1、高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第二章 导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分
2、的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。2. 1 导数概念一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0 的速度 考虑比值 00)(tfts这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0 内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 t0 的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这
3、样 令 t t00 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室取比值 的极限 如果这个极限存在 设为 v 即0)(tf 0)(lim0tfvt这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0 的速度 2切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时 如果割线 绕点 旋转而趋于极限位置 MT 直线 就称为曲线 有点 处的切线 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点
4、 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 00tanfx其中 为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0 时 上式的极限存在 设为 k 即0)(lim0xfx存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中 是切线 MT 的倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 0)(lim0xfx令xxx 0 则 yf(x0x)f(x0) f(x)f(
5、x0) xx0 相当于 x 0 于是 0)(lim0xfx成为或 x0li xff)(li00定义 设函数 yf(x)在点 x0 的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0 处取得增量x( 点x0x 仍在该邻域内) 时 相应地函数 y 取得增量yf (x0x)f(x0) 如果y 与 x 之比当x 0时的极限存在 则称函数 yf(x)在点 x0 处可导 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0 处的导数 记为 即0|xy xffxf )(limli)( 000高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室也可记为 或 0|xy0xd0)(xf函数 f(x)在点 x0
6、处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 hfffh()(lim)(00 00xx在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 不存在 就说函数 yf(x)在点 x0 处不可导 xffx)(lim00如果不可导的原因是由于 xff)(li00也往往说函数 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导 这时 对于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导
7、数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数 记作 或 y)(xfdyf)(导函数的定义式 xffyx)(lim0 hxffh)(lim0f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0 处的函数值 即 )(f导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导数 f (x)在 x0 处的值 左右导数 所列极限存在 则定义f(x)在 的左导数 0 hfffhlim)(0f(x)在 的右导数 xffxf )(li0如果极限 存在则称此极限值为函数在 x0 的左导数hh)(l
8、i00如果极限 存在则称此极限值为函数在 x0 的右导数xff(lim0导数与左右导数的关系 Af)(0Axff)(0高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室2求导数举例例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解 hffh)(lim)(00lih即(C ) 0 例 2 求 的导数 xf1)(解 hxhfffh1lim)(li)( 00 200 1)(lim)(li xhxh例 3 求 的导数xf解 hxhfffh 00li)(li)( xxh 21mli0例 2求函数 f(x)x n (n 为正整数) 在 xa 处的导数 解 f ( a) (x n1ax
9、 n2 a n1)na n1 ali naxlilim把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 21x(1更一般地 有(x )x 1 其中 为常数 例 3求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x) hfh)(lim0hxhsin)si(l0 2incos21lix hhcs2i)s(li0即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例 4求函数 f(x)a x(a0 a 1) 的导数 解 f (x) hfh)lim0hax0li高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室
10、hax1lim0t令 )1(logim0taax exalnlog特别地有(e x )e x 例 5求函数 f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解 hxhff ahh log)(lim)li)( 00 hxahaax)1(lim)1(li(log1i 0 xeln解 hxf aahog)(lim)(0)1(logi0xha xa)1(lielnl即 xaln)(log特殊地 1 axaln)(logx)(3单侧导数 极限 存在的充分必要条件是hffh)(lim0及xffli hxffh)(li0都存在且相等f(x)在 处的左导数 0 ffxfh)(lim)(0f(x)在 处的右导
11、数 xfffli导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a, b) 内可导 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在 就说 f(x)有闭区间a, b 上可导 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室例 6求函数 f(x)x|在 x0 处的导数 解 1|lim)(li)0( hhffh |li(lim00 fff因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导 四、导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的
