1、第 1 页 共 11 页9.2 直线与平面平行知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.点击双基1.设有平面 、 和直线 m、 n，则 m 的一个充分条件是A. 且 m B. =n 且 m nC.m n 且 n D. 且 m 答案：D2.设 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是若
2、 m ， n ，则 m n 若 ， ， m ，则 m 若 m ， n ，则 m n 若 ， ，则 A. B. C. D.解 析 ： 显 然 正 确 . 中 m 与 n 可 能 相 交 或 异 面 . 考 虑 长 方 体 的 顶 点 ， 与 可 以 相 交 .答案：A3.一 条 直 线 若 同 时 平 行 于 两 个 相 交 平 面 ， 那 么 这 条 直 线 与 这 两 个 平 面 的 交 线 的 位 置 关 系 是A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定解析：设 =l， a ， a ，过直线 a 作与 、 都相交的平面 ，记 =b， =c，则 a b 且 a c， b c.又 b ， =l
3、， b l. a l.abcl ab g答案：C4.(06 重庆卷) 对于任意的直线 l 与平同 a,在平面 a 内必有直线 m,使 m 与 lA.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线解析：对于任意的直线 与平面 ，若 在平面 内，则存在直线 m ；若 不在平面 内，l且 ，则平面 内任意一条直线都垂直于 ，若 不在平面 内，且 于 不垂直，则它的射影在平面l ll 内为一条直线，在平面 内必有直线 垂直于它的射影，则 与 垂直，m综上所述，选 C.5.已知平面 和直线，给出条件： ； ； ； ； ., /m/（i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有 .第 2 页 共 11
4、 页（填所选条件的序号）典例剖析【例 1】 如下图，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB， M AC， N FB 且AM=FN，求证： MN平面 BCE.QABCDMPFEN证法一：过 M 作 MP BC， NQ BE， P、 Q 为垂足（如上图） ，连结 PQ. MP AB， NQ AB， MP NQ.又 NQ= BN= CM=MP， MPQN 是平行四边形.2 MN PQ， PQ 平面 BCE.而 MN 平面 BCE， MN平面 BCE.证法二：过 M 作 MG BC，交 AB 于点 G（如下图） ，连结 NG.GABCD MFEN MG BC， BC 平面 BC
5、E， MG 平面 BCE， MG平面 BCE.又 = = ， GN AF BE，同样可证明 GN平面 BCE.GABMCNF又面 MG NG=G，平面 MNG平面 BCE.又 MN 平面 MNG. MN平面 BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例 2】 已知正四棱锥 PABCD 的底面边长及侧棱长均为 13， M、 N 分别是 PA、 BD 上的点，且PM MA=BN ND=58.A BCD EOMNP（1）求证：直线 MN平面 PBC；（2）
6、求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角.（1）证明： PABCD 是正四棱锥， ABCD 是正方形.连结 AN 并延长交 BC 于点 E，连结 PE. AD BC， EN AN=BN ND.又 BN ND=PM MA， EN AN=PM MA. MN PE.又 PE 在平面 PBC 内， MN平面 PBC.第 3 页 共 11 页（2）解：由（1 ）知 MN PE， MN 与平面 ABCD 所成的角就是 PE 与平面 ABCD 所成的角.设点 P 在底面 ABCD 上的射影为 O，连结 OE，则 PEO 为 PE 与平面 ABCD 所成的角.由正棱锥的性质知 PO= = .2BP13由（1）
7、知， BE AD=BN ND=58 ， BE= .865在 PEB 中， PBE=60， PB=13， BE= ，根据余弦定理，得 PE= .891在 Rt POE 中， PO= ， PE= ，23sin PEO= = .PEO74故 MN 与平面 ABCD 所成的角为 arcsin .724【例 3】 如图, 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC3， BC4， AA14，点 D 是 AB 的中点，（I）求证： AC BC1； （II）求证： AC 1/平面 CDB1；（III）求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值解析：（I）直三棱柱 ABCA 1B1C1，底面三边长AC=3，BC
