1、六年综合奥数题一、工程问题 1甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16 小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/169/80 表示甲乙的工作效率 9/80545/80表示5小时后进水量 1-45/8035/80表示还要的进水量 35/80（9/80-1/10）35表示还要35小时注满 答：5小时后还要35 小时就能将水池注满。 2修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30 天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之
2、四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30 ，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效甲的工效 乙的工效。 又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x ）天 1/20*（16-x）+7/100*x1 x10 答：甲乙最短合作 10天 二鸡兔同笼问题 1鸡与兔共100只, 鸡的腿数比兔
3、的腿数少28条, 问鸡与兔各有几只 ? 解： 4*100 400，400-0400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。 400-28 372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28 只，相差372只，这是为什么？ 4+2 6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396只） ，鸡的总脚数就会增加2只（从0 只到2 只） ，它们的相差数就会少4+26 只（也就是原来的相差数是400-0 400，现在的相差数为396-2 394，相差数少了400-3946 ） 372662 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔
4、子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只 100-62 38表示兔的只数 三数字数位问题 1把1 至 2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.2005,这个多位数除以9 余数是多少? 解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9 整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9 得的余数。 解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 ；45能被9整除 依次类推：11999这些数的个位上的数字之和可以被9整除 1019，20299099 这些数中十位上的数字都出现了 1
5、0次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+90=450 它有能被9整除 同样的道理，100900 百位上的数字之和为4500 同样被 9整除 也就是说1999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除； 同样的道理：10001999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9 整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005 从10001999千位上一共999个“1” 的和是999，也能整除； 200020012002200320042005的各位数字之和是 27，也刚好整除。 最后答案为余数为0。 四排列组合问题 1有五
6、对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ） A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中 解： 根据乘法原理，分两步： 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有54321120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5 个重复，因此实际排法只有120524种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2222232种 综合两步，就有2432768 种。 2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 解： 5全排列5*4*3*2*1=120
7、 有两个l所以120/2=60 原来有一种正确的所以60-1=59 五容斥原理问题 1 有100 种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种, 那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值68+43-100 11 最大值就是含铁的有43种 2在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3) 只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生
8、中,有一半没有解出第一题 ,那么只解出第二题的学生人数是( ) A，5 B， 6 C，7 D，8 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1 题，只答第2题，只答第3题，只答第1、 2题，只答第1 、3题，只答2、3题，答1 、2、3 题。 分别设各类的人数为a1、a2 、a3、a12、a13、a23、a123 由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a12325 由（2）知：a2+a23（a3+ a23）2 由（3）知：a12+a13+a123 a11 由（4）知：a1a2+a3 再由得a23a2 a32 再由得a12+a13+a123 a2+a31
9、 然后将代入中，整理得到 a24+a326 由于a2、 a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a26、5、4、3、2、1时， a32 、6、10、14、18 、22 又根据a23a2a32可知：a2a3 因此，符合条件的只有a26，a32 。 然后可以推出a18，a12+a13+a123 7 ，a232 ，总人数 8+6+2+7+225，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a26人。 六抽屉原理、奇偶性问题 1一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？ 解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证
10、有一副同色的，就是 1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1 副同色的后 4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。 把四种颜色看做4个抽屉，要保证有 3副同色的，先考虑保证有 1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4 个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2只手套，又能保证有 1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只） 答：最少要摸出9只手套，才能保证有 3副同色的。 2有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2 件，至少有几个人去取，才能保证有3 人能取
11、得完全一样？ 答案为21 解： 每人取1件时有4种不同的取法, 每人取2 件时,有6种不同的取法. 当有11 人时 ,能保证至少有2人取得完全一样: 当有21 人时 ,才能保证到少有3 人取得完全一样. 七路程问题 1狗跑5 步的时间马跑3 步，马跑4 步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？ 解： 根据“ 马跑 4步的距离狗跑7步” ，可以设马每步长为7x 米，则狗每步长为4x 米。 根据“ 狗跑 5步的时间马跑3步” ，可知同一时间马跑3*7x 米21x米，则狗跑5*4x20米。 可以得出马与狗的速度比是21x：20x 21：20 根据“ 现在狗已跑
12、出30 米”，可以知道狗与马相差的路程是30 米，他们相差的份数是21-201，现在求马的21份是多少路程，就是 30（21-20）21630米 2甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点 40千米处相遇？已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？ 答案720千米。 由“甲车行完全程要8 小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份） ，两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）（10-8） （10+8 ）720千米。 八比例问题 1甲乙两人在
13、河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条, 正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快 答案：甲收8元，乙收2元。 解： “三人将五条鱼平分，客人拿出10元” ，可以理解为五条鱼总价值为30 元，那么每条鱼价值6 元。 又因为“甲钓了三条” ，相当于甲吃之前已经出资3*618元， “乙钓了两条” ，相当于乙吃之前已经出资2*6 12 元。 而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以 甲还可以收回18-108元 乙还可以收回12-102元 刚好就是客人出的钱。 2一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1 ，但仍保持原售价，因此，每份利润下
14、降了5分之2 ，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？ 答案22/25 最好画线段图思考： 把去年原来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高1/10，就是22份，利润下降了2/5 ，今年的利润只有 3份。增加的成本2份刚好是下降利润的 2份。售价都是25份。 所以，今年的成本占售价的22/25。 过桥问题（1） 1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长 6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？ 分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。 总路程：
15、（米） 通过时间： （分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。 2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30 秒钟，这列火车每秒行多少米？ 分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。 总路程： （米） 火车速度： （米） 答：这列火车每秒行30米。 和倍问题 1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？ 我们把秦奋的年龄作为1倍， “妈妈的年龄是秦奋的4 倍” ，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当
16、于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（41 ）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？ （1 ）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4 15 （倍） （2 ）秦奋的年龄：4058岁 （3 ）妈妈的年龄：8432岁 综合：40（41）8岁 8432岁 为了保证此题的正确，验证 （1 ） 8 3240岁 （2）3284 （倍） 计算结果符合条件，所以解题正确。 2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3 小时共飞行 3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它们的速度各是多少？ 已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这
17、个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的2倍？ 思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？ （2 ）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？ （3 ）如果把哥哥剩下的课外书看作1 倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？ 思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书
18、看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的 2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。 （1 ）兄弟俩共有课外书的数量是202545。 （2 ）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2 13。 （3 ）哥哥剩下的课外书的本数是45315。 （4 ）哥哥给弟弟课外书的本数是251510。 试着列出综合算式： 列方程组解应用题（一） 1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底 43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？ 依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。 两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数 B制出的盒身数2=制出的盒底数 用86 张白铁皮做盒身，64 张白铁皮做盒底。
