1、第 1 页 共 11 页平面向量经典例题：1. 已知向量 a(1,2)，b(2,0)，若向量 ab 与向量 c(1 ，2)共线，则实数 等于( )A2 B13C1 D23答案 C解析 ab(，2 )(2,0) (2，2) ，ab 与 c 共线，2(2 )2 0，1.2. (文) 已知向量 a( ，1)，b(0,1)，c(k ， )，若 a2b 与 c 垂直，则 k( )3 3A1 B 3C3 D1答案 C解析 a2b( ，1)(0,2) ( ，3) ，3 3a2b 与 c 垂直， ( a2b)c k3 0，k3.3 3(理) 已知 a(1,2)，b(3，1)，且 ab 与 a b 互相垂直，则
2、实数 的值为( )A B611 116C. D.611 116答案 C解析 ab(4,1)，ab(13 ，2)，ab 与 ab 垂直，(ab)(a b) 4(13)1(2) 6110， .6113. 设非零向量 a、b、c 满足| a|b|c|，abc，则向量 a、b 间的夹角为( )A150 B120C60 D30答案 B解析 如图，在ABCD 中，|a|b| c|，cab，ABD 为正三角形，BAD 60，a，b120，故选 B.(理) 向量 a，b 满足| a|1，|ab| ，a 与 b 的夹角为 60，则|b| ( )32A. B.12 13C. D.14 15答案 A解析 | ab|
3、 ，| a|2|b| 22a b ，|a| 1， a，b60，32 34第 2 页 共 11 页设|b|x ，则 1x 2x ，x0，x .34 124. 若 20，则ABC 必定是( )AB BC AB A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案 B解析 2 ( ) 0， ，AB BC AB AB BC AB AB AC AB AC AB AC ， ABC 为直角三角形5. 若向量 a(1,1)，b(1 ，1) ，c(2,4) ，则用 a，b 表示 c 为( )Aa3b Ba3bC3ab D3ab答案 B解析 设 c ab，则(2,4)( ， )，Error!，Error!
4、，ca3b ，故选 B.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若a， b，则 等于( )AC BD AF A. a b B. a b14 12 23 13C. a b D. a b12 14 13 23答案 B解析 E 为 OD 的中点， 3 ，BE ED DF AB， ，|AB|DF| |EB|DE|DF| |AB|，|CF| |AB| |CD|，13 23 23 a ( )a ( b a) a b.AF AC CF AC 23CD 23OD OC 2312 12 23 136. 若ABC 的三边长分别为 AB7，
5、BC5，CA6，则 的值为( )AB BC A19 B14C18 D19答案 D解析 据已知得 cosB ，故 | | |(cosB)75 19.72 52 62275 1935 AB BC AB BC ( 1935)7. 若向量 a(x 1,2)，b(4，y )相互垂直，则 9x3 y的最小值为 ( )A12 B2 3C3 D62第 3 页 共 11 页答案 D解析 ab4( x1)2y 0，2xy2，9 x3 y3 2x3 y2 6，等号在 x ，y 1 时成32x y12立8. 若 A，B ，C 是直线 l 上不同的三个点，若 O 不在 l 上，存在实数 x 使得 x2 x 0，实数OA
6、 OB BC x 为( )A1 B0C. D. 1 52 1 52答案 A解析 x 2 x 0，x 2 ( x1) 0，由向量共线的充要条件及 A、B 、COA OB OC OB OA OB OC 共线知，1xx 21，x0 或1，当 x0 时， 0，与条件矛盾， x1.BC 9. (文) 已知 P 是边长为 2 的正ABC 边 BC 上的动点，则 ( )( )AP AB AC A最大值为 8 B最小值为 2C是定值 6 D与 P 的位置有关答案 C解析 以 BC 的中点 O 为原点，直线 BC 为 x 轴建立如图坐标系，则 B(1,0) ，C (1,0)，A (0， )， 3 AB (1，
7、)(1， )(0 ，2 )，AC 3 3 3设 P(x,0)，1x1，则 (x， )，AP 3 ( )( x， )(0，2 )6，故选 C.AP AB AC 3 3(理) 在ABC 中， D 为 BC 边中点，若A120， 1，则 | |的最小值是( )AB AC AD A. B.12 32C. D.222答案 D解析 A 120， 1，| | |cos1201，AB AC AB AC | | |2，| |2| |22| | |4，D 为 BC 边的中点，AB AC AB AC AB AC ( )，| |2 (| |2| |22 ) (| |2| |22) (42) ，AD 12AB AC A
