大学微积分l知识点总结(一).docx

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1、1大学微积分 l 知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识1、不等式:ab23abcann2121.aa.aa33 2bab1a2ba-an21 n21x.y px.x的 最 大 值 为 :则 为 常 数, 且扩 展 : 若 有柯西不等式:设 a1、a 2、.a n,b 1、b 2、. bn均是实数,则有:2212212n21 .ab.ab nnb时 取 等 号为 常 数 ,当 且 仅 当 , .3,iii 2、函数周期性和对称性的常用结论1、若 f(x+a)=f(x+b),则 f(x)具有周期性;若 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)具有对称性。引申 n2.121.双向不等式: 两侧均在

2、 ab0 或 ab0 时取等号2口诀:“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性(1)若 f(x+a)=f(b+x),则 T=|b-a|(2)若 f(x+a)=-f(b+x),则 T=2|b-a|(3)若 f(x+a)=1/f(x),则 T=2a(4)若 f(x+a)=【1-f(x)】/【1+f(x)】,则 T=2a(5)若 f(x+a)=【1+f(x)】/【1-f(x)】,则 T=4a3、对称性(1)若 f(a+x)=f(b-x),则 f(x)的对称轴为 x=(a+b)/2(2)若 f(a+x)=-f(b-x)+c,则 f(x)的图像关于(a+b)/2,c/2)对称4、函数图象同时具备两种

3、对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴和一个对称中心,则函数必定为周期函数,反之亦然。(1)若 f(x)的图像有两条对称轴 x=a 和 x=b,则 f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 2|b-a|。(2)若 f(x)的图像有两个对称中心(a,0)和(b,0),(ab),则f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 2|b-a|。(3)若 f(x)的图像有一个对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0),(ab),则 f(x)必定为周期函数,其中一个周期为 4|b-a|。3、三角函数lnsi正 弦 lmcos余 弦 mnta正 切Lm n 3nmcot余 切 mlsec正 割 nlcs余 割

4、倒数关系:cot1ta cs1insec1o商的关系:csetancosi secotsin平方关系: 1cotansi22平常针对不同条件的两个常用公式: 1cottansi2一个特殊公式:-sinisin-sin二倍角公式: AA22tan-1t sin-1sicosi半角公式:4sinaco1-i2acot s-snca21acoos-sin2三倍角公式: a-3tnatan3t coscso4cs a-3inaina3i 万能公式: 2atn-1ta2atn1-cosa2atn1sia两角和公式:5tan1-t-tansincos-cos-iini sss和差化积公式: 21-cos2

5、1sinisn-sincossi-21-cos21cscos -sinsin-c-s BABAta1tcositantn-t-int-积化和差公式: 21-sinsicosinco-scs-si 口诀:奇变偶不变,符号看象限6原 式 得 证 ,由 题 ,证 : 设 , 其 中证 明 : 222bax xbcosasin1ixbcbsiacosnbatniaiMAA4、数学归纳法数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。例如:前 n 个奇数的总和是 n2,那么前 n 个偶数的总和是:n 2+n最简单和

6、最常见的数学归纳法证明方法是证明当 n 属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成:递推的基础:证明当 n=1 时表达式成立递推的依据:证明如果当 n=m 时成立,那么当 n=m+1 时同样成立(1)第一数学归纳法证明当 n 取第一个值 n0时命题成立,n 0对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情况假设 n=k(kn 0,k 为自然数)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立(2)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 P(n)验证 n=n0时 P(n) 成立假设 n0nk 时 P(n) 成立,并在此基础上,推出 P(k+1) 成立(3)倒推归纳法验证对于无穷多个自然数

7、 n 命题 P(n) 成立7假设 P(k+1) 成立,并在此基础上,推出 P(n) 成立(4)螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题验证 n=n0时 P(n) 成立假设 P(k) (kn 0)成立,能推出 Q(k) 成立,假设 Q(k) 成立,能推出P(k) 成立。5、初等函数的含义概念:初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。【有理运算:加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数:对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6、 二项式定理:即二项展开式,即(a+b)

8、n的展开式 nk-n1-n0n b.a.baCba C称 为 二 次 项 系 数其 中 kn 表 示项 , 用项 , 它 是 第叫 做 二 次 项 展 开 式 的 通 1kk-kn kba T-nk1-n.1-kkn CC!其 中 ,7、高等数学中代换法运用技巧倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替,此种方法被称为“倒代换”法增量代换8若题目中已知 xm,则引入辅助元 x=m+a(a0),再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法”三角代换 222axax、双代换 nyxlim8、其他一些知识点(1)0 不是正数,不是负数。是自然数。0 是偶数,偶数分为:正

9、偶数、负偶数和 0(2)正偶数称为“双数”(3)正常数:常数中的正数(4)质数:又称“素数”。一个大于 1 的自然数,如果除了 1 和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否则称为“合数”。最小的质(素)数是 2。1 既不是素数,也不是合数。(5)exp:高等数学中,以自然对数 e 为底的指数函数(6)在数学符号中,sup 表示上界;inf 表示下界(7):表示恒等于(8)0 的阶乘是 1.阶乘是一个递推定义,递推公式为:n!=n(n-1)!因为 1的阶乘为 1,即 1!=10!,故 0!=1【第二部分】函数与极限常用结论(等价无穷小很重要)nx1:引入两个辅助元进行代换9x1e时 成 立 1

10、-xln1x1ee1n-其中, ,e 为初等函数,又称“幂指函数”,e 即根据此公式得到,1ne2.718 1n-261n2.22233n.11-as.nn21-n2-n1-n b.ab1-m2-m1-m1 .-abxvxxx aulibavli0auli 00 , 则为 常 数、,若ef1x1一些重要数列的极限:10xln1 x1-exlna1-arcsinrct另一些重要的数列极限:0kn1lim为 常 数 1q0limn1alimn为 常 数! alin linxsi0x时 , xta2x1cos-列举一些趋向于 0 的函数:0ln1ac-nbq1ban , , ,柯西极限存在准则:柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数 ,存在这样的正整数 N,使得当 mN,nN 时就有|x n-xm|。这个准则的几何意义表示,数列X n收敛的充分必要条件是:该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。夹逼定理的两个条件:左右极限存在;左右极限相等【极限计算的技巧总结(不包含教材介绍的方法以及公式):】(1)洛比达法则设函数 f(x)和 F(x)满足下列条件:xa 时, f(x)=0, F(x)=0;limli

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