1、第 1 页（共 52 页）第五讲 全等三角形与角平分线 (综合与拔高) 一选择题（共 10 小题）1如图四边形 ABCD 中，ADBC，BCD=90 ，AB=BC+AD，DAC=45，E 为CD 上一点，且BAE=45若 CD=4，则ABE 的面积为（ ）A B C D2如图，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且 MPN 与AOB 互补，若MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成立；（2）OM+ON 的值不变；（3）四边形PMON 的面积不变；（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（ ）A4 B3 C2 D1
2、3如图，在 RtABC 中，C=90 ，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=4，AB=15，则ABD 的面积是（ ）A15 B30 C45 D604如图，AD 是ABC 中 BAC 的角平分线，DEAB 于点 E，S 第 2 页（共 52 页）ABC=7，DE=2 ，AB=4，则 AC 长是（ ）A3 B4 C6 D55如图，在ABC 中， ABC=50，ACB=60，点 E 在 BC 的延长线上，ABC 的平分线 BD 与ACE 的平分线
3、CD 相交于点 D，连接 AD，下列结论中不正确的是（ ）ABAC=70 BDOC=90 CBDC=35 DDAC=556如图，在ABC 中， C=90，AC=BC=4 ，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE 是等腰直角三角形；四边形 CEDF 不可能为正方形；四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化；点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7如图，OP 平分AOB，PA OA ，P
4、B OB，垂足分别为 A，B下列结论中不一定成立的是（ ）第 3 页（共 52 页）APA=PB BPO 平分APB COA=OB DAB 垂直平分 OP8如图，直线 l1、l 2、l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A1 处 B2 处 C3 处 D4 处9如图，在ABC 中，AQ=PQ，PR=PS ，PRAB 于 R，PS AC 于 S，则三个结论AS=AR ； QPAR；BPRQSP 中（ ）A全部正确 B仅和 正确 C仅正确 D仅和正确10如图，AOB=30，OP 平分AOB，PC OB，PDOB，如果 PC=6，那么P
5、D 等于（ ）A4 B3 C2 D1二填空题（共 10 小题）11如图，已知ABEACF，E=F=90，CMD=70，则2= 第 4 页（共 52 页）度12已知ABC 中，AB=BCAC，作与ABC 只有一条公共边，且与ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个13AB 是四边形 ACBE 的对角线，AB=AC，过点 C 作 CDAE 交 BE 于 D若AE=DE，ACD=45，BD=1，CD=5，则 AE= 14如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，ABOADO下列结论：ACBD；CB=CD；ABC ADC；DA=DC其中所有正确结论的序号是 15如图，AB=1
6、2，CA AB 于 A，DB AB 于 B，且 AC=4m，P 点从 B 向 A 运动，每分钟走 1m，Q 点从 B 向 D 运动，每分钟走 2m，P、Q 两点同时出发，运动 分钟后CAP 与PQB 全等第 5 页（共 52 页）16如图，ABC 中， C=90，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，GMB= A，BGMG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H若 MH=8cm，则BG= cm17如图，已知在ABC 中，A=90，AB=AC，CD 平分ACB ，DEBC 于 E，若 BC=15cm，则 DEB 的周长为 cm18在 RtABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D
7、，若 BC=15，且BD：DC=3：2，则 D 到边 AB 的距离是 19如图，已知 RtABCRtDEC，连结 AD，若1=20，则B 的度数是 第 6 页（共 52 页）20如图，ABC 中， ACB=90，AC=6cm，BC=8cm点 P 从 A 点出发沿 AC路径向终点 C 运动；点 Q 从 B 点出发沿 BCA 路径向终点 A 运动点 P 和 Q 分别以每秒 1cm 和 3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PEl 于 E，QF l 于 F则点 P 运动时间为 时，PEC 与QFC 全等三解答题（共 15 小题）21如图
8、，在ABC 中， AC=BC，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一点（1）直线 BF 垂直于 CE 于点 F，交 CD 于点 G（如图 l） ，求证：AE=CG；（2）直线 AH 垂直于 CE，垂足为 H，交 CD 的延长线于点 M（如图 2） ，找出图中与 BE 相等的线段（不需要添加辅助线） ，并说明理由22如图，已知ABC 中， AB=AC=10cm，BC=8cm，点 D 为 AB 的中点如果点P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由点 B 向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向 A 点运动（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度
9、相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP是否全等，请说明理由（2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？第 7 页（共 52 页）23已知ABC ，点 D、F 分别为线段 AC、AB 上两点，连接 BD、CF 交于点 E（1）若 BD AC，CFAB，如图 1 所示，试说明BAC+BEC=180；（2）若 BD 平分 ABC ，CF 平分ACB，如图 2 所示，试说明此时BAC 与BEC 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若BAC=60，试说明：EF=ED24如图，四边形 ABCD 中，B=90，AB CD ， M 为 BC
10、 边上的一点，且 AM平分BAD， DM 平分ADC求证：（1）AMDM；（2）M 为 BC 的中点25如图，已知1=2，P 为 BN 上的一点，PF BC 于 F，PA=PC求证：PCB+BAP=180第 8 页（共 52 页）26如图 1，OA=2，OB=4，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC（1）求 C 点的坐标；（2）如图 2，P 为 y 轴负半轴上一个动点，当 P 点向 y 轴负半轴向下运动时，以 P 为顶点，PA 为腰作等腰 RtAPD，过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值27如图 1，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC ，且 AC=
11、BC；EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP（1）示例：在图 1 中，通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系答：AB 与 AP 的数量关系和位置关系分别是 、 （2）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连结AP，BQ请你观察、测量，猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系答：BQ 与 AP 的数量关系和位置关系分别是 、 （3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连结 AP、BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与
12、AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由第 9 页（共 52 页）28如图，ABC=90 ，D、E 分别在 BC、AC 上，ADDE，且 AD=DE，点 F 是AE 的中点，FD 与 AB 相交于点 M（1）求证：FMC=FCM ；（2）AD 与 MC 垂直吗？并说明理由29如图，ABC 中， BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E在ABC 外有一点 F，使 FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME求证：MEBC ；DE=D
13、N30问题背景：如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F 分别是 BC， CD 上的点且EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明ABEADG，再证明AEF AGF，可得出结论，他的结论应是 ；第 10 页（共 52 页）探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B +D=180E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 3
14、0的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以 80 海里/小时的速度前进 .1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离31如图，在ABC 中， ACB=90 ，AC=BC，E 为 AC 边的中点，过点 A 作ADAB 交 BE 的延长线于点 D，CG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接 CF，且ACF=CBG求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE32如图，点 E 是AOB 的平分线上一点，EC OA，EDOB，垂足分别为C、 D求证：（1）ECD= EDC；（2）OC=OD ；（3）OE 是线段 CD 的垂直平分线
