1、8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义： 为 端 点 的 线 段以无 轨 迹方 程 为 椭 圆2121,FaPF椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上： )0(12bay.ii. 中心在原点，焦点在 y轴上： x. 一般方程： )0,(12BAyx.椭圆的标准方程： 2ba的参数方程为 sincobyax（一象限 应是属于 20）.顶点： ),0(或 )0,(,.轴：对称轴：x 轴， y轴；长轴长 a2，短轴长 b2.焦点： ),(c或 ),(c.焦距： 221,baF.准线： cx或 cy.离心率： )10(ea.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经
2、.坐标： ),(22abcd和 ),(2共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12bayx的离心率是 2bae，方程tbyax(2是大于 0 的参数， )0ba的离心率也是 ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若 P 是椭圆： 12byax上的点. 21,F为焦点，若 21PF，则 21F的面积为 2tanb（用余弦定理与 F1可得）. 若是双曲线，则面积为 cotb.二、双曲线方程. asinco,()bNyx的 轨 迹 是 椭 圆1. 双曲线的第一定义： 的 一 个 端 点 的 一 条 射 线以无 轨 迹方 程 为 双 曲 线2121,FaPF双曲线 标准方程： )0,(),0,(
3、baxybyax. 一般方程： 12AC.i. 焦点在 x 轴上：顶点： )0,(,a 焦点： )0,(,c 准线方程 cax2 渐近线方程： 0byax或 02byaxii. 焦点在 y轴上：顶点： ),(,. 焦点： ),(c. 准线方程： cy2. 渐近线方程： xy或02bxay，参数方程： tansebyx或 setanybx .轴 ,为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b，焦距 2c. 离心率 ace. 准线距2（两准线的距离）；通径 a2. 参数关系 acebc,. 等轴双曲线：双曲线 22yx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy，离心率 2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴
4、为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 2byax与 2ba互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02ba.共渐近线的双曲线系方程： )0(2byax的渐近线方程为 2yx如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为 .例如：若双曲线一条渐近线为 xy21且过 )21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为： )0(4，代入 ,得 128yx.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：
5、即定点在渐近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.2.若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. xF245若 P 在双曲线 12byax，则常用结论1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.2：P 到焦点的距离为 m = n，则 P 到两准线的距离比为 mn. 简证： ePFd21= nm.三、抛物线方程.3. 设 0p，抛物线的标准方程、类型及其几何
6、性质： pxy2pxy2pyx2pyx2图形 O O x焦点 )0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线 xxyy范围 Ry,0Ry,00,x0,Rx对称轴 轴 轴顶点 （0，0）离心率 1e焦点 12xpPF2xpPF12ypPF12ypPF注： cbya2顶点 )4(abc. )0(px则焦点半径 2x; )0(py则焦点半径为 2y.通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy2（或 py2）的参数方程为 ptyx2（或 2ptyx）（ t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义.4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 l的距离之比为常数 e的点的轨迹.当
7、10e时，轨迹为椭圆；当 1e时，轨迹为抛物线；当 1e时，轨迹为双曲线；当 0e时，轨迹为圆（ ac，当 ba,0时）.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆 双曲线 抛物线1到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值 2a(01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.标准方程 12byax( 0) 12byax(a0,b0) y2=2px方程参数方程 为 离 心 角 ）参 数 (sinco 为 离 心 角 ）参 数 (tnsecptx(t 为参数)范围 axa，b yb |x| a，yR x0中心 原点
8、O（0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0)对称轴 x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长2b.x 轴焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF焦距 2c （c= ba） 2c （c= ba）离心率 )10(ec )1(ece=1准线x= c2x= c22px渐近线 y= abx焦半径 exar)(er2pxr通径 ab2 ab22p焦参数 c2 c2P圆锥曲线一.基本概念练习：1、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x
9、上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 2、已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距离与 P 到该抛物线准线的距x离之和的最小值为 3、抛物线 的焦点坐标是 ，准线方程是 。焦点和准线的形2(0)yax式统一性二、各种不同的考法 考点一：考方程形式练习：1、 ”是”方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ）（）0mn21mxny（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件高2、设椭圆 （ ， ）的焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此21xyn0n28yx
10、12椭圆的方程为 3、曲线 的虚轴长是实轴长的两倍，则 2mxym4、如果 表示焦点在 轴上的椭圆，那么实数 的取值范围是 kyk5、椭圆 的离心率为 ，则 的值为 _2189xy2k6、当 时，曲线 与曲线 的（ ）6m106xym22159xymA离心率相等 B焦距相等 C焦点相同 D形状相同考点二：求圆锥曲线的方程，直译法；代定系数法；定义法；已知渐近线方程为 ，ykx求双曲线方程练习：1、两点 ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包围的（ -2， 0） ， （ 1， ） P|2|ABP图形的面积是 2、设 ,在平面直角坐标系中,已知向量 ,向量 , ,动点mR(1)amxy(1)bxya
11、b的轨迹为 E.求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(,)Mxy3、已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个x面积为 8 的正方形，则椭圆 C 的方程： 4、设椭圆 C1的离心率为 ，焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的35距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 5、已知双曲线的两个焦点为 ， ，P 是此双曲线上的一点，且 ，)0,(1F),5(2 21PF，则该双曲线的方程是 2|1PF考点三、考圆锥曲线的方程的焦点、渐近线、长短轴、离心率 、焦点三角形、抛物线的准线cea方程等
12、基本概念：特别是求离心率（或范围），得到一个关于 、 、 的等量关系式（或不等式）；把 用 、abba代替，得到关于 、 方程（或不等式）；同除 化为关于 方程（或不等式）；cace练习：1、双曲线 的渐近线与圆 相切，则 1362yx )0()3(22ryxr2、椭圆 的焦点为 ，点 P 在椭圆上，若 ，则 ；2912,F1|4F2|P的大小为 12FP3、已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，其一条渐进线方程为 点21(0)xyb1、 2 ,yx在该双曲线上，则 0(,)py12PFA4、设双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为 20xab35、设 和 为双曲线 ( )的两个焦点, 若 ， 是正三角形的1F221y,0b12F， (0,)Pb三个顶点,则双曲线的离心率为 6、过双曲线 C： 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为21xyab(0,)b22xyaA.B，若 （O 是坐标原点），则双曲线线 C 的离心率为 AB
