答： ） ；22坐标运算：设 ，则：12(,)(,)axyb向量的加减法运算： ， 。如1x1y3（1）已知点 ， ，若 ，则当 _时，点 P 在第一、(2,3)5,4AB(7,10)C()APBCR三象限的角平分线上（答： ） ；12（2）已知作用在点 的三个力 ，则合力 的终点(1,)123(3,4)(,5)(,1)FF12
8、3F坐标是 （答：（9,1） ）实数与向量的积： 。11,axyy若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线12(,)(,)AxyB21Ax段的终点坐标减去起点坐标。如设 ，且 ， ，则 C、D 的坐标分别是_2,3,53CB3（答： ） ；1(,)7,93平面向量数量积： 。如12abxy已知向量 （sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）,若 x ，求向量 、 的夹角；cac向量的模： 。如222| |ax已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 _ （答： ） ； ,ab60|3|b13两点间的距离：若 ，则 。12,AxyB221ABxy七向量的运算律：1
9、交换律： ， ， ；abaab2结合律： ， ；,cccabab3分配律： ， 。c如下列命题中： ； ； cabca)( cb)(2()|； 若 ，则 或 ；若 则 ； ；22|b0 0,abc2a； ； 。其中正确的是_（答：）2a2()22()提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 ，为什么？cba)()八向量平行(共线)的充要条件： 0。如/ab22()(|ab12xy(1)若向量 ，当 _时 与 共线且方向相同（答：2） ；(,1)(4,)axx（2）已知 ， ， ，且 ，则 x _（答：4） ；2uv/uv（3）设 ，则 k _时，A,B,C 共线（答：2 或 11）,2,5(10,)PAkBPC九向量垂直的充要条件： .|baba10y如(1)已知 ，若 ，则 （答： ） ；(1,)(3,)OmOABm3（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ，则点 B 的坐标是_ 9（答：(1,3)或（3，1） ） ；（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是_ （答： ）(,)nabn(,)(,)ba或