8、=4,AB=5， ACBC ，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC， ACBC 1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE， D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DE/AC 1， DE 平面 CDB1，AC 1 平面 CDB1， AC 1/平面 CDB1；（III） DE/AC 1， CED 为 AC1与 B1C 所成的角，在CED 中，ED= AC 1= ，CD= AB= ，CE= CB1=2 ，25252 ，8cosCED 异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值 .25闯关训练第 4 页 共 11 页夯实基础1. （ 07 福建理）已知 m、n 为两条
9、不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. ， n B. ， ， m nn,n,C. m ， m n n D. n m,n m解析：A 中 m、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确； C 中n 可以在 内，不正确，选 D2.（ 06 福建卷）对于平面 和共面的直线 m、 n，下列命题中真命题是A.若 m ， m n，则 n B.若 m ， n ，则 m nC.若 m ， n ，则 m n D.若 m、 n 与 所成的角相等，则 n m解：对于平面 和共面的直线 、 真命题是“若 则 ”， 选 C., , 3.（ 06 湖南卷）过平行六面体
10、ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中 点作直线,其中与平面 DBB1D1平行的直线共有 ( )A. 4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条解：如图，过平行六面体 任意两条棱的中点1A作直线, 其中与平面 平行的直线共有 12 条，选 D.1B4.(06 重庆卷) 若 是平面 外一点，则下列命题正确的是PA.过 只能作一条直线与平面 相交 B.过 可作无数条直线与平面 垂直PC.过 只能作一条直线与平面 平行 D.过 可作无数条直线与平面 平行解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选 D5.如图，在三棱柱 ABCABC 中，点
11、E、F、H 、 K 分别为 AC、CB、AB、BC的中点，G 为ABC 的重心. 从 K、H、G、B 中取一点作为 P， 使得该棱柱恰有2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为 （ C ）AK BH CG DB6.已知 a、 b 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 a、 b 在 上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号）解析： A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行；AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直；DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点
12、.AA BCDBCD1 1 11答案：7.已知 Rt ABC 的直角顶点 C 在平面 内，斜边 AB ， AB=2 ， AC、 BC 分别和平面 6成 45和 30角，则 AB 到平面 的距离为_.1 111ABCDD CBA第 5 页 共 11 页解析：分别过 A、 B 向平面 引垂线 AA、 BB，垂足分别为 A、 B.aAA BBC 设 AA= BB= x，则 AC2=（ ） 2=2x2，o45sinBC2=（ ） 2=4x2.又 AC2+BC2=AB2，6 x2=（2 ） 2， x=2. 答案：2o30sin 68、 （07 江西）右图是一个直三棱柱（以 A1B1C1为底面）被一平面所
13、截得到的几何体，截面为 ABC已知 A1B1B 1C1l，A lBlC190，AA l4 ，BB l2，CC l3。（I）设点 O 是 AB 的中点，证明：OC平面 A1B1C1；（II）求二面角 BACA1的大小；（）求此几何体的体积；解法一：（1 ）证明：作 交 于 ，连 1D 1D则 因为 是 的中点，1DC B所以 11()32OA则 是平行四边形，因此有 1 OCD平面 且 平面 ，CD1B1BA则 面 O A（2）如图，过 作截面 面 ，分别交 ， 于 ， 2C 11AC2作 于 ，连 2BHH因为 面 ，所以 ，则 平面 1C2A1B1又因为 ， ， 5223CAC所以 ，根据三