12、导数 f (x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的斜率 即f (x 0)tan 其中 是切线的倾角 如果 yf(x)在点 x0 处的导数为无穷大 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 xx0为极限位置 即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0 由直线的点斜式方程 可知曲线 yf(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为yy0f (x0)(xx0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 yf(x)在点 M 处的法线如果f (x0)0 法线的斜率为 从而法线方程为)(10f 0xfy例 8 求等
13、边双曲线 在点 处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法y1)2,(线方程 解 所求切线及法线的斜率分别为21xy 4)(211xk412k所求切线方程为 即 4xy40 )(y所求法线方程为 即 2x8y150 14x例 9 求曲线 的通过点(0 4)的切线方程 y解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 021303)(0xxxf于是所求切线的方程可设为 )(2300xxy根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此 )(400解之得 x04 于是所求切线的方程为 即 3xy40 )4(23y四、函数的可导性与连续
14、性的关系设函数 yf(x)在点 x0 处可导 即 存在 则)(lim00xfyx lilililim0 fyxx这就是说 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的 所以 如果函数 yf(x)在点 x 处可导 则函数在该点必连续 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7 函数 在区间(, ) 内连续 但在点 x0 处不可导 这是因为函数在点3)xfx0 处导数为无穷大 hffh)0(lim0h0li32 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 uu(x)及 vv(x)在点 x 具有导数 那么它们的和、差、积、商( 除分母为零的点外)都在点 x 具有导数
15、 并且u(x)v(x)u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 2x高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室证明 (1) hxvuxvuxvuh )()(lim)(0u(x)v(x)h)(li0法则(1)可简单地表示为(uv)uv (2) hxvuxxh)()(lim0)()(1 xvuhxvvxuhxuh )()(li0hxvhv)(limlilim00u(x)v(x)u(x)v(x) 其中 v(xh)v(x)是由于 v(x)存在 故 v(x)在点 x 连续 0li法则(2)可简单地表示为(uv)uvuv (3) hxvuxhvux
16、xhh )()(lim)(li)( 00 u)()lim)()(li0xvhxvuxh )(2xvu法则(3)可简单地表示为 2)(uv)uv (uv)uvuv 2)(vu定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、v v(x)、ww(x)均可导 则有(uvw)uvw (uvw)(uv)w(uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室即 (uvw)uvwuvwuvw 在法则(2)中 如果 vC(C 为常数) 则有 (Cu)Cu 例 1y2 x 35x 23x7 求
17、 y解 y(2x 35x 23x7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)23x 252x36x 210x3 例 2 求 f (x)及 sinco4)(f )f解 xxf sin42(i)(3 4)2 (f例 3ye x (sin xcos x) 求 y 解 ye x )(sin xcos x) e x (sin xcos x) e x (sin xcos x) e x (cos x sin x)2e x cos x 例 4ytan x 求 y 解 x2cos)(in)(sicoin()ta x22es1s即 (tan x)sec2x 例 5ysec x 求
18、 y 解 sec x tan x x2cos)(1)(cos1()se 2cosin即 (sec x)sec x tan x 用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc2x (csc x)csc x cot x 二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f (y)0 那么它的反函数 yf 1(x)在对应区间 Ixx|xf(y) yIy内也可导 并且 或 1fdx1简要证明 由于 xf(y)在 I y 内单调、可导(从而连续) 所以 xf(y)的反函数 yf 1(x)存在 且 f 1(x)在 I x 内也单调、连续 高等数学教案
19、 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室任取 x I x 给 x 以增量x( x0 xxI x) 由 yf 1(x)的单调性可知yf 1(xx)f 1(x)0 于是 y因为 yf 1(x)连续 故0lim从而)(1lili)(001 yfxyxf 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6设 xsin y 为直接函数 则 yarcsin x 是它的反函数 函数 xsin y 在2,开区间 内单调、可导 且)2, (sin y)cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(1 1)内有 22sinco1)(sin(arci yyx类似地有 2x例 7设 xtan y 为直接函数 则 yarctan x 是它的反函数 函数 xtan y 在), (区间 内单调、可导 且)2,(tan y)sec2 y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x( )内有 2221tansec1)(tan(arct yx类似地有 orx例 8 设 xa y(a0 a 1)为直接函数 则 yloga x 是它的反函数 函数 xa y 在区间 I y( )内单调、可导 且(a y)a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(0 )内有
