1、1数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质定义： 1nad( 为常数)， 1nad等差中项： xAy， ， 成等差数列 2Axy前 n项和 112nnSad性质： na是等差数列(1)若 mpq，则 mnpqaa；(2)数列 仍为等差数列， 232nnnSS， ， 仍为等差数1212,n列，公差为 ；d(3)若三个成等差数列，可设为 ad， ，(4)若 nab， 是等差数列，且前 n项和分别为 nST， ，则 21maSb(5)n为等差数列 2nSab( ， 为常数，是关于 的常数项为 0 的二次函数)。 S的最值可求二次函数 n的最值；或者求出 na中的正、负分界项，(即：当 10ad，
2、，解不等式组 10na可得 nS达到最大值时的 值; 当1，由 10n可得 nS达到最小值时的 值. )(6)项数为偶数 的等差数列 na， 有2 ),)()()( 111212 为 中 间 两 项nnnn aaS， .d奇偶 1nS偶奇(7)项数为奇数 的等差数列 na， 有2， ， .)()1(12为 中 间 项nnaS naS偶奇 1偶奇22. 等比数列的定义与性质定义： 1naq( 为常数， 0q)， 1naq.等比中项： xGy、 、 成等比数列 2Gxy，或 xy.前 n项和： 1()nnaqS性质： na是等比数列(1)若 mpq，则 mnpqa(2) 232nnSS， ， 仍为
3、等比数列,公比为 .nq3求数列通项公式的常用方法 由 求 。( )na1,2nSn例 1：数列 n， 125naa，求 na解 时， 52， 14 时， 122n 15aa 得： 2n， n， 14()2n练习数列 na满足 1153nnSa， ，求 na注意到 1nn，代入上式整理得 14nS，又 1S， n是等比数列，故 4nS。 2时， 113nnaS,23ann故3由递推公式求 na(1)累加法( )形 式(1f例 2：数列 n中， 1132na， ，求 na解： 累加得3122ann时 ， 2)13(3121 nnn)(nn(2)累乘法( )形 式1fan例 3：数列 n中， 11
4、3na， ，求 na解： 32112na， 1n又 13， na.(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)取倒构造( 等于关于 的分式表达)1nana例 4： 112n， ，求 n解：由已知得： 11nna， 12na 1na为等差数列， 1a，公差为 2， 1nn， 2 同除构造例 5： 。nnaa求,3,1解：对上式两边同除以 ，得 ，则 为等差数列，111nna34，公差为 ， ， 。31a 31)(3nan13nnna例 6： ，求 。1112,nn解：对上式两边同除以 ，得 ，令 ，则有1n 11)2(nnanab2，累加法可得 ，1123nnb 89)(431)()3
5、(121 nnnb则,1a又，即 。85)2(43nnb 43285,)21(43nnnaa例 7： 。nnn求,0,111解：对上式两边同除以 ，得 ，即 ，则a021na21na为等差数列， ，公差为 2， ， 。na11a)(n 1n取对构造(涉及 的平方)n例 8： .,3,211n求解：对上式两边取对数，得 ，由对数运算性质得213lglnalg2lg1nna两边同时加 ，整理得 则3 ,lg23l),l(2llg11 nnnn aa即为公比为 2 的等比数列，由此推知 通项公式。nl a等比型(常用待定系数)例 9： 。nnaa求,3,1解：待定系数法设上式可化为如下形式： ，整理
6、可知 ，)(31kann 2k5则 ，原式可化为 ，则 为公比=3 的等比数列，由此1k )1(31nnan推知 通项公式。na例 10： ，求 。4,211nn n解：待定系数法设上式可化为如下形式： ，整)(4)1(1 bknabka理可知 ，得 ，原式可化为 ，则13kb0,b1nn为公比=4 的等比数列，由此推知 通项公式。na na提公因式例 11： 。nna求,21,1解：上式变形为 ，等号左边提公因式得 ，111nnaa两边取倒数得 ， 为公差,1nna 1,1 nnnaa n为 1 的等差数列，由此推知 通项公式。例 12： ，求 。)2(32, 111 nn当 n解：上式变形
7、为 ，令 ，1, aaa nnab1则， ，12nb11 22, nnbb的 等 比 数 列 ，公 比 为为 首 项；1na由累加法可求得 通项公式。na4. 求数列前 n项和的常用方法(1)分组求和(分组后用公式)例 13：求和 。n2183412解：原式=6)218421()321(813421 nnn = 2)(nn(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. )常用： ； ； 。1)1nn )21()(nnn1(3)错位相减(通项可表示为等差乘等比的形式)例 14： 2314nnSxx求 。 nS解： 1 2341nnxxx 2nSx1x时， 21nn， 时， 11232n nS练习 求数列 。(答案： )nn项 和的 前 nn(4)倒序相加(前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. ) 1212nnnSaa相加 1211nnnnSaaa5. 求数列绝对值的前 n项和(根据项的正负，分类讨论)例 15：已知数列 的通项 ， ，求 的前 项和 。an2nbnbnT解：设数列 的前 项和为 ，nS,2,91da公 差210)(29Sn 时，5 2212 10nSaaT nnn 时，7501)10(522576152 nnSaaaTn nn 。,102Tn