14、垂线定理知 ，所以 就是所求二面角的平面角BBH因为 ，所以 ，故 ，2H1sin2BH 30即：所求二面角的大小为 30（3）因为 ，所以 2B221121()33BACACVSBA121ACACVSAxCO1B1H22第 6 页 共 11 页B C DAPEGHB C DAPE所求几何体体积为 2123BACBACV解法二：（1）如图，以 为原点建立空间直角坐标系，1则 ， ， ，因为 是 的中点，(04)A， ， (2)B， ， (03)C， ， OAB所以 ， 3O， ， 1， ，易知， 是平面 的一个法向量(0)n， ， 1A因为 ， 平面 ，所以 平面 CA1BCO 1ABC（2）
15、 ， ，(2)B， ， (0)， ，设 是平面 的一个法向量，则mxyz， ，则 ， 得：0ACA20yzx取 ， 1xz(21)， ，显然， 为平面 的一个法向量(0)l， ，则 ，结合图形可知所求二面角为锐角03cos26mllA，所以二面角 的大小是 1BC（3）同解法一培养能力9.如图，在底面是菱形的四棱锥 PABC中，ABC=60 0，PA=AC= a，PB=PD= ,a2点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1.（I）证明 PA平面 ABCD；（II）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角 的大小；（）在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF/平面 AEC？证明你的
16、结论.（）证明 因为底面 ABCD 是菱形，ABC=60，所以 AB=AD=AC=a， 在PAB 中，由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PAAB.同理，PAAD，所以 PA平面 ABCD.（）解 作 EG/PA 交 AD 于 G，ABCO11xzy第 7 页 共 11 页zyxB CDAPEFOB CDAPEFM由 PA平面 ABCD.知 EG平面 ABCD.作 GHAC 于 H，连结 EH，则 EHAC， EHG 即为二面角 的平面角.又 PE : ED=2 : 1，所以 .360sin,32,1aAGaEG从而 ,3tan.0（）解法一 以 A 为坐标原点，直线 AD、AP 分别为
17、y 轴、z 轴，过 A 点垂直平面 PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 ).0,21(),021,(),0( aCaBA.3EPaD所以 ).0,21(),13,0(aAa.,CA).,21(aBP设点 F 是棱 PC 上的点， 则,10),21,3( 其 中aPF,),213(aa令 得.(,),2( AECBF21.31,4,.31)(,22,33 2121 即aaa解得 即 时，.3,21 .231AECBF亦即，F 是 PC 的中点时， 、 、 共面.BFACE又 BF 平面 AEC，所以当 F 是棱 PC 的中点时，BF/平面 AEC.解
18、法二 当 F 是棱 PC 的中点时，BF/平面 AEC，证明如下，证法一 取 PE 的中点 M，连结 FM，则 FM/CE. 由 知 E 是 MD 的中点.,21DPE连结 BM、BD，设 BD AC=O，则 O 为 BD 的中点. 所以 BM/OE. 由、知，平面 BFM/平面 AEC.又 BF 平面 BFM，所以 BF/平面 AEC.证法二第 8 页 共 11 页因为 )(2121DPCAPBCF.3)(233EADEAD所以 、 、 共面.BFAC又 BF 平面 ABC，从而 BF/平面 AEC.探究创新10.如下图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA1= AB，点 E、 M
19、 分别为 A1B、 C1C 的中点，2过点 A1、 B、 M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1于点 N.AADD BBCC111 1M N E（1）求证： EM平面 A1B1C1D1；（2）求二面角 BA1NB1的正切值；（3）设截面 A1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 V1、 V2（ V1 V2） ，求 V1 V2的值 .（1）证明：设 A1B1的中点为 F，连结 EF、 FC1. E 为 A1B 的中点， EF B1B.2AA BBCCDDEFN MPH11 11又 C1M B1B， EF MC1.2四边形 EMC1F 为平行四边形. EM FC1. EM 平面 A1