8、D 14AB AC AB AC 14AB AC 14 12| | .AD 22第 4 页 共 11 页10. 如图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E、F 两点，且交其对角线于 K，其中 ， ， ，则 的值为( )AE 13AB AF 12AD AK AC A. B.15 14C. D.1312答案 A解析 如图，取 CD 的三等分点 M、N，BC 的中点 Q，则EF DG BM NQ，易知 ， .AK 15AC 1511. 已知向量 a(2,3)，b( 1,2) ，若 ma4b 与 a2b 共线，则 m 的值为( )A. B212C2 D12答案 C解析
9、ma4b(2 m4,3m8) ，a2b(4，1)，由条件知(2m4)(1)(3m8)40，m2，故选 C.12. 在ABC 中，C90，且 CACB3，点 M 满足 2 ，则 等于( )BM MA CM CB A2 B3 C4 D6答案 B解析 ( )CM CB CA AM CB ( ) CA 13AB CB CA CB 13AB CB | | |cos45 3 3 3.13AB CB 13 2 2213. 在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点，AB3，BD 1，则 _.AB AD 第 5 页 共 11 页答案 152解析 由条件知，| | | |3， ， 60，AB AC BC AB
10、 AC ， 60， ，AB CB CD 23CB ( ) 33cos60 33cos60 .AB AD AB AC CD AB AC AB 23CB 23 15214. 已知向量 a(3,4)，b( 2,1) ，则 a 在 b 方向上的投影等于_答案 。解析 a 在 b 方向上的投影为 .255 ab|b| 25 25515. 已知向量 a 与 b 的夹角为 ，且| a|1，|b|4，若(2a b) a，则实数 _.23答案 1解析 a，b ，| a|1，|b|4，ab|a|b|cosa，b 14cos 2，(2a b)23 23a，a(2ab)2|a| 2ab220， 1.16. 已知：|
11、|1，| | ， 0，点 C 在AOB 内，且AOC30，设OA OB 3 OA OB m n (m，nR )，则 _.OC OA OB mn答案 3解析 设 m ，n ，则 ，OA OF OB OE OC OF OE AOC30，| |cos30| |m| |m，OC OF OA | |sin30| |n| | n，OC OE OB 3两式相除得： ， 3.m3n |OC |cos30|OC |sin30 1tan30 3 mn17. (文) 设 i、j 是平面直角坐标系(坐标原点为 O)内分别与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且2ij， 4i3j，则OAB 的面积等于_OA OB
12、 答案 5解析 由条件知，i 21，j 21，ij0， ( 2ij)(4i3j)835，又 |OA OB OA OB | |cos ， 5 cos ， ，OA OB OA OB 5 OA OB cos ， ，sin ， ，OA OB 55 OA OB 255S OAB | | |sin ， 5 5.12OA OB OA OB 12 5 255(理) 三角形 ABC 中， a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，能得出三角形 ABC 一定是锐角三角形的第 6 页 共 11 页条件是_(只写序号)sinAcosA 0.15 AB BC 3答案 解析 若 A 为锐角，则 sinAcos A1，s
13、inAcosA ，A 为钝角，15 0，B 为锐角，由B 为锐角得不出 ABC 为锐角三角形；由正弦定理 AB BC BA BC bsinB得， ，sinC ，C 60或 120，c sinB ，30，及 A、B、C(0，)，ABC 知 A、B 、C 均为锐角，ABC 为锐角三角形18. 已知平面向量 a(1，x )，b(2x 3，x) (1)若 ab，求 x 的值(2)若 a b，求| ab|.解析 (1)若 ab，则 ab(1 ，x)(2 x3，x)1 (2x3)x (x) 0，整理得 x22x 3 0，解得 x1 或 x3.(2)若 a b，则有 1(x)x (2x3)0，则 x(2x4
