1、1高中数学必修 5 知识点第一章、数列一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数2、数列的项：数列中的每一个数3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列无穷数列：项数无限的数列递增数列：从第 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列10na递减数列：从第 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列1n常数列：各项相等的数列摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列4、数列的通项公式：表示数列 的第 项与序号 之间的关系的公式nan5、数列的递推公式：表示任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系的公式1a二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第 2
2、项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差（2）符号表示： 11()(1)nnadad或2、通项公式：若等差数列 的首项是 ，公差是 ，则 nad通项公式的变形： ； nmm通项公式特点： 1()adad是数列 成等差数列的充要条件。,为 常 数， （ kn na3、等差中项若三个数 ， ， 组成等差数列，则 称为 与 的等差中项若 ，则AbAb2acb称 为 与 的等差中项即 a、b、c 成等差数列bac 2ac4、等差数列 的基本性质n ),(Nqpnm其 中（1） 。qpm， 则若2（2） dmnan)(（3） 5、等差数列的前 项和的
3、公式公式： ； 12nnS12nSad公式特征： 是一个关于 n 且没有常数项的二次函数形式1()nd等差数列的前 项和的性质：若项数为 ，则 ，且 ， *221nnSaSnd偶 奇 1nSa奇偶若项数为 ，则 ，且 ，*1n21nn n奇 偶 S奇偶（其中 ， ） nSa奇 na偶 ， ， 成等差数列n232S6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法： 是等差数列）常 数 ） （ Nndan(1 na中项法： 是等差数列)2（通项公式法： 是等差数列,为 常 数bkn n前 项和公式法： 是等差数列),(为 常 数BASn三、等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第 项起，每
4、一项与它的前一项的比等于同2一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比（2）符号表示： 1naq（ 常 数 ）2、通项公式（1） 、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 n1 1naq（2） 、通项公式的变形： ； nmaqnm3、等比中项：在 与 中插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与bGabGa3的等比中项若 ，则称 为 与 的等比中项注意： 与 的等比中项b2Gababab可能是 。4、等比数列性质若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ） ，则 ；namnpqnp*qmnpqa若 是等比数列，且 （ 、 、 ） ，则 n2*2npqa5、等比数列 的前 项和
5、的公式：（1）公式： 11nnnaqSaq（2）公式特点： 1()nnnnkAqs（3）等比数列的前 项和的性质：若项数为 ，则 *2Sq偶奇 ， ， 成等比数列（ ） nnmmSqSn2nS32n0n6、等比数列判定方法：定义法： 为等比数列；（ 常 数 ）an1na中项法： 为等比数列； )0(221nnn通项公式法： 为等比数列；为 常 数 ）qk,a前 项和法： 为等比数列。n为 常 数 ）（Snn)(n四、求通项公式方法观察、归纳、猜想法求数列通项应用 求数列通项)2(11nSann注意：一分为二或合二为一累加法：若递推关系式形式为 用累加法1()naf4累乘法：若递推关系式形式为
6、用累乘法1()naf转化为等差法：若递推关系式形式为 （m、p 为常数）n转化为等比法：若递推关系式形式为 。qann1五、求前 项和公式方法n公式法：若数列为等差或等比数列直接应用求和公式倒序相加法：若数列首尾两项和有规律乘比错位相加法：通项公式为 （其中 为等差数列， 为等比数列）ncabnnb裂相求和法：通项公式为 （ 为等差数列）11()nnkda分组求和第二章、解三角形一、正弦定理1、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 为 的CAabcACRCA外接圆的半径，则有 2sinsisinRC2、正弦定理的变形公式： ， ， ；sin2sinc ， ， ； ；sin2a
7、RAsin2bRsin2cR:abc iiiisincCCA3、定理应用范围：（1）已知两边及一边对角 （2）已知两角及一边4、已知两边及一边对角解的个数判断A90 A90 Ab 一解 一解 一解ab 无解 无解 一解absinA 两解absin A 一解aB ab sinAsinB3、三角形内角和定理 , , -222ABCABCABCCos22ABCSin osCos Cos22ABSiniABSin64、二倍角公式：2tan2tan212221SinSinCosCossSiCosSin；5、两角的和与差公式： , S() , () ,C() ,()tantatan , T1n()taSi