20、B1C1D1，FC1 平面 A1B1C1D1， EM平面 A1B1C1D1.（2）解：作 B1H A1N 于 H，连结 BH. BB1 平面 A1B1C1D1， BH A1N. BHB1为二面角 BA1NB1的平面角. EM平面 A1B1C1D1， EM 平面 A1BMN，平面 A1BMN平面 A1B1C1D1=A1N， EM A1N. 又 EM FC1， A1N FC1.又 A1F NC1，四边形 A1FC1N 是平行四边形. NC1=A1F.设 AA1=a，则 A1B1=2a， D1N=a.在 Rt A1D1N 中，A1N= = a， sin A1ND1= = .225ND52第 9 页
21、共 11 页在 Rt A1B1H 中， B1H=A1B1sin HA1B1=2a = a.524在 Rt BB1H 中，tan BHB1= = = .a54（3）解：延长 A1N 与 B1C1交于 P，则 P平面 A1BMN，且 P平面 BB1C1C.又平面 A1BMN平面 BB1C1C=BM， P BM，即直线 A1N、 B1C1、 BM 交于一点 P.又平面 MNC1平面 BA1B1，几何体 MNC1BA1B1为棱台. S = 2aa=a2， S = a a= a2，1BA21MNC41棱台 MNC1BA1B1的高为 B1C1=2a， V1= 2a（ a2+ + a2）= a3，3467
22、V2=2a2aa a3= a3. = .67217思悟小结1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外.2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.教学点睛1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.2.证 明 线 面 平 行 是 高 考 中 常 见 的 问 题 ， 常 用 的 方 法 就 是 证 明 这 条 线 与 平 面 内 的 某 条 直 线 平 行 .拓展题例【例 1】 在直三棱柱
23、 ABCA1B1C1中， AB1 BC1， AB=CC1=a， BC=b.AA CBB CEG F1 11（1）设 E、 F 分别为 AB1、 BC1的中点，求证： EF平面 ABC；（2）求证： A1C1 AB；（3）求点 B1到平面 ABC1的距离.（1）证明： E、 F 分别为 AB1、 BC1的中点， EF A1C1. A1C1 AC， EF AC. EF平面 ABC.（2）证明： AB=CC1， AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，四边形 ABB1A1为正方形.连结 A1B，则 A1B AB1.又 AB1 BC1， AB1平面 A1BC1. AB1 A1C1.第 10 页 共 11 页
24、又 A1C1 AA1， A1C1平面 A1ABB1. A1C1 AB.（3）解： A1B1 AB， A1B1平面 ABC1. A1到平面 ABC1的距离等于 B1到平面 ABC1的距离.过 A1作 A1G AC1于点 G， AB平面 ACC1A1， AB A1G.从而 A1G平面 ABC1，故 A1G 即为所求的距离，即 A1G= .ba2评述：本题（3）也可用等体积变换法求解 .2、 （07 全国）如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD底面ABCD，E 、F 分别是 AB、 SC 的中点。()求证：EF平面 SAD；()设 SD = 2CD，求二面角 AEFD
25、 的大小；解法一：（1 ）作 交 于点 ，则 为 的中点DC SS连结 ，又 ，故 为平行四边形12AG ， AB FGE ，又 平面 平面 ，所以 平面 EF S（2）不妨设 ，DC则 为等腰直角三角形42A， ， 取 中点 ，连结 ，则 AGHHG又 平面 ，所以 ，而 ，B SBD A所以 面 EF取 中点 ，连结 ，则 MEF连结 ，则 D故 为二面角 的平面角A2tan1H所以二面角 的大小为 EFarctn2解法二：（1 ）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz设 ，则(0)()AaSb， ， ， ， ， (0)()BCa， ， ， ， ， ， 取 的中点 ，则 22aEF， ， ， ， ， 2bE， ， S02bG， ， 02bAa， ，平面 平面 ，AGA， ， DF， A所以 平面 SD（2）不妨设 ，则 (10)， ， 1(10)()(02)012BCSEF， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，中点EF()22MFMDEA， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第39题图BDCO第38题图FEPDCBA A EBCFSDGMyz