14、) 0，解得 x 0 或 x2，当 x 0 时， a(1,0)，b(3,0)，|ab|(1,0)(3,0)|( 2,0)| 2， 22 02当 x2 时，a (1，2)，b(1,2) ，|ab|(1，2)(1,2)|(2，4)| 2 .22 42 519. 已知向量 a(sinx，1) ，b( cosx， )，函数 f(x)(ab)a2.312(1)求函数 f(x)的最小正周期 T；(2)将函数 f(x)的图象向左平移 上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍，得6到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)的解析式及其对称中心坐标解析 (1)f(x) (ab)a2a 2ab2
15、sin 2x1 sinxcosx 2312 sin2x sin2x cos2xsin(2x )，1 cos2x2 32 12 32 12 6周期 T .22(2)向左平移 个单位得， ysin2(x ) sin(2x )，横坐标伸长为原来的 3 倍得，6 6 6 6g(x)sin( x )，令 x k 得对称中心为( ，0)，k Z .23 6 23 6 3k2 4第 7 页 共 11 页20. (文) 三角形的三个内角 A、B 、C 所对边的长分别为 a、b、c ，设向量 m( ca，ba) ，n(ab，c)，若 m n.(1)求角 B 的大小；(2)若 sinAsinC 的取值范围解析 (
16、1)由 m n 知 ，c aa b b ac即得 b2a 2c 2 ac，据余弦定理知 cosB ，得 B .12 3(2)sinA sinCsinAsin(AB)sinAsin(A )3sinA sinA cosA sinA cosA sin(A )，12 32 32 32 3 6B ，AC ，A(0， )，3 23 23A ( ， )，sin(A )( ，1，6 6 56 6 12sinAsin C 的取值范围为( ， 32 3(理) 在钝角三角形 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，m(2bc，cosC)，n( a，cosA)，且 m n.(1)求角 A 的大小；(2)
17、求函数 y2sin 2Bcos( 2B)的值域3解析 (1)由 m n 得(2bc)cos AacosC0，由正弦定理得 2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0，sin(A C)sinB，2sinBcosAsinB0，B、 A (0，)，sin B0，A .3(2)y1cos2B cos2B sin2B1 cos2B sin2Bsin(2B )1，12 32 12 32 6当角 B 为钝角时，角 C 为锐角，则Error! B ，2 23 2B ，sin(2B )( ， )，y( ， )56 676 6 12 12 12 32当角 B 为锐角时，角 C 为钝角，则Error!0B
18、 ，6 2B ，sin(2B )( ， )，y( ， )，6 66 6 12 12 12 32第 8 页 共 11 页综上，所求函数的值域为( ， )12 3221. 设函数 f(x)ab，其中向量 a(2cosx, 1)，b(cosx， sin2x)，x R.3(1)若 f(x)1 且 x ， ，求 x；33 3(2)若函数 y2sin2x 的图象按向量 c( m，n)(| m| )平移后得到函数 yf(x)的图象，求实数 m、n 的2值解析 (1)依题设，f(x) 2cos 2x sin2x312sin(2x )6由 12sin(2x )1 ，得 sin(2x ) ，6 3 6 32 x
19、， 2x ，2x ，即 x .3 3 2 6 56 6 3 4(2)函数 y2sin2 x 的图象按向量 c( m，n)平移后得到函数 y2sin2(xm)n 的图象，即函数 yf( x)的图象由(1)得 f(x)2sin2(x )1.| m| ，m ，n1.12 2 1222. 已知向量 (2cosx1，cos2xsinx1) ， (cosx，1)，f( x) .OP OQ OP OQ (1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)当 x0， 时，求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 值2解析 (1) (2cos x1，cos2x sin x1)， (cos x，1)，OP OQ f(x
20、) (2cosx1)cosx (cos2xsin x1)OP OQ 2cos 2xcosx cos2x sinx1cosx sin x sin(x )，24函数 f(x)最小正周期 T2.(2)x 0， ，x ， ，2 4 4 34当 x ，即 x 时，f(x ) sin(x )取到最大值 .4 2 4 2 4 223. ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，向量 m(1,1) ，n(cosB cosC，sinB sinC)，且 mn.32(1)求 A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：a1；2c( 1)b0；B45，试从中选择两个条件以确定3ABC，求出所确定的AB