8、nSinCososSini i iCosCossSinisssii tt , a () 6、辅助角公式2,tan bySinbCosbSin（ 其 中 ）第三章、不等式一、比较大小及不等式性质1、比较大小依据： ； ； 0a0b0ab2、比较大小方法：作差法：步骤作差 变形（常用方法：通分、配方、分子、分母有理化、因式分解等）定号作商法：0,1,1,1aababbb当 时3、不等式的性质： ； ；,aca ； ， ；abc,0cac,0b ； ；,dabd,bdd ； 0,1nn,1nn7二、一元二次不等式解法：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式2解法步骤：确定对应一
9、元二次方程的判别式及根作出对应一元二次函数的图像由函数图象写出相应不等式的解集2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式 24bac000二次函数 2yax的图象0一元二次方程 2axb的根0c有两个相异实数根 1,2a12x有两个相等实数根 12bxa没有实数根20axbc12或 R一元二次不等式的解集 2xc0a12x3、一元二次不等式恒成立问题恒成立条件20axbc0240abac恒成立条件2a24、含参一元二次不等式解法分类讨论：二次项系数相应方程是否有根两根的大小5、一元二次方程实根分布分析思路：求根公式法：2244,1bacbacxx韦达定理法：判别
10、式两根之和两根之积8函数图象法：判别式对称轴位置区间端点函数值基本类型与相应方法：设 ，则方程 的实根分布的基本类型及相应方法如下表：)0()(2acbxxf 0)(xf根的情况 a0 时图 a0 时图 充要条件两个根均小于 m mabf20)(0)(21mx两个根都大于 n nabf20)(0)(21nx一个大于m，另一个小于 m的根(x1-m)(x2-m)0 af(m)0在区间(m,n)内有且仅有一个根f(m)f(n)0在区间(m,n)之外有两个根0)(nafm在区间(m,n)内有两个实根 0)(2nafmb三、基本不等式91、 、 是两个正数，则 称为正数 、 的算术平均数， 称为正数
11、、 的ab2abababb几何平均数2、均值不等式定理： 若 ， ，则 ，即 023、常用的基本不等式： ； ；2,abaR2,abR ； 20,ab 22,b4、基本不等式求最值：设 、 都为正数，则有xy（1）若 （和为定值） ，则当 时，积 取得最大值 xysxy24s（2）若 （积为定值） ，则当 时，和 取得最小值 pxyp注意：利用基本不等式求最值条件： 正 定 相等5、对号函数图像性质的图像与性质：(,0)byax（1）定义域： ；|（2）值域： ；2,2yabyab或（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间 上是增函数，(,+)和在区间 上为减函数；0,0ba和（5）渐近线：
12、以 轴和直线 为渐近线；yx（6）图象：如右图所示 yaxbaba2xOy10五、简单线性规划1、基本概念、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 的不等式1、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的 和 的取值构成有序xy数对 ，所有这样的有序数对 构成的集合,xy,xy2、二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般,二元一次不等式 AxBy C0 在平面区域中，表示直线 AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线不等式 AxByC0 所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)(2)由几个不
13、等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分3、二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：可在直线 AxBy C0 的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从Ax0 By0C 的正(或负)来判断 AxBy C0(或 AxByC0)所表示的区域当C 0 时，常把原点(0，0)作为特殊点也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：（）ykxb 表示直线上方的半平面区域；ykxb 表示直线下方的半平面区域（）B0 时，AxByC 0 表示直线上方区域；AxByC0 表示直线下方区域；B0 时，AxByC 0 表示直线上方区域；AxByC0 表示直线下方区域.4简单线性规划(1)基本概念：目标函数：关于 x，y 的要求最大值或最小值的函数，如 zxy，zx 2y 2 等约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解：满足线性约束条件的解(x，y)称为可行解可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：分析并将已知数据列出表格；确定线性约束条件；
