1、第 3 章 牛顿- 莱布尼茨积分和积分法130130常用积分公式表例题和点评 ( 为常数)dkxck 1(xc特别， , , 21dxc32d1d2xc ln| , 特别，dlxxacedxc sinos cixc 221dsotsinxc ecancox ,特别，21drsi(0)xa 21darcsinx ,特别， actnx t 21dl(0)xaa或 nxca tandlcos coixx lncsot1sdtasi2xc lsecsecntaos4xcxx (0)221d=lacx3-6 常用积分公式例题和点评 131131 2(0)2 2d=arcsinxaxaxc (0)222l
2、2sincosesidecoax axbxac （递推公式）12 2121 3d()(1)()n nnxx caaa 跟我做练习(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)例 24 含根式 的积分2axbc 套用公式2245d()1d()x2 2()ln1x 245d(4)5dxxx2215(请你写出答案) 2 21dd()45()xxx 2ln()1x套用公式 2245xxx22(45)d45xxx(请你写出答案) 22254d3()d()xx2223arcsin3()xx套用公式 2 21(4)54d第 3 章 牛顿- 莱布尼茨积分和积分法13213222215
3、4d(54)54d2xxx(请你写出答案) 套用公式222()543xx2arcsin3x 22(4)dd15xx221(54)d54xx(请你写出答案)例 25 求原函数 .41dx解 因为 )21)(21()()(2)(1 2224 xxxx 所以令 4221AxBCDx为 待 定 常 数 ）BA,(22()1)xx从恒等式 (两端分子相等)，可得方程)()12)( xBA组 （ 三 次 项 系 数 ）（ 二 次 项 系 数 ）（ 一 次 项 系 数 ）常 数 项021CADB解这个方程组(在草纸上做)，得 . 因此，21,1, 41dx22dd11xx右端的第一个积分为 2 2 2211
4、()()d1dd d4414xxxx xx 22 2d()1xx(套用积分公式)3-6 常用积分公式例题和点评 133133211ln()arctn(21)42xx类似地，右端的第二个积分为 2211dln()arctn(21)42xxxx所以 41d2lnarct()rt()12xx（见下注）22l tn1【注】根据 ,则tanttan()1 22(21)()trct2rct(21) (1)xxxxx 因此, 2arctn()arctn()arctnxxx例 26 求 . 【关于 ，见例 17】d011osd(01)1os解 令 (半角替换)，则tan2x2222cssicos 1ectan
5、xxx2t2d(artn)d1xt于是， 2 2d1cos (1)ttt 2d1t2arctn1tc22arctntaxc【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数 的导数或微分可以用一个“构造性”()yx的公式或0()limhyx d()yx确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运第 3 章 牛顿- 莱布尼茨积分和积分法134134算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如等21esined,d,lnxx x都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.