21、C 的面积(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分) 解析 (1)因为 mn，所以cos BcosCsin BsinC 0，32第 9 页 共 11 页即 cosBcosCsinBsinC ，所以 cos(BC) ，32 32因为 AB C ，所以 cos(BC )cosA，所以 cosA ，A30.32(2)方案一：选择，可确定ABC，因为 A30，a1,2c( 1)b0，3由余弦定理得，1 2b 2( b)22b b 解得 b ，所以 c ，3 12 3 12 32 2 6 22所以 SABC bcsinA ，12 12 2 6 22 12 3 14方案二：选择，
22、可确定ABC，因为 A30，a1，B45，C 105，又 sin105sin(45 60)sin45cos60cos45sin60 ，6 24由正弦定理 c ，asinCsinA 1sin105sin30 6 22所以 SABC acsinB 1 .12 12 6 22 22 3 14(注意：选择不能确定三角形 )(理) 如图，O 方程为 x2y 24，点 P 在圆上，点 D 在 x 轴上，点 M 在 DP 延长线上，O 交 y 轴于点 N， ，且 .DP ON DM 32DP (1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)设 F1(0， )、F 2(0， )，若过 F1 的直线交(1)中曲线 C
23、 于 A、B 两点，5 5求 的取值范围F2A F2B 解析 (1)设 P(x0，y 0)，M( x，y)， ，Error!，Error!，DM 32DP 代入 x y 4 得， 1.20 20x24 y29(2)当直线 AB 的斜率不存在时，显然 4，F2A F2B 当直线 AB 的斜率存在时，不妨设 AB 的方程为：ykx ，5由Error!得，(94k 2)x28 kx160，5不妨设 A1(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则Error!， (x 1，y 1 )(x2，y 2 )(x 1，kx 12 )(x2，kx 22 )(1 k 2)x1x22 k(x1x 2)20F2A F2
24、B 5 5 5 5 5 20 20 161 k29 4k2 80k29 4k2 96k2 169 4k2第 10 页 共 11 页4 ，2009 4k2k 2 0， 94 k29，0 ，2009 4k2 20094 ，F2A F2B 1649综上所述， 的取值范围是(4， F2A F2B 164924. 在平面直角坐标系内，已知两点 A(1,0) 、B(1,0) ，若将动点 P(x，y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的 倍后得到点 Q(x， y)，且满足 1.2 2 AQ BQ (1)求动点 P 所在曲线 C 的方程；(2)过点 B 作斜率为 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，且
25、0，又点 H 关于原点 O22 OM ON OH 的对称点为点 G，试问 M、G、N、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由解析 (1)设点 P 的坐标为(x ，y)，则点 Q 的坐标为(x ， y)，2依据题意得， (x 1， y)， (x1， y)AQ 2 BQ 2 1，x 212y 21.动点 P 所在曲线 C 的方程是 y 21.AQ BQ x22(2)因直线 l 过点 B，且斜率为 k ，l：y (x1)，22 22联立方程组Error!，消去 y 得，2x 22x10.设 M(x1，y 1)、N (x2，y 2)，Error!y 1y 2 (x11) (x2 1)22 22 (x1x 2) .22 2 22由 0 得， (x 1x 2，y 1y 2)，即 H(1， )，OM ON OH OH 22而点 G 与点 H 关于原点对称，G(1， )，22设线段 MN、GH 的中垂线分别为 l1 和 l2，k GH ，则有22l1：y (x )，l 2：y x.联立方程组Error!24 2 12 2解得 l1 和 l2 的交点为 O1( ， )18 28因此，可算得| O1H| ，982 3282 3118|O1M| .x1 182 y1 282 3118
