1、第一章习题解答（一）1设 ，求 及 。32izzArc解：由于 3ie所以 ， 。z2,01,rck2设 ，试用指数形式表示 及 。12,1i2z1解：由于 6412,3iizezie所以 ()64641212iii i。5()461226i iiizee3解二项方程 。40,()a解： 。1244,0,123kiize4证明 ，并说明其几何意义。221112()zz证明：由于 1Re22112()所以 1zzz其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。5设 z1，z 2，z 3三点适合条件： 0321, 1321z。证明 z1，z 2，z 3是内接于单位圆 的一个正三角形
2、的顶点。证 由于 321，知 321z的三个顶点均在单位圆上。因为 z213212121 zzzz所以， 2121z，又 )()( 1212121 zzz3221zz故 321z，同理 3231zz，知 321z是内接于单位圆 1z的一个正三角形。6下列关系表示点 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。（1） ；121,()解：点 的轨迹是 与 两点连线的中垂线，不是区域。zz2（2） ；4解：令 zxyi由 ，即 ，得()i22(4)xyy2x故点 的轨迹是以直线 为边界的左半平面（包括直线 ） ；不是区域。z（3） 1解：令 ，zxyi由 ，得 ，即 ；122(1)()x0故点 的轨迹是以虚轴
3、为边界的右半平面（不包括虚轴） ；是区域。z（4） ；0arg(1),2Re34z且解：令 zxyi由 ，得 ，即0arg(1)42Re3z0arg1423yx0123yx故点 的轨迹是以直线 为边界的梯形（包括直线 ；,xy2,3x不包括直线 ） ；不是区域。0,1y（5） ；2zz且-3解：点 的轨迹是以原点为心，2 为半径，及以 为心，以 1 为半径的两闭圆外部，3z是区域。（6） ；Im1,z且解：点 的轨迹是位于直线 的上方（不包括直线 ） ，且在以原点Im1zIm1z为心，2 为半径的圆内部分（不包括直线圆弧） ；是区域。（7） ；,0arg4zz且解：点 的轨迹是以正实轴、射线
4、及圆弧 为边界的扇形（不包括边界） ，arg4z1z是区域。（8） 131,22izzi且解：令 xyi由 ，得123zi21()43xy故点 的轨迹是两个闭圆 的外部，是区域。z22131(),()44xyxy7证明：z 平面上的直线方程可以写成 Cza（ a 是非零复常数，C 是实常数）证 设直角坐标系的平面方程为 将AB代入，得11Re(),Im()22xzzyzziCzBAzBA)i()i(21令)i(a，则)i(21a，上式即为 Cza。反之：将 ，代入 za,zxyii得 ()()aac则有 ；即为一般直线方程。AxByC8证明： 平面上的圆周可以写成z0.zc其中 A、C 为实数
5、， 为复数，且 。,2AC证明：设圆方程为 2()0AxyBDyC其中 当 时表实圆；0,24A将 代入，得2 11,(),()22xyzxzyzi1()()02AzBDiBic即 0.zc其中11(),()22iDi且 ；44BDAC反之：令 代入,zxyiabi 20()zzcAC得 其中2()0,A2,Bab即为圆方程。10求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。（1） tzi)(； （2） tbtazsinco；（3） ti； （4） 2it，解（1） ttyxtyxz ,)i1(i。即直线 xy。（2）20,sincosincoi ttbatbtaz，即为椭圆 12byax；（3） t
6、yxtyxz1ii，即为双曲线 1xy；（4） 221ii tyxtyxz，即为双曲线 1xy中位于第一象限中的一支。11函数 zw1将 z 平面上的下列曲线变成 w平面上的什么曲线 ivuwiyxz,？（1） xy； （2） 12yx解 221iyxiz， 22,yxvxu，可得（1）vyxu222是 w平面上一直线；（2） 211222 yxyx，于是 u，是 w平面上一平行与 v 轴的直线。13试证 )arg(rzz在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在 z 平面上处处连续。证 设 zfr)(，因为 f(0)无定义，所以 f(z)在原点 z=0 处不连续。当 z0为负实轴上的点时，即
7、0(0xz，有xyzyxyxzarctnlimtliargli000所以 zzrli0不存在，即 zrg在负实轴上不连续。而 argz 在 z 平面上的其它点处的连续性显然。14 设0z ,0,623yxxyzf求证 zf在原点处不连接。证 由于 01limlilim42062400 xxzfxxyz21limli 6003 yzfyyxz可知极限 fz0li不存在，故 zf在原点处不连接。16. 试问函数 f(z) = 1/(1 z )在单位圆| z | 0，故 f(z)在单位圆| z | 0，N +，使得n N，有| z n z0 | 0，N1+，使得n N1，有| x n x0 | N2
8、，有| y n y0 | N，有 n N1 且 n N2，故有| z n z0 | = | (xn x0) + i (yn y0) | | xn x0 | + | yn y0 | 0，K +，使得n K，有| zn z0 | K 时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n z0 | = | (z1 z0) + (z2 z0) + . + (zn z0) |/n ( | z1 z0 | + | z2 z0 | + . + | zn z0 |)/n = ( | z1 z0 | + . + | zK z0 |)/n + ( | zK +1 z0 | + . + | zn z0 |)/n M/
9、n + (n K)/n ( /2) M/n + /2因 lim n (M/n) = 0，故 L+，使得n L，有 M/n K 时，有| (z1 + z2 + . + zn)/n z0 | M/n + /2 0 | (1 z)/(1 + z) | 0 点 z 在 y 轴右侧 点 z 在点1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的右侧 点 z 在点1 和点 1 为端点的线段的垂直平分线的与 1 同侧的那一侧 点 z 到点1 的距离大于点 z 到点 1 的距离 |1 + z | | 1 z | | (1 z)/(1 + z) | | 1 z | |1 + z |2 | 1 z |2 1 + z2 + 2Re(z) 1 + z2 2Re(z) Re(z) 0由本题结论，可知映射 f(z) = (1 z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点并且容易看出，映射 f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？ f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？ m+，m +， 1, 2, ., n lim n，+n 0， un， n 1 un，m， 0， 0， 【解】 0, 2 l 2 dx，f(x) = (, +), 1 k n un，0, 2
